DÉTERMINATION DU PLAN DE RUPTURE ET DE l'iN
TKNSiTÉ DE LA POUSSÉE. — Imaginons qu'on considère un plan variable perpendiculaire au plan de la figure et passant par A. Une position quelconque de ce plan, dans l'angle cAT, partage le terre-plein en deux portions que nous considérerons comme solidifiées. Examinons, pour ces diverses positions, la poussée qui en résulterait sur le mur.
AX désignant toujours la ligne de rupture, si le /plan occupe une position AY dans l'angle cAX, le prisme cAY qui pousse sur le mur est plus petit que le prisme cAX, il donnera donc une poussée plus petite que celle que produit CAX. Si, au contraire, le plan est en AZ au-dessous du plan de rupture, dans l'angle XAT, le prisme qui pousse cAZ est plus grand que cAX mais, malgré cela, il produira sur le mur une poussée plus petite que celle de cAX.
En effet, le prisme cAZ se compose de deux par-
ties Tune cAX qui pousse sur le mur, Fautre XAZ qui s'appuie sur la terre. Puisque nous considérons
Tg^ïïïïTmrïï'
Fig. 17a.
ces deux parties comme solidaires, la partie XAZ qui s'appuie sur la terre retiendra partiellement la partie cAX, ce qui diminuera la poussée de celle-ci sur le mur.
POUSSÉE DES TERRES a 77
En résumé, pour toute position du plan dans Tangle cAT, la poussée produite sur le mur par la partie située au-dessus de ce plan et supposée solidifiée est plus petite que la poussée réelle que nous cherchons, produite par le prisme de rupture.
On en conclut que : le plan de rupture AX est celui pour lequel la poussée produite par le prisme situé au-dessus et supposé solidifié est maxima.
. Cette poussée maxima est la poussée réelle des terres sur le mur.
Ceci posé, du point A comme centre décrivons un arc de cercle xx! et partageons-le, entre les points x et j/, en un certain nombre de parties égales, huit par exemple; joignons les points de divisions i, 2, 3, 4-.. au point A, et nous divisons ainsi le prisme cAT en un certain nombre de prismes cAc^, CjAc,, c^c^.
Les poids de ces prismes s'obtietinent en multipliant respectivement les surfaces cAcj, CjAcj... par la profondeur du terre-plein et par la densité de la terre. Ces poids sont donc proportionnels aux surfaces cACj, CjAcg... Soient g^-, g^i g'sv l^s centres de gravité de ces prismes. Gomme le centre de gravité d'un prisme coïncide avec celui de sa section moyenne, les points g^^ g^y gzf" sont faciles à construire car ce sont les* centres de gravité des triangles cAc^, CjACg, C2AC3,... En ces points sont appliqués les poids Pt^p^i Pz"' des divers prismes qui sont proportionnels aux aires des triangles.
Imaginons alors que le plan variable passant par A occupe, successivement, les positions Ac^, Acj, AC3, etc., et construisons, pour chacune de ces positions, la poussée correspondante du prisme de terre situé au-dessus.
Voici, par exemple, la construction que donne la
Statique graphique lorsque le plan variable AY coïncide avec Acj.
Il s'agit de trouver la poussée produite par le prisme cACj, supposé solide, sur le mur.
On peut considérer ce prisme comme soumis à cinqforcesiles forces/?j, p^^p^ appliquées aux centres de gravité g-, ,g^2, g-g, des prismes partiels, la réaction du mur et la réaction de la terre CgAH sur lui. Ces deux dernières réactions sont connues en direction.
En effet, soit ©' Tangle de frottement des terres sur le mur : la direction de la réaction du mur est une direction MD faisant Tangle ©' avec la normale MN au
mur^
D'autre part, soit cp l'angle d'inclinaison du talus naturel AT, <p est aussi l'angle de frottement des terres sur elles-mêmes et par suite la réaction de la terre sur le prisme le long de Acg a une direction VA faisant l'angle ^ avec la normale VW à Acg.
Pour avoir les intensités de ces deux réactions nous n'avons qu'à faire la construction suivante : par un point O arbitraire portons bout à bout les poids Pi-> P29 Pz ^®s trois prismes partiels, la longueur op'^ ainsi obtenue est le poids du prisme ^total CjACg. Par />3 et O menons des parallèles aux droites MD et VA qui se coupent en un point m^. Le dynamique op\ m donne les réactions cherchées ; la poussée du prisme cAcg sur le mur est donnée parjo'gT/Zg, la réaction le long de la ligne séparative ACg est donnée par om^^
Ce que nous venons de faire pour le prisme cAc,,
se fait pour chacun des prismes cAc^, cAc,
cAc^, cAT, et on détermine pour chacun la réaction
* Dans la pratique on ignore généralement la valeur de <p , on se place alors dans les conditions les plus défavorables en supposant (p' = O.
t rf
du mur et la poussée de la terre sur le prisme con» sidéré.
