MG = — AG = -^ AM

Ainsi, le centre de gravité de l'aire d'un triangle est situé sur l'une quelconque des médianes de ce triangle, au tiers de cette médiane à partir du côté quelle partage en deux parties égales.

i8i COURS DE STATIQUE

ne. Centre de gravité de l'aire d'un trapèze. — Soit le trapèze ABCD [fig. loo).

Le centre de gravité doit être aituû sur la droite HK qui joint les milieux des bases car cette droite, (jiii divise en deux parties égales toule droite parallèle aux bases, est un diamètre.

11 reste à déterminer sa position sur cette droite

Pourcela, menons la diagonale BD, joignons DU, BK;

IID ,.„ KB '. .

prenons HE = -q— , KF = -;t- et joignons lit. Le

point G de rencontre de cette droite avec HK est le

centre de gravité du trapèze, car les points E et F

étant les centres de gravité des aires des triangles ABD

et BDC le centre de gra-

Z~~~.~T vite du trapèze doit se

trouver sur EF.

Ceci fournit une première construction du centre de gravité.

a On dccompone le Ira-

Yia. loo pèze en deux triangles

en menant une ditigo-

nale. Le centre de gravitéc est à l'intersection de la

droite qui joint les centres de gravité des deux triangles

et de la droite qui joint les milieux des deux bases.

m. — Déterminons le rapport des segments GK, G!I en lesquels le point G partage la ligne HK. A cet effet, supposons appliquées en F et E, deux forces perpendiculaires au plan de la figure, de même sens et respectivement proportionnelles aux aires des deux triangles DBG et ABD. Ces deux forces auront une résultante proportionnelle à Taire du trapèze et appliquée en G. Imaginons un plan pas-

CENTRES DE GRAVITÉ DES SURFACES i83

sant par DC et mené perpendiculairement au plan de la figure. Appliquons le théorème des moments de forces parallèles par rapport à un plan (n" 59). Soient a et b les bases du trapèze, h sa hauteur: ( ~ ] h est le poids du trapèze appliqué au point G (en supposant la densité égale à i), — — h le poids du triangle BDC, et — h le poids du triangle

ADB appliqués en F et E. Le théorème des moments donne :

^"^^^V^. GG^= — A.FP+ — /^. EE^ (i)

GG\ FF', EE' étant les perpendiculaires abaissées de G, E, F sur DG.

Cette égalité (i) peut se simplifier et s'écrit

(a + b) GG' = a, FP+i. EE'. (2)

Calculons FF' et EE'. Pour cela prolongeons les perpendiculaires EE', GG', FF' jusqu'à la base AB en E", G", F". Les deux triangles semblables FKF', FF"B donnent

FF' FK I

FF" FB 2

On a donc

FF" I h