PRÉFACE III
de donner une solide introduction à Tétude de cette science. J'ai surtout cherché à formuler des règles précises, faciles à appliquer, que Télève pourra suivre docilement dans Texécution des épures.
Pour compléter certains points intéressants, j'ai ajouté, par-ci, par-là, quelques petits paragraphes que je ne professe pas à TEcole des Beaux-Arts. Ils sont imprimés en caractères plus fins et les numéros Correspondants sont marqués d'astérisques.
Quelques-unes des données numériques des exemples traités ont été empruntées à l'excellent Cours de Stabilité des Constructions, professé par M. J.-J. Pillet, à l'Ecole spéciale d'architecture.
Carlo BOURLET
Paris, décembre 1901.
COURS
INTRODUCTION
i. Définitions . — Point matériel. — On appelle point matériel une portion de matière assez petite pour qu'on puisse négliger ses dimensions.
2. Corps solide. — Un corps solide est un ensemble de points matériels liés les uns aux autres, de telle sorte que leurs distances mutuelles restent invariables.
Nous supposerons, dans la suite, que les corps solides sont absolument indéformables quelles que soient les forces qui agissent sur eux.
En réalité, il n'existe pas dans la nature de corps absolument indéformables mais il y en a beaucoup, tels la pierre, le fer, le bois, qui ne se déforment que très peu lorsque les efforts auxquels on les soumet ne sont pas très grands, on peut, alors, dans une première étude, négliger ces déformations.
3. Forge. — Une force est une cause quelconque de mouvement. Mais on conçoit très bien qu'on peut avoir ridée de force sans production de mouvement pourvu qu'on puisse imaginer la possibilité du mouvement.
11 y a à considérer dans toute force quatre éléments qui sont : le point d'application, la ligne d'action, lé sens et Vintensité.
BouRLET. Cours de statique, ii. i
1® Le point d'application est le point matériel sur lequel la force agit.
i"" La ligne d'action est la droite indéfinie suivant laquelle ce point se déplacerait si la force le mettait en mouvement.
3*" Le sens est la direction de la ligne d'action suivant laquelle la force tend à déplacer le point matériel sur lequel elle agit.
4*^ L'intensité d'une force résulte de sa comparaison avec une autre force prise pour unité. C'est la mesure de la force.
4. Représentation graphique d'une force. — Pour représenter une force, on se sert d'un segment. Soit (fig. i) A le point d'application de la force ; elle est représentée en grandeur, en direction et en intensité par le segment AF, ayant pour origine le point d'application A, pour ligne d'action la ligne d'action de la force, pour sens le sens de la force et pour longueur une longueur proportionnelle à l'intensité de la force.
Fig. I. Fig. 2,
En général, on met une flèche au bout du segment AF pour -marquer le sens dans lequel agit la force ; mais il vaut mieux, surtout dans les épures graphiques, mettre la flèche au milieu du segment AF (fig. 2) et limiter l'extrémité de la force par un petit trait transversal.
Pour représenter l'intensité d'une force on se sert d'une échelle de forces : on convient que l'unité de
INTRODUCTION
force est représentée paf une longueur arbitraire choisie d'avance.
Ainsi, supposons que Tunité de force soit le centimètre, la force AF (fig. 2) est égale à autant de fois la force unité qu'un centimètre est contenu dans la longueur AF.
5. Pesanteur. — La force qu'on rencontre le plus souvent est \2i pesanteur.
Lorsqu'on abandonne un corps à lui-même ce corps tombe suivant une verticale, c'est-à-dire suivant une ligne normale à la surface des eaux tranquilles. Il résulte de là que tout point matériel est soumis aune force dirigée suivant la verticale. Cette force est ce qu'on appelle \di pesanteur.
L'intensité de cette force est le poids du point matériel.
6. Unité de force. — On prend d'ordinaire comme unité de force le kilogramme^ c'est-à-dire le poids d'un décimètre cube d'eau distillée, à la température de 4*^, pesée dans le vide et au niveau de la mer,
7. Mesure d'une force. — Pour mesurer une force, on la compare à l'unité de force, c'est-à-dire au kilogramme.
Dynamomètres. — Pour comparer les forces entre elles, on compare les effets qu'elles produisent sur un même corps déformable, appelé dynamomètre.
Il en existe de plusieurs espèces; nous décrirons seulement le peson à ressort.
Cet instrument (fig. 3) se compose d'un ressort d'acier coudé ACD et de deux arcs métalliques. L'un d'eux, fixé en D, passe librement dans une ouverture pratiquée en A
dans la branche AG ; l'autre fixé en G passe à travers une ouverture pratiquée dans la branche GD. Le premier arc se termine par un anneau E destiné à soutenir Fappareil, et le second par un crochet H auquel on peut suspendre des poids ou appliquer les forces à mesurer.
