Systèmes triangulés
438. Description générale. — Réduction des forces extérieures à des forces appliquées aux nœuds, — Les systèmes triangulés se composent de pièces droites réunies à leurs points de rencontre par des articulations, c'est-à-dire par des assemblages qui ne s'opposent pas à la déformation des angles; on applique, par extension, les résultats trouvés pour ces systèmes à des ouvrages en charpente, quoique leurs assemblages ne répondent pas rigoureusement à cette définition.
On dit qu'un système articulé présente des barres surabondantes si la suppression de certaines barres n'altérerait pas la rigidité du système. Ces barres seraient théoriquement inutiles.
Nous n'examinerons que des cas où il n'y a pas de barres surabondantes.
Le point de rencontre de deux ou plusieurs barres est appelé un nœud.
Un système articulé est soumis à un certain nombre de forces extérieures; ces forces sont de deux catégories : les charges données et les réactions aux points d'appui.
Il est de règle dans un système articulé de n'appliquer jamais de charges isolées autre part qu'en des nœuds; ce qui fait que les tiges ne subissent que des efforts dirigés dans le sens de leur longueur.
Le système articulé peut supporter, par l'intermédiaire de pannes reposant sur deux nœuds, des charges
i38 COURS DE STATIQUE
uniformément réparties distribuées sur des barres ;
soit P la résultante de ces charges uniformément
réparties sur une barre, elle est appliquée au milieu
de la barre et on peut la décomposer en deux forces
appliquées aux deux extrémités A et B de la barre ;
ces deux forces seront égales entre elles et auront
P pour valeur — , la moitié de la charge totale.
En fait, les charges uniformément réparties ne sont jamais appliquées sur les barres elles-mêmes, mais sur des panneaux parallèles aux barres très voisines et reposant parleurs extrémités sur des nœuds. Dans ces conditions on voit bien, alors, que chacune de ces charges n'agit sur le système que par les nœuds.
Donc, chaque fois quune barre d'un système irian-gulé supporte une charge P uniformément répartie^ chaque extrémité de la barre^ c'est-à-dire chaque nœud^ supporte la demi-charge.
En résumé, étant donné un système triangul-é, soumis à des forces extérieures, les charges et les réactions^ qui se font équilibre^ on devra toujours remplacer ce système de forces par un système de forces appliquées en des nœuds en observant que chaque nœud supporte, outre les charges isolées et les réactions qui peuvent lui être appliquées, les demi-charges uniformément réparties sur toutes les barres qui y aboutissent.
i39.TensioDsdes barres, — Considérons un système articulé de forme quelconque ABGDE (fig. 82, p. 142) et soumis à un certain nombre de forces se faisant équilibre, trois par exemple : la force P appliquée au nœud A, la force Q appliquée au nœud B, la force R appliquée au nœud C Comme les forces P,
SYSTEMES TRIANGULES 189
Q,R se font équilibre, leur dynamique doit se fermer; si donc on donne les directions et les intensités des forces P et Q la direction et l'intensité de la force R seront données par la condition que le dynamique p g r se ferme (fig. 82) et, de plus, les trois forces sont concourantes.
Ceci posé, chaque nœud est soumis à un certain nombre de forces qui sont les forces extérieures et les réactions des barres sur ce nœud. Le nœud est en équilibre sous Tinfluence des forces qui agissent sur lui, car ce nœud peut être considéré comme un corps solide (un boulon par exemple) soumis à des forces extérieures et aux actions des barres qui y aboutissent.
Donc : Toutes les forces qui agissent sur un nœud se font équilibre, et par conséquent le dynamique de ces forces se ferme.
Chaque barre agit sur le nœud correspondant et réciproquement chaque nœud réagit sur la barre correspondante; il en résulte que chaque barre est soumise à deux forces qui agissent à ses deux extrémités. Comme la barre est en équilibre, il faut que ces deux forces soient égales, directement opposées et dirigées suivant la direction de la barre.
Donc, chaque barre est soumise à deux forces égales, directement opposées et appliquées à ses extrémités. L'intensité commune de ces deux forces est ce quon appelle la tension de la barre.
Deux cas peuvent se présenter :
i*" Les deux forces qui agissent aux extrémités de la barre sont dirigées de façon à écarter les deux extrémités, on dit alors que la barre travaille à la traction. Les deux nœuds tirent sur la barre aux deux extrémités.
i4o COURS DE STATIQUE
2^ Les deux forces sont dirigées de façon à rapprocher les deux extrémités, on dit, dans ce cas, que la barre travaille à la compression, La barre est comprimée; les deux nœuds tendent à se rapprocher.
140. Remarque. — En un nœud où n aboutissent que deux barres doit être appliquée une force extérieure^ sinon les deux barres sont inutiles.
En effet, supposons qu'au nœud A (fig. 82) ne soit appliquée aucune force extérieure, alors les tensions des barres AD, AE sont nulles, car si ces tensions n'étaient pas nulles on aurait au point A une force dirigée suivant AD et une force dirigée suivant AE; et ces deux forces devraient se faire équilibre, ce qui est impossible puisqu'elles ne sont pas directement opposées. Les tensions des deux barres sont donc nulles et les deux barres sont inutiles, on peut les supprimer dans le système.
