CORPS EN CONTACT

Bois sur bois à sec .

Bois sur bois graissé Fer sur bronze, à sec Pierre sur bois. . .

— sur fer . . .

— sur béton . .

— sur ardoise .

249. Plan incliné servant de machine simple. — Supposons un corps solide placé sur un plan incliné (fig. 169), et soumis à une force F, parallèle à une ligne de plus grande pente du plan, qui tend à le faire monter le long du plan.

Supposons, en outre, que la ligne d'action de la

force F rencontre la verticale passant par le centre de gravité G du corps en un point I.

Prenons pour plan de la figure le plan qui contient la force F et la verticale GP. D'après nos hypothèses ce plan coupe le plan incliné suivant une ligne de plus grande pente AB. Soit a Pangle d'inclinaison de cette ligne AB sur l'horizontale A H.

Fig. 169.

Le corps est soumis à trois forces : son poids P appliqué au centre de gravité G, la force F et la réaction du plan. Cette réaction passe par l'intersection I des deux forces P et F et nous pouvons supposer son point d'application transporté en ce point.

Elle a deux composantes N et T, l'une normale et l'autre parallèle au plan incliné.

Gomme nous sommes dans le cas de l'équilibre limite, c'est-à-dire au moment où le corps va se mettre en mouvement, on a

= /'=tg?.

© étant l'angle que fait la réaction du plan IR avec la normale IN.

Ceci posé, écrivons que la somme des projections

-*Tr!

des forces sur AB et sur IN est nulle, puisque les forces se font équilibre. On a, en projetant sur AB,

T— F + Pcos ^ = o

en posant ADP = jî et, comme les angles a et p sont complémentaires, on a

cos P = sin a

d'où :

T — F + P sin a = o

et

T = F — P sin a.

En projetant sur IN, il vient :

N — P cos a = o,

car l'angle YLIP est égal à a (côtés perpendiculaires) ; et on tire de là

N = Pcos a.

en portant ces valeurs de T et N dans la relation (i) il vient

F — P sin a

P cos a

ou F = P sin a ^/'P cos a,

F = P (sin a + /'cos a). (i)

Ce qui donne la force F en fonction de P, de a et du coefficient de frottement f.

Donc, pour faire monter le corps sur le plan ^ il faut le tirer avec une force F égale à P (sin a + /'cos a).

Lorsque Tangle d'inclinaison a est petit, cette force F est plus petite que P.

En particulier, lorsque a = o, on est dans le cas de l'expérience de Coulomb, le plan est horizontal, et F est égale à P /l

250. Poussée des terres. — Considérons un massif de terre soutenu par une paroi verticale AB (fig. 170). Si nous enlevons cette paroi, la terre s'éboule ; ses

Fig. 170.

molécules glissent les unes sur les autres, jusqu'à ce qu'un talus EF se soit formé. Ce talus EF s'appelle le talus naturel des terres. Il fait avec l'horizon un angle cp, lequel est constant, quelle que soit la hauteur du remblai et ne dépend que de la nature, de l'état de division et de la sécheresse de la terre.

Cet angle 'f est l'angle de frottement des terres sur elles-mêmes. Si en effet on considère (fig. 171) un talus de terre BC faisant avec l'horizon un angle a, si a est plus grand que <p le talus s'éboule ce qui veut dire que tout grain m de terre placé sur le talus roule vers le baç. Si au con- b traire a est plus petit que ç le pj^ ,^,

talus ne bouge pas ; toute parcelle m de terre placée sur le talus y reste. La parcelle déterre m placée sur le talus, peut être assimilée à un

BouRLET. Cours de statique, ii. 18

corps reposant sur lin plan incliné. Si on se reporte, ^lors, aux résultats établis au n® 248, on voit que Tangle 'f étant Tangle limite pour, lequel la parcelle m reste en équilibre sur le talus, ç est Tangle de frottement de cette parcelle sur le talus, c'est-à-dire Tangle de frottement de la terre sur elle-même.

Lorsqu'on veut maintenir des terres sous un angle plus grand que celui du talus naturel, elles exercent sur le mur qui les soutient une poussée dont il importe de connaître Tintensité et le point d'application, en construction.

251. Plan de rupture. — Considérons un terre-plein soutenu par un mur et prenons la portion de ce terreplein comprise entre deux plans verticaux parallèles perpendiculaires au mur ; nous prendrons pour plan de notre figure (fig. 172) le plan vertical parallèle aux deux plans qui limitent le terre -plein et équidistant de ces deux plans. Ce plan de figure coupe le parement intérieur du mur suivant la droite AB, le sol indéfini suivant l'horizontale HH' et la surface supérieure du terre-plein suivant la ligne cc,c,.,. TM.

Nous désignerons dorénavant, un plan quelconque perpendiculaire au plan de la figure par sa trace sur ce plan.

Ceci posé, soit AT le talus naturel des terres. Toute la terre qui se trouve au-dessous de ce talus dans Tangle TAH tient sans le secours du mur. Au contraire, celle qui se trouve dans Tangle BAT est soutenue par le mur.

Si on supprimait brusquement le mur, la masse de terre comprise dans l'angle BAT ne s'éboulerait pas tout d'une pièce mais commencerait par se rompre en deux parties dont la première tomberait tout d'un

bloc tandis que la seconde s'écroulerait lentement comniQ un liquide qui s'écoule.

Nous admettrons que la surface de séparation de ces deux parties est un plan AX (fig. 172) que nous appellerons le plan de rupture.

Le plan de rupture AX, par sa définition même, partage donc la portion de terre cAT en deux parties dont l'une cAX s'appuie sur le mur et l'autre XAT s'appuie sur le talus naturel : c'est la partie cAX seuje qui produit donc la poussée sur le mur. En d'autres termes, la poussée sur le mur est la même que si la terre se composait de deux parties cAX et XAH solides.

Tout revient donc à déterminer la position du plan de rupture AX.