COMPOSITION DES FORCES CONCOURANTES

§ I. Composition de deux forces concourantes

23. Principe IV. — Deux forces appliquées en un même point et ayant même ligne d'action ont une résultante égale à leur somme géométrique y c'est-à-dire égale à leur somme si les forces sont de même sens, et égale à leur différence et dirigée dans le sens de la plus grande des deux forces si les forces sont de sens contraires.

Nous admettrons ce principe comme résultant de l'expérience. En fait, on pourrait dire qu'il découle de la définition même de la mesure de l'intensité d'une force.

Remarque. — Lorsque les deux forces sont égales et de sens contraires, elles se font équilibre, on dit que la résultante est nulle.

24. Conséquence. — Plusieurs forces appliquées à un corps solide et ayant même ligne d'action ont une résultante égale à leur somme géométrique.

Car on peut d'abord supposer que toutes ces forces sont appliquées en un même point en les transpor* tant au besoin le long de leur ligne d'action (n^ 19). Puis, il suffit de les composer deux par deux pour obtenir finalement une résultante unique.

Réciproquement, on peut toujours remplacer une force par plusieurs autres ayant même ligne dC action et dont la somme géométrique est égale a la force en question.

25. Mesure algébrique de la résultante. — Plusieurs forces ayant même ligne d'action, choisissons sur cette ligne d'action un sens positif. Soient F^, F2, F3, ... les mesures algébriques (') de ces forces et R la mesure algébrique de la résultante. D'après le théorème de Ghasies, la résultante des forces n'étant autre chose que la résultante géométrique des segments qui les représentent graphiquement, la mesure algébrique de la résultante est égale à la somme des mesures algébriques des forces données. On a donc :

26. Théorème. — La résultante de deux forces égales et appliquées en un même point est dirigée

I' suivant la bissectrice de l'angle de ces deux forces.

En effet, soie^nt deux forces AF, AF' appliquées en un point A et égales en intensité. Démontrons que la résultante de ces deux forces est dirigée suivant la bissectrice de l'angle FAF' (fig. 9).

Pour cela montrons que l'équilibrante des deux forces AF, AF' est dirigée suivant cette bissectrice ; soit E cette équilibrante.

(^) Voir la première partie de ce Cours : Cours de Mathématiques.

1 1 "i^tm ■■» T,-- 1-

FORCES CONCOURANTES

Supposons que l'équilibrante E ne soit pas dirigée suivant la bissectrice de l'angle des deux forces et menons cette bissectrice xy. Faisons tourner la figure de 180"* autour de xy : la force AF vient en AF' et la force AF' en AF, la force AE vient occuper par rapport à l'axe xy une position symétrique AE'. Le système des deux forces AF, AF' n'a pas changé, puisque les deux forces sont égales ; mais l'équilibrante de ces deux forces a changé, de AE elle est devenue AE' ce qui est impossible, un même système ne pouvant avoir deux équilibrantes, sans quoi il admettrait deux résultantes, ce qui est contraire au principe I (n** 14).

27. Théorème, — Si on considère quatre forces représentées géofnétriquement par les quatre côtés d'un losange et deux par deux issues de deux sommets opposés du losange^ ces quatre forces se font équilibre (fig. 10).

En effet, soient AF, AF', BF, BF' quatre forces égales telles que la figure AFBF' soit un losange. La droite AB est la s bissectrice commune des angles FAF' et FBF'. La résultante R des deux forces égales appliquées en A est dirigée suivant la bissectrice AB (n** 26) ; la

résultante R' des deux forces égales appliquées en B est dirigée suivant la même bissectrice. Menons FF' et faisons tourner la figure de 180° autour de FF' : le sommet B vient en A et le sommet A en B ; AF vient en BF et BF en AF, AF' vient en BF' et BF' en AF', AR vient occuper une position BR^ égale etdirec-

Fig. 10.

i4 COURS DE STATIQUE

tement opposée à AR et, de même, BR' prend uiie situation BR'^ égale et directement opposée à BR.