Nous supposerons^ dans la suite^ chaque fois qu'en un nœud n aboutiront que deux barres^ qu'il y a une force extérieure appliquée en ce nœud,
141. Détermination graphique des tensions des barres, — Etant donné un système triangulé en équilibre, nous nous proposons de déterminer par la méthode graphique les tensions de toutes les barres du système et de reconnaître si les barres travaillent à la traction ou à la compression.
Considérons (fig. 82) un système articulé soumis à trois forces P, Q, R concourantes qui se font équilibre .Partons du nœud A où aboutissent deux barres AD, AE et où agit la force extérieure P.
Les deux tensions suivant AD et AE sont deux forces inconnues en intensité, mais connues en direction qui doivent faire équilibre à la force P.
SYSTEMES TRIANGULÉS 141
Construisons le dynamique : il suffit de construire un triangle dont on connaît un côté qui a pour longueur P et les directions AD et AE des deux autres côtés; ce triangle est déterminé, soit FGH.
Les forces HG et FH de ce dynamique font équilibre à la force P appliquée au nœud A ; ces forces sont donc les réactions des barres sur le nœud A et les forces égales et directement opposées sont les tensions des barres au point A suivant AD et AE. Soient T et U ces teûsions ; on a T = GH et U = HF.
Au point D est appliquée une force T' égale et directement opposée à T de même en E une force U' égale et directement opposée à U.
Au nœud D aboutissent trois barres, AD, DE, DC. On connaît la tension T' de la barre AD, et les directions des tensions inconnues des barres DE, DC. On est donc ramené au problème précédent. Les tensions inconnues doivent faire équilibre à la force T'. Construisons un nouveau dynamique; pour cela menons G^H^ égal et parallèle à T et par les extrémités de G^Hj, G^ I parallèle à DC et H^ I parallèle à DE. Les forces G^ I, 1 H^ de ce dynamique font équilibre à la force T, ce sont les tensions S et V des barres suivant DE, DC.
Au point C est appliquée une force V égale et directement opposée à V, de même en E une force S' égale et directement opposée à S.
Au nœud C agit la force extérieure R, la force égale et directement opposée à la tension V et les réactions inconnues des barres CE et CB mais dont on connaît les directions. Construisons le dynamique, menons LGg égal et parallèle à la force R et G2 I^ égal et parallèle à V, puis par Textrémité 1^ menons I^K parallèle à CE et par l'extrémité L, LK parallèle
à CB, les forces I^K et LK sont les tensions des barres CE et CB.
On voit que pour chaque nœud correspond un dynamique particulier qui donne les tensions des barres qui y aboutissent.
En suivant la même marche, on trouverait le dyna-
Fig. 82.
mique au point B : K^ L^ M, qui donne la tension MK^ de la barre BE et le dynamique au point E : MJv^TgH.^, qui donne les tensions déjà connues des barres qui aboutissent au nœud E.
142. Réunion des dynamiques partiels en un seul. — Dans la pratique, on évite le tracé d'un grand
SYSTEMES rniANGULES
nombre de lignes en réunissant ces dynamiques particuliers. Ainsi on réunit les dynamiques des points A et D (fig. 82)en plaçant la droite G^ H^ sur la droite égale et parallèle GH; on transporte le dynamique du point G parallèlement à lui-même de manière que le point G2 coïncide avec le point G, alors la droite
Fig. 83.
G^Ii coïncide avec G^I du second dynamique transporté ; puis on transporte le dynamique du point B parallèlement à lui-même de manière que L^ K^ coïncide avec la nouvelle position de la droite LK transportée du troisième dynamique; le dynamique du point E se trouve tout transporté.
fV^
i44 COUBS DE STATIQUE
On voit que Ton économise ainsi un certain nombre de lignes.
143. Notation des aires. — Pour faciliter le tracé du dynamique unique obtenu par la réunion des dynamiques partiels, il est bon d'adopter une notation particulière dite notation des aires.
Considérons la figure formée par un système articulé et des forces extérieures. Si Ton imagine que les lignes qui forment les forces sont prolongées indéfiniment et extérieurement au système articulé, on découpe la feuille de l'épure en régions. Dans chaque région on met une lettre ; soient a, 6, c,
Au moyen de cette notation, chaque force connue ou inconnue est dirigée suivant une ligne qui sépare deux régions.
Dans le dynamique, on met aux deux extrémités de la force les mômes lettres que celles qui sont placées dans les deux aires contiguës à cette force, dans le système articulé.
Ainsi, la force P (fig. 83) sépare les aires a et c, on nommera donc dans le dynamique la force parallèle à P par ac ; la tension de la barre AE sépare les aires c et c?, on représentera cette tension dans le dynamique par cd,
144. Tracé du dynamique unique. — Cette notation adoptée, reprenons le tracé précédent, en réunissant tous les dynamiques partiels en un seul.