Graduation de VappareiL — Si Ton suspend au
crochet H successivement des poids de i, 2, 3
kilogrammes. Faction de la pesanteur déterminera une flexion du ressort de plus en plus grande, et Ton pourra graduer l'appareil en marquant, aux points de Tare AD où arrive successivement Textrémité G, des traits accompagnés de nombres indiquant les poids employés.
La graduation faite, si Ton exerce sur le ressort des efforts capables d'amener la branche supérieure
GA vis-à-vis les divisions i, 2, 3 on dira que les
forces qui déterminent ces flexions sont des forces de I, 2, 3... kilogrammes, ce qui signifie que leurs efi'ets sont identiques à ceux produits sur l'appareil par des poids de i, 2, 3,... kilogrammes.
8. Forces en équilibre. — Un système de forces qui agissent sur un corps solide est dit en équilibre si l'état du corps solide ne change pas lorsqu'on supprime toutes ces forces.
Inversement, on peut appliquer à un corps solide un système de forces en équilibre sans changer son état.
9. Equilibrante . — Etant donné un système de forces s'il existe une force unique telle qu'en la joignant au système des forces données, on obtienne un nouveau système en équilibre, cette force est dite Véquili-brante du système donné.
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INTRODUCTION S
Il n'existe pas toujours, comme nous le verrons plus loin, une équilibrante, pour un système de forces quelconque.'
10. Théorème. — Si deux systèmes de forces admettent la même équilibrante^ on peut, sans changer l'état du corps solide sur lequel ces forces agissent, remplacer l'un des systèmes par l'autre.
Soit un système S qui agit sur un corps solide et qui admet une équilibrante E. Supposons qu'il existe un second système S' qui admette la même équilibrante E. Démontrons qu'on peut remplacer le système S par le système S'.
Le corps solide étant soumis au système S, faisons agir sur lui le système formé par S' et E. Ce système S'+ E étant en équilibre, on a le droit de le faire (n® 8) sans changer l'état du corps.
Le corps solide est alors soumis aux systèmes S, S' et à l'équilibrante E.
Mais, par hypothèse, le système S et la force E se font équilibre, on peut donc supprimer le système S et la force E (n° 8) sans changer l'état du corps et il ne reste que le système S'.
On peut donc, sans changer l'état du corps solide, remplacer le système de forces S par le système S^ admettant la même équilibrante E.
H. Systèmes équivalents. — Deux systèmes de forces sont dits équivalents si on peut les remplacer l'un par l'autre.
Les systèmes S et S' du théorème précédent sont équivalents.
12. RÉSULTANTE. COMPOSANTES. — Etant donné un système de forces s'il existe une {orce ujiique équiva-
lente au système, cette force est ce qu'on appelle la résultante du système.
Les forces données sont les composantes.
13. Principes expérimentaux. — La mécanique étant une science dont Torigine est expérimentale, repose sur quelques principes qu'on doit admettre san§ démonstration et qu'on doit considérer comme résultant de l'expérience.
La plupart sont d'ailleurs si simples qu'on les admet sans difflculté.
14. Principe I. — Lorsque deux forces sont appliquées au même point matériel, elles se font équilibre si elles sont égales et directement opposées.
Dans tous les autres cas^ elles ne se font pas équilibre et admettent une résultante unique appliquée au
même point.
15. Conséquence L — Etant donné un système de forces S, le système S', formé par des forces appliquées aux mêmes points, mais respectivement égales et de sens contraire aux forces du système S, fait équilibre au système S.
16. Conséquence II. — Si un système de forces admet une équilibrante^ il admet une résultante qui est égale et directement opposée à r équilibrante.
En effet, soit un système de forces S qui admet une équilibrante E, et soit R la force égale à E, directement opposée et appliquée au même point.
Le système S et la force R ont même équilibrante E^ le système S et la force R sont donc équivalents et par conséquent R est la résultante du système S(n**10).
INTRODUCTION
17. Principe IL — Deux forces égales^ directement opposées et appliquées en deux
points différents d'un corps so- } a b r
lide se font équilibre (fig. 4). Fig. 4.
Il faut évidemment que leur ligne d'action commune soit la droite qui joint les deux points.
18. Principe III. — Lorsqu'un corps solide peut tourner librement autour d'un axe fixe et qu'il nest soumis qu'à une seule force ^ perpendiculaire dans V espace avec l'axe et qui ne rencontre pas cet axe^ le corps n'est pas en équilibre.
Ainsi, soit (fig. 5) un corps solide tournant librement autour d'un axe fixe xy et soumis à une seule force AF rectangulaire dans l'espace avec xy ; si la ligne d'action de la force AF ne rencontre pas xy, le corps ne peut pas être en équilibre.
