Conditions analytiques d'équilibre. — On

déduit de là les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un nombre quelconque de forces appliquées à un point se fassent équilibre.

Pour que plusieurs forces appliquées au même point se fassent équilibre, il faut et il suffit que les sommes des mesures algébriques des projections de ces forces sur trois axes rectangulaires soient nulles.

En effet, soient des forces F^, F,, F^,... appliquées en un même point O (fig. 21). Menons, par ce point, trois axes rectangulaires Ox, Oy, O:; et projetons chacune des forces sur ces axes.

rr*-*-»^-

FORCES CONCOURANTES

Désignons par X^^ la projection de F^ sur Ojj, par Y^ et Z^ ses projections sur Oy et Oz. De même appelons X,, Y^, Z„ les projections de F, sur Ojc, Oy, O2, et ainsi de suite pour les autres forces.

Soit OR la résultante des forces F^, F^, F,.... et soient X, Y, Z les projections de cette résultante sur Ox^ Oy, Oz.

D'après le théorème précédent (n** 39) on a

S'il y a équilibre, la résultante est nulle

ce qui exige que Ton ait

a8 COURS DE STATIQUE

€t les relations (i) deviennent

Zi + Zj + Z3 + Z^ + = o )

La condition énoncée est donc nécessaire. Elle est aussi suffisante ; car si les conditions (2) sont remplies, les projections de la résultante R sur Oj?, Oz/, Oz sont nulles et elle est nulle elle-même, car elle ne peut être perpendiculaire à la fois aux trois axes.

Remarque. — Dans le cas particulier où les forces sont toutes situées dans un même plan, il suffit de les projeter sur deux axes rectangulaires de ce plan.

§ 3. — Composition DES forges parallèles.

41 . Composition de deux forces parallèles et de même sens. — Soient les deux forces parallèles F, F' (fig. 22), appliquées aux deux points A et B d'un corps solide. Suivant la droite AB, appliquons en A et B deux forces égales et opposées © et ©' : ces deux forces se faisant équilibre, Tétat du système ne sera pas changé.

Composons d'une part les forces F et tp , de l'autre les forces F' et ©'. Les directions des résultantes AF, et BF/ non parallèles et situées dans un même plan vont se rencontrer en un point O. Ce point étant supposé invariablement lié aux points A et B, on peut y transporter les points d'application des forces F^ et F/, ce qui donne F^ et Fg'; puis on peut décomposer Fg, F/ en deux forces suivant des directions parallèles à la droite AB et à la direction commune de AF et BF'. On obtient ainsi quatre forces «p^, /*, ç/,

/"'. Ces forces reproduisent celles appliquées primitivement en A et B,car les figures AcpFjFetO^^F/sont identiques, ainsi que les figures B'f 'F/F' et O/' F/o/. Il en résulte que les deux forces © ^ et ©/ appliquées

<?tf^

Fi g. 22.

en O, égales aux forces cp et ç', sont égales et, comme elles sont directement opposées, elles se détruisent. Les deux forces / et /*' se composent en une force

R = /*+ f = F + F dont le point d'application peut être transporté en G^

3o COURS DE STATIQUE

ce dernier point étant supposé invariablement lié au corps.

R est la résultante des deux forces données F et F'. On voit qu'elle est égale à leur somme, leur est parallèle et agit dans le même sens qu'elles.

Il reste à fixer la position du point G sur la droite AB.

Or les triangles OFg/*, OAC ayant leurs côtés parallèles sont semblables et ils donnent