Pour régulariser la marche adoptons un sens de rotation, celui de la flèche a par exemple, et prenons, dans le tracé du dynamique partiel de chaque nœud, les forces dans Tordre où on les rencontre en tournant autour du nœud dans le sens a (fig. 83).
SYSTÈMES TRIANGULÉS i45
Partons du nœud A où aboutissent deux barres AD, AE et où agit la force extérieure P. Les deux tensions de et ad suivant AE et AD sont inconnues en intensité mais connues en direction. Imaginons que l'on tourne autour du nœud A dans le sens de la flèche a. On va de Taire a à Taire c en traversant la force P, on mène dans le dynamique une parallèle à P et on porte sur cette parallèle une longueur ac égale P et de même sens. Puis, on paisse de Taire c à Taire d en traversant AE, par le point c on mène une parallèle à AE ; enfin on revient de Taire d à Taire a en traversant AD ; par le point a on mène une parallèle à AD. Les deux droites ainsi menées, dans le dynamique, se coupent en un point d et les deux tensions cherchées sont, en grandeur^ ad pour la barre AD et ac pour la barre AE. Si Ton se reporte à la figure 82, on voit que le dynamique acd que nous venons de tracer n'est pas autre chose que le dynamique GHF. Nous ne nous occuperons pas, pour le moment, des sens des tensions, mais seulement de leurs grandeurs.
Passons au nœud D. En ce nœud aboutissent trois barres; on connaît la tension ad de la barre AD et les directions des tensions inconnues des deux barres DE,DC. Imaginons que Ton tourne autour du nœud D dans le sens de la flèche a. On va de Taire a à Taire d en traversant AD, on mène dans le dynamique par le point a une parallèle à AD; cette parallèle ad est déjà menée. Puis on va de Taire d à Taire e en traversant DE, par le point d on mène une parallèle à DE ; enfin on va de Taire e à Taire a en traversant DG, par le point a on mène une parallèle à DC. Les deux droites ainsi menées, dans le dynamique, se coupent en un point e et les deux tensions
BouRLET. Cours de statique, ii. lo
i46 COURS DE STATIQUE
cherchées sont de pour la barre DE et ea pour la barre DG.
Si Ton se reporte à la figure 82, on voit que le dynamique ade n'est autre que le dynamique G^HJ.
Passons au nœud G où aboutissent trois barres et où agit la force extérieure R. On connaît la tension ea de la barre DG et les directions des tensions des barres GE, GB ; déterminons les intensités de ces deux tensions. Tournons autour du nœud G dans le sens de la flèche a : on va de Faire b à Taire a en traversant la force R, menons par a une parallèle à la force R et telle que ba soit égale à R et de même sens. Puis on va de Taire a à Taire e en traversant CD, menons par a une parallèle à CD, c'est la droite ae déjà menée. Puis on va de Taire e à Taire f en traversant GE; menons par e une parallèle à GE. Enfin on va de Taire f k Taire b en traversant GB; menons par b une parallèle à GB. Les deux dernières droites ainsi menées se coupent en un point/* et les deux tensions cherchées sont e/*pour la barre GE et bf pour la barre CB.
Si Ton se reporte à la figure 82, on voit que le dynamique baef n'est pas autre chose que le dynamique LGjljK.
Passons ensuite au nœud B où aboutissent deux barres et où agit la force extérieure Q. On connaît la tension fb de la barre BG, il reste à trouver la tension connue en direction sur la barre BE.
En tournant dans le sens de la flèche a on passe de Taire c à Taire b en traversant la force Q; par le point c menons une parallèle à Q, cette droite doit passer par le point b déjà obtenu et de plus cb doit être égal à Q et de même sens. Puis on passe de Taire b à Taire f en traversant BC, menons par b la
SYSTÈMES TRIANGULÉS l47
parallèle bf à BG ; cette parallèle est déjà menée. On passe de Taire f à Taire c en traversant BE : menons par /'une parallèle à BE, cette droite doit passer par le point c; c'est une vérification, fc donne la tension de la barre EB.
Le dynamique bfc n'est autre chose que le dynamique L^KjM.
Les tensions de toutes les barres sont déterminées.
i^^. Règle générale à suivre pour le tracé du dynamique. — Étant donné un système articulé^ lorsqu'on a déterminé toutes les forces extérieures qui agissent sur les nœuds de ce système^ à savoir les charges et les réactions^ qui forment un système en équilibre^ on imagine que les lignes d'action des forces extérieures soient prolongées indéfiniment en dehors du système articulé. On partage ainsi la feuille en un certain nombre de surfaces et dans chaque surface on met une lettre.
On adopte un sens de rotation et on imagine que Von tourne autour du système articulé dans ce sens. On construit le dynamique des forces extérieures dans Vordre où on les rencontre en tournant dans le sens choisi et en ayant soin^ dans ce dynamique^ de désigner une force par les deux lettres des deux surfaces qu'elle sépare.
