DYNAMIQUE

Si V extrémité de la ligne brisée ne coïncide pas avec le point de départ O, on a une résultante unique qui est représentée en grandeur et en direction par le segment qui joint le point au point final.

Si l'extrémité de la ligne brisée coïncide avec le point de départ O, le dynamique se ferme et les forces se réduisent à un couple ou se font équilibre.

Remarque. — Lorsque les forces sont très grandes,

on peut, pour obtenir des constructions restant dans les limites de Tépure, réduire Téchelle des forces pour construire le dynamique. Par exemple, on peut

.^•«Pi

'fo^ -Va

Fig. 63.

réduire les forces à 1/2, 1/4 de leur vraie grandeur.

On remplace ainsi le dynamique par un polygone semblable, mais rien n'est modifié dans les constructions qui vont suivre.

110. Funiculaire. — Dans le cas d'une résultante unique, on connaît sa grandeur et sa direction (cette force est égale et parallèle à O/3, dans l'exemple pré cèdent), et il reste à trouver sa position.

Lorsqu'il s'agit d'un couple ou de forces se faisant

équilibre, il reste à reconnaître dans quel cas Ton est et à trouver le moment du couple.

On résout la question, dans tous les cas, au moyen du funiculaire,

111. Règle pour tracer le funiculaire. — On prend dans le plan, au voisinage du dynamique un point P qu'on appelle le pôle et on joint ce point P aux divers sommets du dynamique : les droites ainsi menées s'appellent rayons polaires, on les numérote 0, i, 2, 5,..- dans le sens de parcours du dynamique.

Ceci posé, on mène (fig. 63) une parallèle quelconque au rayon quicoupe la ligne d'action de la première force F^ en un point A^, on la numérote ; par A^ on mène une parallèle au rayon i qui coupe la ligne d'action de la force F, au point A„ on la numérote 1 ; par Ag on mène une parallèle au rayon 2 qui coupe la force Fg au point Ag, on la numérote 2 ; et ainsi de suite, s'il y a plus de trois forces. Par le dernier point [ici c'est Ag) on mène une parallèle au dernier rayon polaire {ici 3), on forme ainsi une ligne brisée ouverte {0 A^ A^ Ag 3) qu'on appelle le funiculaire.

i** Si le dynamique n'est pas fermé, le rayon initial et le rayon final du funiculaire se coupent ; leur point d'intersection est un point de la ligne d'action de la résultante. Soit I ce point. Dès lors, pour avoir la résultante, il suffit de mener par le point I une force égale et parallèle à la résultante connue Of, et on a en IR la résultante cherchée.

2** Si le dynamique s'était fermé, il peut arriver pour le funiculaire, deux cas :

Les rayons initial et final sont parallèles et ne coïncident pas; les forces du système se réduisent alors à un couple et le moment de ce couple s'obtient

BouRLET. Cours de stalique, ii. 7

en multipliant la longueur du rayon polaire initial^ mesurée à V échelle des forces^par la distance du rayon initial et du rayon final du funiculaire, mesurée à Véchelle des longueurs.

Les rayons initial et final coïncident ; les forces du système se font équilibre.

Nous allons justifier cette construction.

112. Lemme. — Un système de trois forces concourantes respectivement égales et parallèles aux côtés d^un triangle^ parcouru dans un certain sens^ est en équilibre.

Soient en effet (fig. 64) trois forces concourantes

OA, OB, OG, respectivement parallèles aux côtés du triangle abc parcouru dans le sens indiqué. Le triangle «ôc n'est autre que le dynamique des forces OA, OB, OG, et comme il se ferme, les forces se font équilibre ou se réduisent à p- g^ un couple. Puisqu'elles sont

appliquées au même point O, elles ne peuvent se réduire à un couple ; elles se font donc équilibre.

Plus généralement,

Un système de plusieurs forces concourantes respectii>ement égales et parallèles aux côtés d^ un polygone fermée parcouru dans un certain sens^ est en équilibre.

113. Démonstration, Premier cas. — Examinons d'abord le premier cas, où le dynamique ne se ferme pas. Gonsidérons trois forces F^, F^, Fg (fig. 63) ; et

supposons le dynamique et le funiculaire tracés suivant les Règles des n°' 109 et 111. Au point Aj menons deux forces égales, de sens contraires et égales en intensité au rayon polaire OP ; ces forces 'f^ et 'fo sont dirigées suivant le rayon o du funiculaire. De même au point A, appliquons deux forces cp^ et 'f ( dirigées suivant le rayon i du funiculaire, égales, de sens contraires et égales en intensité au rayon polaire P^^. Au point Ag appliquons deux forces, o^ et 'f'g dirigées suivant le rayon 2 du funiculaire, égales, de sens contraires et égales en intensité au rayon polaire P^. Enfin, au point Ag appliquons deux forces, 'fg et ©3 dirigées suivant le rayon 3 du funiculaire, égales, de sens contraires et égales en intensité au rayon polaire P^. L'état du corps n'est pas changé puisque nous avons introduit des forces se faisant deux à deux équilibre.

