VI -fl (vi-fi)vv

Or m étant un nombre inlinimeat grand et i , 2 , d , .... M , des nombres liais ou doit avoir

,■( VVi (vi-fij.v«

• UOLaiKME

LKÇOX.

li rcduil le ferme général à ceci

if" a’

“iT * T'""

I • tf"

Or ^iiialnteiiiuit il esl facile de \oir que celte Aaleur peut se niettie Sous la forme

fi' a a

vt . — . m T . //4

d 2d od. (« -f- * ) ” 4" * \aleiir cviilenmient égale à celle-ci:

ou ciiliu

ma / ma \ / ma \ / ma \

d apres cela nos deux binômes prenneut la forme

4^4 MÉCAMQUE.

suivante en faisant — — = S a

(J I ® Jm I , I

d-\ I =</”*-] rf". [

«iS wjS — I , I

rf”. 1-

( I m y I Si \ m y

»iS — n& — 1 mS-2

ce qiû est évidemment égal à

d -f I la valeur

tnS

ou bien en observant que S est égal

— - , on trouve enfin a

DOUZIÈME LEÇOîf.

désignant par r le rayon du cercle , on a d = ar, ce qui donne k la place de et par suite

jxiur la valeur

il ne s agit plus que de faire disparaître la quan-

tité inünie m,

pour cela développons

on trouve

MKCANlQn;.

- etc.

Or »rt étant infiniment eiaüil , — — r ? etc.

peuvent être considéirs comme mils ]»r i"apport à m , en sorte iju’on a

cl par suite

on trouve :

iWUEIÈME LEÇON.

observant que i , — — 3

sont égaiLx. à — ^ seulement ce qui précède devient

pixigression décroissante dont la somme est 3.7183813, et qu’on désigne ordinairement en algèbre par e.

D’après cela la valeur de prend définiti-

vement la forme

sous laquelle on la retrouve dans tous les traités de mécanique.

Il résulte de là que le rapport augmente considérablement avec l’arc embrassé par la corde ; en effet si l’on suppose un rapport comiu entre P et Q pour l’arc donné a. , ce rapport étant K , on aura

Pour un arc double il sera

f la.

ou K»

Pour un arc triple Enfin pour un arc multiple

g ouK3.

égal à nO'. K*.

453 nÉCANIQUE.

D’après cela on voit avec quelle rapidité augmente le l’acleui’ par lequel il faut multiplier Q poui' a\ oir P , et par suite comment il est possible avec une très-petite force Q d’airèter au moyeu d’un certain nombre de tours de la corde l’effet d’une force énorme.

C’est là ce que vous aurez pu observer fréquemment en voyant manœuvrer sous l’influence d’un courant rapide et dans des passages difficiles , au moyen de gros bâtons qu’on nomme ferrés et d’un bout de corde fixé au navire. Ils prennent au fond du sol les jioints d’appui nécessaires pour leurs opérations, la corde qui fait plusieurs tours autour lie l’e.xlrémité supérieure du ferré le fixe au bateau avec une force capable d’arrêter presque subitement les mouvemens rapides partagés par une aussi grande masse , au moyen de la force inu-sculaire d’un seul homme.

i5. Nous venons de terminer à peu piès tout ce qui est relatif à l’équilibre des corps solides. Je ne puis tvpendant finir entièrement cette jjor— lion de la mécanique sans vous faire connaître quelques considérations à la fois d’une élégance rare et d’iuie véritable im|X)rtancc dans les arts. Ces théorèmes , connus sous le nom «le tliéorèmes de Guldin , géomètre di.stingué qui les fit connaître le premier., ou les reproduisit d’après Pappus , lejxtsent sur les principes qui \ ous ont été dévélopp’s lorsque nous avons traité des centres de gravité.

DOUZIÈME LEÇON. 45f)

Siipjtosons qu’une li^ne droite ou courbe tourne autour <l’uti axe de révolution donné , et que le plan qui la contient passe aussi par cet axe de révolution. Admettons en outre que l’angle de rotation « soit inlinimcnt petit ; que la dislaiioe «lu centre de gravité de la ligne à l’axe de révolution soit X , ainpicl cas l’esjMce parcouru par ce centre de gravité sem x.a, enflu supposons qu’à chaque élément de la ligne soit appbquée une force proportionnelle à cet élément, et par suite à sa pesanteiu*.