Ceci fait^ on part d'un nœud oit n'aboutissent que deux barres^ en ce nœud il y a nécessairement une force extérieure {n*" 140). On tourne dans le sens choisi autour du nœud et dans le même sens sur le dynamique. On a une première force tracée dans le dynamique qui est la force qui aboutit à ce nœud. Chaque fois que Von passe d'une aire dans la sui-
JiS COURS DE STATIQUE
vante^ on mène dans le dynamique^ par le point où Von se trouve^ une parallèle à la ligne qu'on traverse dans le système articulé^ et il faut revenir au point de départ.
Ayant construit le dynamique relatif au premier points on passe de ce nœud à un suivant où il y a deux tensions inconnues.
Une portion du dynamique partiel de ce second nœud est déjà tracée. On imagine toujours que Von tourne autouc de lui dans le sens adopté et chaque fois qu'on traverse une ligne de séparation de deux, aires^ dans le système , on doit tracer une parallèle à cette ligne^ dans le dynamique^ qui portera à ses deux extrémités les lettres qui désignent les aires.
Pour le dernier nœud, le dynamique est construit par les opérations précédentes.
Si dans une barre la tension est nulle, il y a deux points qui coïncident et on met deux fois la même lettre.
Les tracés obtenus par Tapplication de la méthode précédente donnent lieu à des observations intéressantes .
Si on considère les deux figures formées d'une part par les barres du système articulé et les lignes d'action des forces extérieures, d'autre part par le dynamique^ ces deux figures jouissent, l'un par rapport à l'autre, des propriétés suivantes :
i^ A chaque ligne d'une des figures correspond dans l'autre une ligne parallèle, et réciproquement ;
1^ A toutes les lignes de Tune des figures qui aboutissent en un même point correspondent dans l'autre figure, des lignes parallèles formant un contour polygonal.
Il y a réciprocité entre les deux figures ; c'est pour cela qu'elles ont été nommées par Gremona figures réciproques.
Ainsi aux quatre lignes aboutissant dans la figure 83 au nœud C correspondent les quatre lignes parallèles du dynamique formant le polygone hacf. Avec la notation des aires, le polygone baef porte à ses sommets les mêmes lettres que les aires qui aboutissent au nœud C et dans le même ordre.
De la construction même, telle qu'elle résulte de l'application de la Règle précédente, il résulte bien que chaque dynamique partiel
SYSTÈMES TRIÂNGULÉS 149
relatif à un nœud donne des forces en équilibre respectivement parallèles aux barres et aux forces extérieures. Pour que la construction soit pleinement justifiée, il reste à se convaincre que les sens des forces sont bien observés. Or, ceci résulte des trois remarques suivantes :
1^ Le dynamique des forces extérieures a été tracé en tenant compte du sens de ces forces.
" 1^ Lorsqu'on tourne dans le sens a autour d'un nœud où aboutit une force extérieure on traverse les aires contigûes à cette force dans le même ordre que lorsqu'on tourne autour de tout le système dans le sens a. La force extérieure a donc bien, dans le dynamique partiel, son sens.
3® Lorsqu'on tourne dans le sens a, successivement, autour des deux nœuds qui sont les extrémités d'une même barre, les aires contigûes à cette barre sont traversées, dans les deux cas, en ordre inverse. Il en résulte que, dans les deux dynamiques partiels, le côté commun qui donne la tension de la barre est parcouru, successivement, dans deux sens diflcrents. Les actions de la barre sur les deux nœuds sont donc bien prises en sens contraires.
146. Distinction des tractions et des compressions, — Il reste maintenant à reconnaître si on a affaire à une compression ou à une traction dans chacune des barres du système.
Or, de la façon dont nous avons fait le tracé du dynamique, si un mobile tourne autour. d'un nœud dans le sens adopté, le mobile correspondant qui décrit le dynamique partiel de ce nœud dans l'ordre des lettres des aires traversées par le premier, décrit en grandeur et en direction les forces qui agissent sur ce nœud. Pour avoir, alors, au contraire, les actions de ce nœud sur les barres qui y aboutissent il faut changer les sens précédents.
Ceci conduit à la règle suivante :
. 147. RÈGLE. — Pour avoir les sens des actions d'un nœud quelconque sur les barres qui y aboutissent on considère le dynamique partiel relatif à ce nœud. On imagine qiiun premier mobile tourne autour du
i5o COUJRS DE STATIQUE
nœud dans le sens contraire au sens adopté et qu^un second mobile décrive le dynamique partiel du nœud dans V ordre des lettres des aires traversées par le premier.
Le sens de marche de ce second mobile donne les sens des actions du nœud sur les barres qui y aboutissent.
Ainsi, dans la figure 83, le dynamique du nœud A est adc qui sera parcouru dans le sens adc par le second mobile lorsque le premier tourne autour de A dans le sens contraire à a. Les actions ad et de du nœud A sur les barres AO et AE sont donc, comme on Tobserve d'après leur sens, des compressions.
