La trigonométrie donne encore la relation suivante

AR AF RF

sin (AFR) sin (ARF) sin (FAR)

Mais l'angle FAR est l'angle que font les directions des forces R et F, on peut donc écrire

sin (FAR) = sin (F3).

L'angle ARF, qui est égal à l'angle F'AR comme

FORCES CONCOURANTES

alternes-internes, est égala Tangle des forces RetF', donc

sin(ARF) = sin(R7F').

L'angle AFR, qui est le supplément de Tan-

gle FAF, est le supplément de Tangle des forces F et F'.

La relation (i) devient alors

sin(F,P) ~ sin(R,F') ~ sin (R,F) "

Donc, si l'on considère deux forces F,F' appliquées au même point dans des directions différentes, et leur résultante R, on voit que chaque force est proportionnelle au sinus de l'angle formé par les deux autres.

34. Conséquence. — Conditions d'équilibre de trois forces concourantes.

Considérons trois forces appliquées au même point O (fîg. 1 7) ; soient Fj, F„ Fjj ces trois forces.

Pour qu'il y ait équilibre, il faut que l'une quelconque d'entre elles, Fg par exemple, soit égale et directement opposée à la résultante OR des deux autres. Cette condition entraîne d'abord que les trois forces soient situées dans un même plan car F3 devant être égale et direc-

Fig. 17.

•ii COVJtS DE STATIQUE

lement opposée à OR est forcément dans le plan de I F, et F,.

De plus les relations qui viennent d'être établies (n** 33) sont applicables aux trois forces R, F,, F^ et on a

sin (F,,F,) sin (R,F,) ~ sin (R,FJ ' ^^^ Mais on a

sin (R^) = sin (i8o^- fCFs) = sin (^^

car deux angles supplémentaires ont même sinus. De même

sin (0,) = sin (i8o« — F^F;) = sin {V^,) ;

et l'intensité de F, égale l'intensité de OR. La relation (i) devient donc

sin(F„F,) sin(F„F,) sin(F^,F3)-

Chacune des trois forces est proportionnelle au sinus de l'angle formé par les deux autres forces.

Réciproquement, si trois forces données sont situées dans un même plan et si elles satisfont à la relation (2) il peut arriver deux cas : ou la force Fg est la résultante des forces F^, Fg ; ou la force F3 est leur équilibrante. Mais pour qu'il y ait équilibre, il faut que la force F3 ne soit pas située dans l'angle des forces Fj, F^.

Les conditions d'équilibre de trois forces appliquées au même point sont donc :

I® Que les trois forces soient situées dans un même plan.

FORCES CONCOURANTES

2° Que les relations

sin (F,F,) sin (F.F,) sin (F,F,)

soient vérifiées^ cest-à-dire que chaque force soit proportionnelle au sinus de l'angle formé par les deux autres.

y Que l'une quelconque des trois forces ne soit pas située dans l'angle formé par les deux autres.

Remarque. — Si cette troisième condition n'était pas remplie, les trois forces ne se feraient pas équilibre et Tune d'elles serait la résultante des deux autres.

§ 2. — Composition de plusieurs forces

concourantes

35. Polygone des forces, — Soient un certain nombre de forces, quatre par exemple, appliquées au même point maté rielO(fig. i8) et représentées en direction et en intensité par les segments 0F„ 0F„ OF3, OF,.

Composons d'abord les forces OF^ et OFg par la règle du parallélogramme des forces et nous obtiendrons ainsi leur résultante OR^. Les deux forces OFj et OFj peuvent être supprimées et remplacées par la force OR,. Nous composerons ensuite les

forces OR^ et OF, de la même manière et nous obtiendrons une résultante OR, qui remplacera les forces

Fig. 18.

ORj et OFj. Enfin nous composerons les forces OR, et OF^ et nous obtiendrons la résultante OR qui remplacera toutes les forces données. Ce sera la résultante du système des forces données.

Il est facile de voir que la ligne OR ferme le contour d'un polygone dont les côtés sont respectivement égaux et parallèles aux droites qui représentent en direction et en intensité les forces données. Il suffît donc pour trouver la résultante de former le contour polygonal FjR^RgR en menant par l'extrémité de la première force F^ la droite F^R^ égale et parallèle à la seconde force (fig. 19), puis, .par l'extrémité Rj, la droite R^Rj égale et parallèle à la troisième force ; et ainsi de suite. On joint le point O à l'extrémité R de la dernière parallèle menée.

La figure OF^R^Rg.-.Rest, ce qu'on appelle \e polygone des forces.

Fig. 19.

36. Condition géométrique d*équilibre. — Si le point Rne coïncide pas avec le point O, il y a une résultante unique ; sile point R coïncide avec le point O, c'est-à-dire si le polygone des forces se ferme, la résultante est nulle et les forces données se font équilibre. Donc :

La condition nécessaire et suffisante pour que plusieurs forces appliquées au même point soient en équilibre est que le polygone des forces se ferme.

':stT

FORCES CONCOURANTES 2 5

Remarque. — Les forces ne sont pas nécessairement situées dans un même plan.

37. Cas particulier. — Composition de trois forces appliquées au même point. Soient trois forces appliquées au même point O (fig. 20) et dirigées suivant les droites OF^, 0F„ OF3 non situées dans le même plan.

Supposons que les Ion- ^5- ;/

gueurs OA, OB, OC repré- y' j / \

sentent respectivement les F^'I^..L ^^' {

intensités de ces forces.

Sur OA, OB, OC, construisons un parallélépipède OBDAFREC.

OR est la résultante des ^'^ d'

trois forces données. En p. ^^

effet, AD est égale et parallèle à OB, c'est-à-dire à F^ et DR est égale et parallèle à OC ou F3. Le contour OADR est donc le polygone des forces. OR est bien la résultante.

Donc, la résultante de trois forces appliquées au même points et dont les directions ne sont pas situées dans un même plan^ est représentée en direction et en grandeur par la diagonale du parallélépipède construit sur les trois forces données.

38. Problème inverse, — Décomposition d'une force en trois autres de directions données . Soit à décomposer la force R ayant pour intensité OR (fig. 20) et appliquée au point O en trois autres dirigées suivant les droites OF^, 0F„ OF3 non situées dans un même plan avec R et formant entre elles des angles quelconques.

On obtiendra les intensités de ces trois forces en

menant par le point R jtrois plans respectivement parallèles aux plans des directions données, prises deux à deux : ainsi nous menons par le point R des plans parallèles à F.OFj, à F.OFg et à F,OF,.

Ces trois plans couperont les droites OF^, OF^, OFj aux points A, B, G et les longueurs, OA, OB, OC, représenteront les intensités demandées, car OR est ainsi la diagonale d'un parallélépipède ayant pour arêtes OA, OB, OC.

39. Théorème. — Etant données plusieurs forces concourantes tt leur résultante^ la mesure algébrique de la projection de la résultante sur un axe quelconque est égale à la somme des mesures algébriques des projections des composantes^

Ce théorème est une conséquence du théorème des projections établi en mathémMiques : la mesure algébrique de la projection de la résultante de plusieurs segments sur un axe est égale à la somme des mesures algébriques des projections de ces segments sur cet axe.