19. Théorème I. — On peut transporter une force qui agit sur un corps solide, en un point quelconque de sa direction pourvu que ce point soit invariablement lié au corps solide.
En effet, soit AF (fig. 6) une force appliquée en un point A d'un corps solide, et soit B un point quelconque pris sur la direction de cette force et invariablement lié au point A. Appliquons en B,
Fig. 6.
suivant la droite AB, deux forces BF^ et BF' égales à AF et opposées : comme ces forces se font équilibre, l'état du. corps ne sera pas modifié (n° 8).
Mais les dçux forces AF et BF' se font équilibre, on peut donc les supprimer (n° 8) et il ne reste que la force BF^, laquelle peut être regardée comme n'étant autre que la force AF dont le point d'application aurait été transporté en B.
Le théorème est donc démontré.
20. rizeorèmeJJ (réciproque du principe II). — Si deux forces, appliquées en deux points différents d'un corps solide, se font équilibre, elles sont égales, directement opposées et dirigées suivant la droite qui joint
ces deux points.
En effet, soient deux forces AFet BF' appliquées en deux points A et B, d'un corps solide ; ces deux forces, par hypothèse, se font équilibre, démontrons qu'elles sont égales, directement opposées et dirigées suivant la droite AB (fig. 7).
Supposons que la force AF ne soit pas dirigée suivant AB, les deux droites AF et AB déterminent alors un plan. Par le point B menons une droite xy perpendiculaire au plan BAF. Le corps étant en équilibre, nous ne ferons que renforcer son équilibre en fixant tous les points de la droite xy. Dès lors, le corps ne peut que tourner autour de l'axe fixe xy. Mais le point B étant fixe, la force BF', appliquée au point B, est détruite ; et on
Fig.
INTRODUCTION 9
a un corps en équilibre, qui peut tourner autour d'un axe xy et qui est soumis à une seule force AF perpendiculaire à Taxe, et ne le rencontrant pas, ce qui est impossible (n**18).
Il faut donc que la force AF soit dirigée suivant AB.
On démontrerait de même que la force BF' doit être dirigée suivant AB en menant par le point A un axe perpendiculaire aux deux droites AB et BF'.
Il reste à prouver que AF et BF' sont égales et directement opposées. Puisque la ligne d'action de AF passe par B, nous pouvons, sans changer l'état du corps, transporter la force AF en BF^ (fîg. 6). Les deux forces BF^ et BF' étant appliquées en un même point, d'après le principe 1 (n** 14), doivent être égales et directement opposées pour se faire équilibre. Il en est donc de même de AF et BF'.
21. Théorème III. (Réciproque du théorème I). — 5t, sans changer l'état du corps solide sur lequel elle agit^ on peut transporter une force parallèlement à elle-même y le nouveau point d'application est un point de la ligne d'action de cette force.
Supposons que sans changer l'état du corps sur lequel elle agit, on puisse transporter la force AF (fig. 6) en BF,. Une force BF' égale et directement opposée à BF^ équilibrera donc aussi bien AF que BF,. Les deux forces AF et BF' sont donc (n^ 20) directement opposées, ce qui exige que B soit un point de la ligne d'action de AF.
22. Corollaire. — On peut transporter deux forces concourantes parallèlement à elles-mêmes en un point de la direction de leur résultante, et^ réciproquement^
lO
si on peut transporter deux forces concourantes^ parallèlement à elles-mêmes^ leur nouveau point (V application est un point de la ligne d'action de leur résultante.
Soient deux forces concourantes AF> AF' (fîg. 8). ^ Ces deux forces, si elles ne sont pas égales
et directement opposées, ont une résultante d'après le principe I (n** 14), soit AR cette A" résultante. On peut remplacer les deux / \ forces AF, AF' par la force AR. Mais cette force AR peut être transportée en BR, (n^ 19) en un point quelconque B de sa direction.
Au point B menons deux forces BF, etBF'^ respectivement parallèles et égales aux /\ forces AF et AF'. La figure formée par les ^ ^- trois forces BR^, BF^, BF( est la même que la figure formée parles trois forces AR, AF, AF' et par conséquent BR^ est la résultante Fig. 8. ^^^ forces BF^, BFi et on peut remplacer
les forces AF, AF' par les forces BF^, BF,'.
Réciproquement, soient deux forces concourantes AF et AF' (fig. 8) que Ton peut transporter en BF^, BFi parallèlement à elles-mêmes ; démontrons que la résultante des deux forces AF, AF' est dirigée suivant AB. En effet, soit AR la résultante des forces AF, AF' et soit E, Téquilibrante des forces BF„ BFJ. La force E^ fait aussi équilibre aux forces AF et AF', donc elle équilibre leur résultante AR et par conséquent la résultante AR et l'équilibrante E^ sont deux forces égales et opposées, elles sont dirigées suivant la droite AB (n° 20).