Considérons encore le second nœud E. Son dynamique parcouru dans le sens contraire à a est cdefc. Les sens des 4 actionsr du nœud sur les 4 barres EA, ED, EC, EB sont donc cd, de, ef, fc. On voit que cd et fc sont des compressions et de, ef des tractions.
Dans la mise à l'encre, on tracera, dans le dynamique, les efforts des barres qui travaillent en compression^ en bleUj les efforts des barres qui travaillent en traction en rouge et les forces extérieures en /lOiJr.
Dans les épures que nous ferons dans la suite nous tracerons en trait mixte — • — • — • — avec un tiret et un point alternés les
compressions ; et en trait mixte — •• avec un tiret et deux
points alternés les tractions.
Nous conserverons cette notation dans toutes les épures suivantes.
Nous allons, maintenant, à titre d'exercices^ appliquer ces règles générales à des exemples, pour mieux faire voir comment se fait cette application.
148. Exercice I. — Poutre armée à un seul poinçon. — Soit une poutre AB soutenue en un point C par un poinçon CD que soutiennent, à leur tour, deux tirants obliques, AD, BD. La poutre repose, à ses deux extrémités, sur des appuis de niveau ; elle
SYSTEMES TRIANGULES
est uniformément chargée d'un poids total P. On demande les tensions des pièces (fig. 84).
En A et B on a deux réactions X et Y verticales et égales.
La charge uniformément répartie sur AC se décom-
Fig. 84.
pose en deux charges égales Q appliquées en A et
en G; de même, la charge uniformément répartie
sur BC se décompose en deux charges égales Q'
appliquées en B et en G. On a donc au point G une
force égale à la demi-charge totale c'est-à-dire égale
P à — ; au point A deux forces de sens contraires X
et Q qui donnent une résultante égale à leur différence ; au point B deux forces de sens contraires Y et Q' qui donnent une résultante égale à leur différence.
Imaginons que nous prolongions les lignes d'ac-
i5a COUns DE STATIQUE
tion des forces, et dans chaque surface mettons une lettre: soient rt, ^, c, cf, e. Prenons un sens de rotation et construisons le dynamique en suivant la règle énoncée plus haut (n''145). En allant de Taire c à Taire a on traverse la force (X-Q), menons une droite ca égale, parallèle à (X-Q) et de môme sens ; en
P allant de Taire a à Taire b on traverse la force — , me-
p nons la droite ab égale, parallèle à — et de môme
sens; enfin en allant de 6 en c on traverse Y-Q' et nous menons la droite bc égale et parallèle à Y-Q' qui ferme le dynamique des forces extérieures ca^ ab^ bc.
Prenons le nœud A où aboutissent deux barres et où agit la force extérieure (X-Q) et tournons dans le sens choisi. On va de Taire c à Taire a en traversant la force (X-Q) : dans le dynamique la parallèle ca à X-Q est déjà tracée. Puis on passe de Taire a à Taire d en traversant AB, menons par a une parallèle à AB. On revient ensuite de Taire d à Taire c en traversant AD, et nous menons par c une parallèle à AD. Ces deux droites se coupent au point rf, ce qui donne les deux tensions ad^ cd des barres AG et AD.
On passe ensuite au nœud C où les deux tensions suivant CD et GB sont inconnues ; on construit le dynamique dabe^ ce qui donne les deux tensions ed et eb inconnues suivant GD et GB.
Onjointec qui donne la dernière tension suivant DB. • Gomme vérification, ec doit être parallèle à la droite DB#
' Il reste à déterminer si on a affaire à une compression ou à une traction dans les tensions des barres •de la poutre armée.
SYSTÈMES TRIANGULÉS i53
Le dynamique du nœud A, lorsqu'on tourne autour de lui dans le sens contraire à a, est parcouru dans le sens dac. Les actions du nœud A sur les barres AC et AD sont donc da qui est une compression et cd qui est une traction.
En tournant dans le sens opposé à a autour du nœud C son dynamique est parcourue dans le sens adeb ; ad. action du nœud sur AG est une compression comme on l'a déjà vu, de et eb sont également des compressions.
Enfin, quand on tourne autour de D dans le sens opposé à a le dynamique est parcouru dans le sens ced ; ce et de sont des tractions, ed est une compression.
149. Exercice IL — Poutre triangulée à triangleô isocèles, — Une poutre triangulée à triangles isocèles se compose d'un certain nombre de triangles isocèles disposés comme l'indique la figure ci-contre (fig. 85). Supposons cette poutre reposant sur les points d'appui A et B, de portée Z, et chargée d'un poids p par mètre courant appliqué en haut. La charge appliquée à chaque sommet G, D, E, sera
pi La charge appliquée aux nœuds A et B sera
et les réactions aux points A et B seront
i54 COURS DE STATIQUE
En A et B sont donc appliquées des forces égales
à X— -^et Y ^ ou à 2ûr
•1 __^ ^jPi
Ceci posé, mettons des lettres dans les aires que
OD
Fig. 85.
forment les forces et les barres et prenons un sens de rotation a.