Ces diverses constructions donnent lieu aux remarques qui suivent :
En premier lieu, toutes les réactions p\ni^^p\m^^ ... du mur sont parallèles à la direction fixe MD.
En second lieu, lorsqu'on passe d'une division à la suivante la direction VA de la réaction de la terre tourne d'un angle égal à celui dont a tourné le plan de séparation.
Les angles m^om^ m^om^^ m^om^y etc., sont donc
tous égaux aux angles c^Ac^, c^Ac^, CgAc^, etc. De plus la direction op^^de la réaction de la terre relative au dernier prisme c AU est i^erticale. Car siV'W est la normale à AT et VA' la verticale, l'angle W^'A' est bien égal à ç puisqu'il a ses côtés perpendiculaires sur ceux de l'angle TAH.
Il en résulte qu'on peut obtenir aisément les directions ojp'g, om^\... om^^ en menant d'abord la verticale
o/?'g, puis en la faisant tourner de^l'angle a égal à cÀc^ une, deux, trois fois, etc.
Ceci conduit, alors, à la construction graphique suivante :
On porte bout à bout enop\^ P'iP'%^ P\p\y "'"P\P% les poids ;?j,/?2, ..../^g et parles points p\^ p\ '"P'i^ p\'y
on mène des parallèles à MD, p\m^^ p'^P^^i ^\x\s
de comme centre avec un rayon égal à Ax on trace un arc de cercle x^ x\, A partir du point 8' où le cercle coupe la verticale des poids op\ on porte des arcs 8'7', 7'6', 6'5', ... respectivement aux arcs 87, 76, 76, 65, ... du cercle xx! et on joint les points de divisions au point 0. Les droites ainsi menées Oi', O2', 03', ... coupent les droites /?j m^^ p^m^y p^m^y.,..
en des points m^, m^^ m^y et ces points étant
joints donnent le lieu des points m,
La rupture correspond à l'endroit delà plus grande poussée; il faut donc chercher le prisme donnant là poussée maxima sur le mur. Ces poussées sont déterminées par les droites /^^w^, p^^n^^ .....; il suffit donc de chercher celle de ces droites qui est la plus longue. Menons une tangente verticale à la courbe qui est le lieu des points m. Soit TT' cette tangente dont le point de contact est R.
La poussée maxima est RU. En joignant OR, la droite OR prolongée coupe le cercle x^a/^y en un point I situé entre les divisions 4' et 5'. Reportons ce point en V sur le cercle xx^; en menant AI' nous avons la ligne de rupture AX cherchée.
Le prisme CAX pousse seul sur le mur de soutènement avec une force RU donnée en grandeTur et en direction.
253. Point d'application de la poussée. — Pour déterminer la position exacte de la poussée que nous
Fig. 173.
connaissons en grandeur et en direction, on pourrait s'y prendre de la façon suivante :
Partageons le parement intérieur du mur AB
(fig. 173) en un certain nombre de parties égales BB^, BjBj, etc.... Déterminons par la construction générale qui précède les poussées sur les hauteurs du parement BB^, BB^, BB3, etc. Les poussées élémentaires sur les parties BB^, ^i^v B^B,, etc., s'obtiendront par différence.
Ainsi la poussée /?3 sur BgBg est la différence entre les poussées totales sur les parements BB^ et BBg.
Si les divisions BB^, B^B^, etc., sont assez petites, on pourra admettre que les poussées élémentaires Pu Pif ^^^"> sur ces divisions sont appliquées enleurs milieux. On aura alors la poussée totale P en grandeur et en position en cherchant, par la statique graphique, la résultante de toutes les poussées partielles p^y /?2, etc.
Cette construction est longue et pénible. Dans la pratique on se sert d'une remarque faite par Poncelet qui a montré que, dans les profils courants, le point d'application de la poussée n'est jamais plus haut que le tiers du parement à partir de sa base. On se place donc dans les conditions les plus défavorables en admettant que le point d'application de la poussée est au tiers du parement à partir de sa base. C'est ce que l'on fait dans la pratique.