Ceci posé, prenons les forces f^, F^, cp{ qui concourent au point A^ ces trois forces sont parallèles et égales aux côtés du triangle PO/^, parcouru dans le sens PO ; donc, d'après le lemme, ces forces se font équilibre. Les trois forces cp^, Fg, 'f'2 appliquées au point Ag, parallèles et égales aux côtés du triangle P/j/!^ parcouru dans le sens P/*, se font équilibre. Les trois forces cpg, Fg, cpg appliquées au point A3, parallèles et égales aux côtés du triangle Vf^f^ parcouru dans le sens P/^ se font équilibre.

On peut donc supprimer ces neuf forces, et il ne reste plus que les forces cpy et cpg dirigées suivant le rayon initial o et le rayon final 3. Ces deux forces ont une résultante unique qu'on obtient en composant ?o 6t 'fg : cette résultante passe par le point I d'intersection des rayons initial et final, c'est donc bien la force IR; ce qui légitime la construction.

pj** '

414. Deuxième cas. — Supposons, en second lieu, que le dynamique se ferme.

Considérons quatre forces F^, Fj, F,, F^ (fig. 65) traçons le dynamique O/j^g/s/î ^"î se ferme, f^ coïncidant avec 0. Prenons un pôle P au voisinage du dynamique, menons les rayons polaires et remarquons que les rayons o et 4 coïncident. Construisons

Fig. 65.

le funiculaire oA^A2A3A;^4- On voit dans la figure qufe les deux côtés o et 4 sont parallèles comme étant tous deux parallèles au même rayon polaire PO et qu'ils ne coïncident pas. Démontrons que les forces se réduisent à un couple.

Comme dans le cas précédent, appliquons en chaque point Ap A2, A3, A^ deux forces égales, de sens contraires et égales en intensités aux rayons polaires o,

ïî 2, 3, 4.

PRINCIPES DE STATIQUE GRAPHIQUE lOi

Pour la même raison que dans le cas précédent les forces o,,, Fj, ç^ se font équilibre; de même que C3J, '^2, Fg ; de même que o.^, Fg, cpg' ; de même que cpg,

11 ne reste donc plus que les forces îpi et îp4. Ces deux forces ont même intensité OP, elles sont toutes deux parallèles au rayon polaire OP, elles sont en outre de sens contraires et non directement opposées. Elles forment donc un couple. Ce qu'il fallait démontrer.

Le moment du couple <pi, ©^ est donné par le produit

OPxrf,

d étant la distance des deux parallèles o et 4- On doit mesurer OP à Féchelle des forces et rf à Téchelle des longueurs.

115. Troisième cas. — Si les rayons o et 4 coïncidaient, les forces '^i et cp^ seraient égales et directement opposées, elles se feraient équilibre etle système de forces serait en équilibre. Il résulte de là, que :

Pour qu'un système de forces situées dans un même plan soit en équilibre^ il faut et il suffit que le dynamique se ferme ainsi que le funiculaire.

116. Digression sur la mesure des grandeurs. — Le rapport de deux grandeurs est égal au quotient de leurs mesures, quelle que soit l'unité choisie.

Ainsi, si les longueurs de deux portions de droites sont 3 mètres

et 2 mètres, leur rapport est — . Si on mesure les mêmes longueurs en prenant pour unité le centimètre, leurs mesures seront

- 1 • 1 1 3oo 3

3oo et 200 ; le quotient de ces deux mesures est encore — .

lOJ COURS DE STATIQUE

Cela étant, soient quatre grandeurs A, B, C, D, formant la proportion

Aux grandeurs elles-mêmes A, B,G, D, on peut substituer, dans les rapports, leurs mesures, à la condition de mesurer avec la même unité les grandeurs qui sont dans un même membre.

Nous indiquerons l'unité choisie pour mesurer une grandeur A de la manière suivante :

{^k)f si la grandeur A est mesurée à Yéchelle des forces.

[A)i si elle est mesurée à l'échelle des longueurs.

in. Détermination des moments. — Lorsqu'on a exécuté une épure de statique graphique, le moment d'une force quelconque du système considéré^ par rapport à un point du plan, s'obtient en menant par ce point une parallèle à la direction de la force., en prenant la portion de cette parallèle comprise entre les deux côtés du funiculaire qui se coupent sur la force et en faisant le produit de cette longueur^ mesurée à l'échelle des forces^ par la distance du pôle à la parallèle à la force^ dans le dynamique, mesurée à l'échelle des longueurs.

En effet, soit un certain dynamique Offf (fig. 66) et soit Fg Tune des forces du système.

Le moment de la force F, par rapport au point M du plan est

OKmF,=(F,),X(MH)„ (i)

MH étant la perpendiculaire abaissée du point M sur la force Fg.

^^ t^m hi —

io3

Transformons cette relation. Pour cela menons par le point M une parallèle à la force Fg; cette parallèle rencontre les rayons 2 et 3 du funiculaire qui se coupent sur F^ aux points N et Q et soit A2 le point

Fîg. m.

d'intersection de ces deux rayons sur la force Fg. Menons de Ag la perpendiculaire A^Tà la force Fg, ona