Traçons le dynamique des forces extérieures. En tournant dans le sens choisi, nous allons de Taire a
à Taire h en traversant la force X — = — ^ : sur
la verticale xy^ parallèle aux forces, prenons un
segment ah égal à X ^ et de même sens. Puis
nous allons de 6 en c en traversant q et nous menons
SYSTÈMES TRIANGULÉS i55
bc = q\ nous allons de c en rf en traversant q et nous menons cr/ = y; de rf en c en traversant q et nous menons de=^q\ et enfin de e en a en traversant
Y — — et nous menons ea = Y — — . Comme vérification, après- avoir porté la longueur Y — — nous
devons revenir au point de départ a.
Partons du nœud A où aboutissent deux barres AC,
AK et une force extérieure X ^ et cherchons les
deux tensions suivant AC, AK. Pour cela, tournons dans le sens choisi : nous allons de a en 6, ce qui donne ab déjà tracée dans le dynamique; puis nous allons de b en fen traversant AC, menons dans le dynamique une parallèle par le point 6 à la barre AC traversée. Enfin, nous revenons de /'en a en traversant KA et nous menons dans le dynamique une parallèle par « à la barre KA. Les deux dernières droites ainsi menées se coupent en un point f et les tensions des barres AC, AK sont données par les longueurs bfy fa du dynamique.
On passe ensuite au nœud K où les tensions suivant KC, Kl sont inconnues. On trace le dynamique afg qui donne les deux tensions fg et ga cherchées. On passe au nœud C, qui donne le dynamique bchgf et les tensions ch et hg suivant les barres CD et Cl. Enfin, on passe au nœud I et on détermine le dynamique ghka qui donne les tensions hk et ka suivant ID et ir.
Il est inutile de continuer car, la figure étant symétrique, les tensions des barres symétriques sont respectivement égales. Il reste à savoir si Ton a affaire à des compressions ou à des tractions.
Nous imaginons donc, suivant la règle du n° 147,
i56 COURS DE STATIQUE
un mobile tournant successivement autour de chaque nœud dans le sens contraire à a et nous suivons sur les dynamiques partiels la marche du mobile correspondant.
Le dynamique de A est parcouru dans le sens afba ; afest une traction, fb une compression.
Le dynamique de C est parcouru dans le sens bfghcb; bf est une compression (déjà trouvée), ^ une compression, gh une traction, hc une compression.
Le dynamique de I est parcouru dans le sens akhga ; ak est une traction, kh une compression, hg une traction (déjà trouvée), ga une traction.
150. Exercice III. — Nous avons admis, dans Texemple précédent, que la charge de la poutre était supportée tout entière par les nœuds supérieurs et que les nœuds inférieurs ne supportaient rien.
Dans la pratique, on admet généralement que les nœuds inférieurs supportent une partie de la charge, environ le dixième.
Soit alors P la charge totale, p la charge supportée par un des panneaux supérieurs et q celle que supporte l'un des panneaux inférieurs FG, GH, HK (fig. 86). On aura :
d'où
qP p
Chacun des nœuds supérieurs C, D, E supportera une charge/?, et chacun des nœuds A et B une charge — . Les nœuds inférieurs G et H supporteront chacun
SYSTEMES TRIANGULES
une charge ç, et chacun des nœuds F el K une
charge —
Fig. 86.
Les réactions X et Y en A et B sont égales à la moitié de la charge totale — . De telle sorte que ces deux nœuds A et B sont soumis en réalité à des
i58 COURS DE STATIQUE
forces X' et Y' égales à —, différence entre la
réaction et la charge partielle provenant du panneau contigu.
Ceci posé, plaçons des lettres «, 6, c, etc., dans les aires et adoptons un sens de rotation a (fig. 86).
Traçons d'abord le dynamique des forces extérieures «6, 6c, crf, de^ ei, i]\jo^ or, ra dans Tordre où on les rencontre en tournant autour du système dans le sens a.
Partons maintenant du nœud A. En tournant dans le sens choisi, nous formons le dynamique abf qui donne les deux tensions bf^fa suivant les barres AC, AF.
Au nœud F, nous avons le dynamique rafg qui donne les deux tensions fg^gr suivant les barres FC, FG.
Au nœud G, nous avons le dynamique gfbch qui donne les deux tensions cA, hg suivant les barres CD, CG.
Le nœud G donne le dynamique orghk et les deux tensions hk, ko suivant les barres GD, GH.
On a ainsi la moitié du dynamique.
Il est inutile de tracer Fautre moitié qui serait symétrique de celle-ci par rapport à ok,
11 reste à déterminer les compressions et les tractions :
Il suffit pour cela de reprendre chacun des dynamiques précédents, en ordre inverse du parcours.
