CENTRES DE GRAVITÉ DES SURFACES

situé sur la bissectrice d'un second angle du triangle rt, 6, c : ce point d'application est donc à la rencontre des bissectrices des angles du triangle abc. Le centre de gravité du périmètre d'un triangle est situé au centre du cercle inscrit dans le triangle qui a pour sommets les milieux des côtés du triangle donné.

Remarque. — Pour déterminer la position du centre de gravité d'un contour polygonal quelconque, on n'a qu'à supposer appliquées aux milieux des cotés de ce contour des forces parallèles proportionnelles aux longueurs de ces côtés ; on compose ces forces, et leur centre est le centre de gravité demandé.

172. Théorème, — Si une surface liomogène a un centre de figure, ce point est son centre de gravité.

En effet, considérons une surface homogène ayant un centre de figure O (fig. 97). Prenons dans cette surface une portion de surface AI assez petite pour qu'on puisse la confondre avec un point; il existe, dans la surface, une surfaire M' symétrique de M par rapport au point O.

Les surfaces M et M' étant symétriques sont égales, elles

ont même poids p et ces deux poids ont une résultante ^p appliquée au point O, milieu de la droite qui joint les deux points M et M'.

On peut ainsi décomposer toute la surface en points deux à deux symétriques par rapport au point O et

l'jg- 97

l8o COUHS DE STATIQUE

on obtient ensuite le centre de gravité en cherchant le contre de tous les poids 2p appliqués en O. Ce centre de gravité est donc ce point O.

n3. Applications, — Le centre de gravité d'un parallélogramme est le point {T intersection des diagonales.

Le centre de gravité de taire d'un cercle est le centre de ce cercle.

Le centre de gravité de l'aire d'une ellipse est le centre de cette ellipse.

n4. Théorème. — Si une surface homogène admet lin diamètre, le centre de gravité de la surface est situé sur ce diamètre, y^ On ditqu'une surface S admet un diamètre, conjugué des cordes parallèles à une direction donnée 3, si! existe une droite D qui partage en deux parties égales " toutes les cordes parallèles à cette direction 5 rig. ,,8. ((ig. 98).

Ceci posé, on peut décomposer la surlace S tjui admet le diamètre D en bandes très fines parallèles à la direction 3. Ces bandes peuvent (■'tre assez étroites pour être-confondues avec des droites. Soit MM' une de ces bandes de poids p : son centre de gravité est au point I, milieu <le MM' et, par définition du diamètre, I est sur D.

Pour avoir le centre de gravité de la surface S, il

CENTRES DE GRAVITÉ DES SURFACES i8i

faut trouver le centre des forces parallèles p. Comme toutes ces forces p ont leurs points d'application sur le diamètre D, le centre de ces forces parallèles sera situé sur la droite D (n® 162).

175. Application. — Centre de gravité de Faire d'un triangle. — Soit le triangle ABC (fig. 99).

Menons la médiane AM ; cette médiane est le diamètre conjugué des cordes parallèles à BG puisqu'elle partage en deux parties égales toutes les cordes parallèles à BC ; elle contient par suite le centre de gravité du triangle.

De même, ce centre de gravité se trouve également sur la médiane BN, donc il est situé en G point de rencontre de cette médiane avec la première.

Le centre de gravité de Vaire d'un triangle est donc le point de concours des médianes.

Or, si Ton joint MN, on forme un triangle MNG semblable au triangle ABG puisque MN est parallèle à AB comme joignant les milieux des côtés AG, BG et Ton a la proportion

AB MG MN 2 j^.

AG ~ AB "" AB ~ 2 ' donc