Par cette rotation, le système des quatre forces égales n'a pas changé; il faut donc que les résulf tantes n'aient pas changé, ce qui exige que BR^ soit identique à BR' et AR'^ identique à AR. Or, comme BRj est égale et directement opposée' à AR, il en est de même de BR'. Les deux forces AR et BR' se font donc équilibre* Le système est en équilibre, ce qui démontre le théorème.

28. Théorème. — Résultante de deux forces concourantes. — Deux forces concourantes ont une résultante qui est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux forces.

I** Direction de la résultante : soient AF, AF' (fig. Il) deux forces appliquées au même point A, et

supposons qu'elles aient une comhiune mesure f contenue, par exemple, trois fois daiis la forcé A F et deux fois dans la force AF'. Partageons AF en trois parties égales AG, CD, DF et AF' en deux Fig. II. AB, BF' égales aux pré-

cédentes.

Construisons sur les lignes AF, AF' le parallélogramme AFRF', menons, par les points de division des lignes AF, AF', le^ parallèles CK, DL, BM à ces lignes qui déterminent par leurs intersections des losanges égaux et supposons tous les points de la figure ainsi formée invariablement liés entre eux.

PTTT^

FORCES CONCOURANTES i5

Aux points G et B, dans les sens indiqués par les flèches, appliquons quatre forces égales à la commune mesure f\ nous pouvons le faire sans modifier Tétat d'équilibre du corps puisque (n** 27) nous introduisons des forces en équilibre. Faisons de même aux points E et D, I et F, M et L, I et K, E et F'. . Or les trois, forces égales à /"et agissant suivant AF peuvent être reniplacées par une force unique égale à leur somme F et faisant par suite équilibre à la force F puisqu'elle est de sen& opposé. De même, les deux forces égales^ a /* et agissant suivant AF' peuvent être remplacées par une force unique égale à la force F' et lui faisant équilibre. D'autre part, les les forces égalea à /* et dirigées suivant GK, DL, BM se font équilibre deux à deux.

Le système reste donc jSoUicité par trois forces égales chacune à f agissant suivant F'R et deux forces égales aufesi à /* agissant suivant FR.^Ges forces peuvent être remplacées, les premières par une fprce unique égale à F^ les autres par une force unique égale à F', ces deux forces étant appliquées l'une et Tautre au point R/n"* 24). , "

On voit ainsi que les deux forces F et F' appliquées en- A peuvent être, sans que l'état du système soit modifié, transportées parallèlement à elles-mêmes, au sommet R du parallélogramme A FRF'.

Or on a démontré (rî°'22) que si l'on peut transporter deux forces concourantes parallèlement à ellesmêmes en un point, et cela sans changer l'état du corps, ce point est un point ^é larésultante. ; Donc le point R est un point de la résultante. Mais cette résultante passe également par le point A; elle est dirigée par conséquent suivant la diagonale AR du parallélogramme AFRF'.

Fi g. ta.

i6 COURS DE STATIQUE

2® Intensité de la résultante. — Nous venons d'établir que la résultante des forces F, F' est dirigée suivant la diagonale AR du parallélogramme AFRF' (fig. 12), nous allons maintenant démontrer que son intensité est représentée parla longueur AR de cette

diagonale, et qu'elle est dirigée dans le sens AR.

En A appliquons une force AR' égale et directement opposée à la résultante dont on connaît la ligne d'action mais non l'intensité ; c'est l'équilibrante des forces AF, i^F'. Les trois forces F, F', R' sont en équilibre et par suite l'une quelconque d'entre elles, F par exemple, est égale et directement opposée à la résultante des deux autres. La résultante des forces F' et R' est dirigée suivant la diagonale AI du parallélogramme construit sur AF'et AR'; d'autre part, elle doit équilibrer AF par suite elle doit être directement opposée à AF et les trois points F,A et I sont en ligne droite.

La force AR' est ainsi bien déterminée, car pour l'obtenir on doit faire la construction suivante : par F' on mène une parallèle à AR qui coupe AF prolongée en I ; par I on mène ensuite une parallèle à AF' qui coupe la droite AR en R'.

Ceci exige d'ailleurs que AR' soit dirigée comme l'indique la figure, en sens contraire de AR.

La figure AR'IF' étant un parallélogramme, on a :