151. Exercice IV. — Poutre à triangles rectangles. — Barres descendantes. — Soit une poutre triangulée à triangles rectangles chargée à la partie inférieure AB (fig. 87). Les nœuds G, D, E supportent une charge p et les nœuds A et B une charge
SYSTÈMES TRJANGULÉS iSg
— ; les réactions aux points A et B sont X = Y = 2/?
et les deux nœuds A et B sont donc soumis aux forces X', Y/
P ^P in — ^ = — i-
Plaçons des lettres dans les aires que forment les
Fig. 87.
forces et prenons un sens de rotation a. Formons le dynamique ah^ bc^ cd^ de^ ea des forces extérieures et partons du nœud a dont nous formons le dynamique aef. On voit que le point /* coïncide avec le points, la barre AG a une tension nulle ; théoriquement on peut la supprimer. La barre AF supporte toute la pression, sa tension est fe.
Au nœud F, nous avons le dynamique efg qui donne les deux tensions/^ et ge suivant FG et FH.
Au nœud G, nous avons le dynamique gfabh qui
donne les deux tensions bh et hg suivant CD et CH.
Au nœud H, nous avons le dynamique eghk qui donne les deux tensions hk et ke suivant HD et HI.
Enfin, au nœud I, nous avons le dynamique ekl ; le point l coïncide avec le point A', la barre ID a une tension nulle et théoriquement on peut la supprimer.
Fig. 88.
Le reste de la figure s'obtient par symétrie par rapport à ek.
Déterminons les compressions et les tractions. En suivant la même marche que dans les questions précédentes on trouve que les barres obliques sont étendues, les barres verticales sont comprimées, les barres FH, HI, IK, KL (semelle supérieure) sont comprimées, les barres AG, CD, DE, EB (semelle inférieure) sont étendues.
SYSTÈMES TRIANGULÉS i6l
152. Exercice V. — Poutre à triangles rec^ tangles, — Barres montantes. — En suivant la même marche que pour les barres descendantes, on construira facilement Tépure ci-contre (fig. 88). On voit que les points e et /* se confondent et que, par conséquent les barres Fil et AF ont des tensions nulles, ce qui était à prévoir puisqu'il n'y a aucune force extérieure agissant sur le nœud F à deux barres.
Les barres obliques sont comprimées, les barres verticales étendues, la semelle supérieure comprimée et la semelle inférieure étendue.
153. Exercice VL — Ferme Polonceau à une contre-ûcbe. — La figure 89 nous montre un exemple simple de ferme de comble formée de deux arbalétriers AB, AC, de deux con/re-fiches DE, D'E^ et de tirants BE, AE, \E\ CE' et EE'. Supposons d'abord qu'on ne tienne pas compte du vent et soit pi la charge uniformément répartie sur l'albalétrier AB de longueur l. Au nœud D sera appliquée
une charge — provenant de la charge uniformément
répartie sur MX ; au nœud B sera appliquée une charge -^ provenant de la charge sur BM ; au nœud
A sera appliquée une charge -^ provenant des
charges sur AN et AN'. Enfin en D' et en G seront appliquées les mêmes charges qu'en D et B. Les réactions X et Y aux appuis B et G sont égales entre elles et égales à pL II en résulte qu'aux nonids B et G sont appliquées deux forces X' et Y' égales chacune à l'excès de la réaction sur la charge qui vient
BouRLET. Cours de statique, ii. ii
i6a COURS DE STATIQUE
se perdre dans Tappui, c'est-à-dire à :
l' = X'=pl-J^=^
Fig. 89.
Traçons le dynamique des forces extérieures ab^ bc, ccl^ de^ ea.
Au nœud B, en tournant dans le sens a, nous for-
SYSTÈMES TRIANGULÉS i63
nions le dynamique àbf^ qui donne les tensions 6/J fa suivant BD, BE.
Au nœud D nous formons le dynamique /&c^, qui donne les tensions cg^ g/suivant DA, DE.
Puis, au nœud E nous formons le dynamique afgh qui donne les tensions gh^ ha suivant EA, EE'.
Nous avons ainsi la moitié du dynamique total, ce qui suffît, vu la symétrie de la ligure.
Distinguons les compressions et les tractions :
Tournons, successivement autour de chaque nœud dans le sens contraire au sens a et imaginons un mobile qui parcourt le dynamique partiel correspondant dans Tordre des lettres des aires traversées.
Le dynamique de B est parcouru dans le sens rifba ; af est une traction, fb une compression. Le dynamique de D est parcouru dans le sens bfgcb ; fg est une compression, gc également. Enfin le dynamique de E est parcouru dans le sens ahgfa ; ah est une traction, ainsi que hg.
Remarque. — Si Ton avait abaissé le tirant EE' jusqu'à Thorizontale passant par le pied B de la ferme, les tirants BE, EE', E'C seraient en ligne droite.
L'épure ne serait pas modifiée; seulement la ligne af serait horizontale comme ah et les deux lignes se confondraient en direction.
154. Exercice VII. — Eïfet du vent sur une ferme Polonceau à une contreûche, — Pour déterminer les divers efforts qui s'exercent suivant les barres de la ferme Polonceau, nous avons négligé l'action du vent sur le comble ; il est facile d'en tenir compte. Pour cela, il n'y a qu'à faire une épure en tenant compte uniquement de l'effet du vent et à super-
i64 COURS DE STATIQUE
poser, ensuite, les deux effets du vent et des forces extérieures.
Soit la ferme Polonceau représentée par la figure 90 et supposons que le vent souffle de droite à gauche dans la direction R.
Le vent produit sur le versant de droite une pression normale qu'il est facile de déterminer, comme nous Tavons expliqué au n^ 127. Soit p la pression produite sur AD et sur DG.
Au nœud D est appliquée la pression jo exercée par le vent sur la surface MN du toit ; aux nœuds A et G
sont appliquées les pressions -^ exercées sur les
surfaces AM et GN du toit.
Ces trois forces normales à AG donnent lieu à deux réactions en G et B. Admettons que la réaction au point G soit verticale (n°128); celle au point B aura une direction inconnue que nous allons déterminer comme au n''128. Pour cela, traçons le dynamique des trois forces, données prenons un pôle P quelconque et menons les rayons polaires o, i, 2, 3. Puis, nous traçons le funiculaire, en menant la parallèle o par le point B, et nous le fermons par la droite 4» Le rayon polaire parallèle à 4 rencontre la verticale FG parallèle à la réaction X au point G qui donne l'intensité FG de X ; joignant G à K on a la direction et l'intensité GK de la réaction Y au point B.
Geci posé, traçons le dynamique abcdn des forces extérieures après avoir mis des lettres dans les aires que forment les forces et les barres, et après avoir pris un sens de rotation a. Ce n'est autre que la figure GKF et ces deux figures peuvent se superposer.
Au nœud B, nous formons le dynamique abf^ qui donne les tensions bf, fa suivant BA, BE'.
SYSTEMES TRIANGULÉS
Au nœud D' nous formons le dynamique fbg\ le
fr
Fi g. 90.
point g coïncide avec le point f\ gf étant nul, la barre D'E' ne travaille pas sous Faction du vent.
l66 COURS DE STATIQUE
Au nœud E', nous formons le dynamique afgh, qui donne les tensions ghy ha suivant E'A, E'E.
Au nœud A, nous formons le dynamique lighcq^ qui donne les tensions cq^ qh suivant AD, AE.
Au point D, nous formons le dynamique qcdin^ qui donne la tension nq suivant ED.
Enfin, en joignant m à a, on a la tension ma suivant EG et, comme vérification de Tépure, il faut que ma soit parallèle à la barre EG.
On trouve facilement les tractions et les compressions. Dans la figure, les tractions sont représentées par un trait formé d'w/i tiret et deux points alternés et les compressions par un trait formé d'w/i tiret et A^ua point alternés.
Les barres AE, AE', EG, EE', BE' sont étendues, les deux arbalétriers et la barre ED sont comprimés, la barre D'E' ne subit aucun effort de la part du vent.
Geci posé, il ne reste plus qu'à totaliser les efforts dus aux forces extérieures et à Faction du vent en relevant les efforts partiels sur chacune des épures tracées ; les efforts qui sont des tractions dans les deux cas, s'ajoutent les uns aux autres, de même les compressions ; les compressions et les tractions se retranchent les unes des autres et donnent des compressions ou des tractions suivant les cas.
Remarque. — Ces deux épures peuvent se faire en une seule épure en considérant les forces extérieures et Faction du vent simultanément.
155. Exercice VIII, — Ferme de comble à la Mansard. — Soit un comble à la Mansard de la forme d.e la figure 91. Ge type de comble est en général
SrSTEMES TRIANGULES
symétrique. Nous supposerons que Ton néglige Faction du vent.
Au nœud C est appliquée une charge p provenant
tAt
Fig. 91.
de la charge uniformément répartie surMCM'; aux nœuds D et D' une charge p' provenant de la charge uniformément répartie sur MDN et M'D'N' et enfin aux appuis, une charge p" provenant de la charge sur AN et BN^
i68 COURS DE STATIQUE
Les réactions aux appuis sont égales entre elles et égales à
Déduction faite des charges p" il reste en A et B des forces
Formons le dynamique des forces extérieures abcde.
Au nœud A, nous formons le dynamique abf^ qui donne les tensions bfei r^/^suivant AD et AE.
Au nœud D, nous formons le dynamique fbcg^ qui donne les tensions cg et ^/"suivant DC, DE.
Au nœud E, nous formons le dynamique afgh^ qui donne les tensions lia^gh suivant EE^ EG.
Le reste de la figure s'obtiendrait par symétrie ; mais il est inutile de le tracer.
Distinguons les tractions et les compressions. Tournons autour de chaque nœud dans le sens contraire au sens a et imaginons un mobile parcourant, pour chaque nœud, le dynamique, dans Tordre des lettres des aires traversées.
Le dynamique de A est parcouru dans le sens afba ; afest une traction, fb une compression.
Le dynamique de D est parcouru dans le sens cbfgc; fg est une traction, gc une compression.
Enfin, le dynamique de E est parcouru dans le sens fghaf; gti est une traction et ha aussi.