11 est clair que ces diverses forces auront luie seule résultante qui sera égale à la pesanteur de la ligne, et qui passera par le centre de gravité ; en .sorte que cette résidtanle prise en signe contraire icra équilibre à l’ensemble des forces dont nous avons parlé ; d’après cela , si nous nous rappelons le théorème des vitesses virtuelles, nous verrons que la somme des produits des forces j>artielles nudtlpliées cha« une par l'espace juircoui u par leur jwinl d’application sera égale à la résultante multipliée par l’esjwce [wrcouru j)ar son jioint d’application , c’esl-à-dirc à cette ré'sullanle multipliée par X . «.

Or la ré*sultanle est égale à la somme des forces jKirtielles, et par suite proportionnelle au développement de la courbe génératrice , et d’un autre côté cliacpie force partielle multipliée pai- l’espace «(u’elle paicourt donnera une valeur égale à la

46o MÉCANIQUE,

surface engendrée par 1 élément de courbe auquel elle est appliquée dans le mouvement général de translation.

De là résulte clairement que la somme de ces surfaces partielles , c’est-à-dire la surface Entière engendrée par la courbe , sera égale au produit de la résultante ou de la longueur de la courbe multipliée par x . a, espace parcouru par son centre de gravité ; ainsi :

Lorsqu’une droite ou une ligne courbe tracée dans im plan tourne autour d’un axe de révolution en décrivant un arc infiniment petit « , la longueur de la ligne étant L, la distance de sou centre de gravité à l’axe de révolution étant x , l’étendue de la surface engendrée est

« X ar X L.

Si à l’arc «, s’ajoutent plusieurs autres axes très-petits , u” ^ w'" , etc. , les surfaces engendrées seront pour chacun

u" . X . L. etc.

d’où l’on conclut facilement que la surface entière

S, c’est-à-dire la somme des surÇices engendrées sera

Digilized by Coo^Ic

CJ . X . L

ou S = I « 1 X X . L

et si l’on appelle A la somme des arcs “ , ^ a”,

w"', .... etc. , c’est-à-dire, l’arc total parcouru par le centre de gravité dans la suite de ces mouvemeiis partiels , il viendra

C’est-à-dire que : si P on fait tourner autour d’un axe de révolution une courbe quelconque , la surface engendrée dans un tems de rôvolutLn donné sera égale à la longueur de la courbe génératrice multipliée par Parc décrit par le centre de gravité.

Il est facile de démontrer jiar la même mélLode que : si l’on fait tourner autour d’un axe de révolution une surface plane quelconqw. , le volume engendré dans un tems de révolution donné , sem égal à la suiface génératrice multiplié par l’atv décrit par la centre de gravité.

C’est en cela que consiste le tliéorême de Guldin dont nous avons parlé ; seulement il l’a présenté sous la forme suivante , un |)cu différente, parce qu’elle est moins générale :

46a MÉCAHIQUE.

I. Une sur&ce de révolution S , engendrée par la ligne L, dont le centre de gravité est placé à une distance x de l’axe de révolution a pour mesure de sa superficie

X étant le rapport du diamètre à la circonférence ^

approximativement

II. Un volume de révolution V, engendré par une surface quelconque S , dont le centre de gra< vité est éloigné de l’axe d’une quantité x a pour expression de ce volume

Faisons maintenant quelcjues applications de cette règle :

1® La surface du cercle peut être conçue comme engendrée par une droite égale à son rayon dont une extrémité est fixe et l’autre est mobile : dans cette génération particulière clierchons l’expression de cette surface.

Soit P le rayon du cercle , x le rapport du diamètre à la circonférence; le centre de gravité de la ligne génératrice étant placé au milieu de cette droite , décrira évideumient un cercle dont

le rayon sera p , et la circonférence x . p. En

multipliant cette (juantité par la longueur de la

droite, on trouve pour l’expression de la surface engendrée S

ce qui est , comme on sait , la vraie expression de la surface du cercle.

a® Clierchons la mesure du volume du cône : pour cela prenons un triangle rectangle d’une hauteur H et d’une base B ; Ikisons-le tourner autour de la droite H comme a.\e de révolution, nous engendrerons un cône droit dont la hauteur sera aussi H et dont la base sera un cercle du rayon B.

Cela pasé, le centre de gravité du triangle générateur se trouve sur une droite parallèle à H et coupant B en deux parties dont celle près de 11 est le tiers de B : d’après cela la distance de ce

centre à l’a-xe H, sera -^B; en d’autres termes,

le rayon du cercle décrit par le centre de gravité

sera ^al à — ^ B , et la circonférence décrite

par le même point sera

d’où il suit qu’en multipliant cette quantité par la surface du triangle générateur ou — ~HB, on aura pour le volume V du cône

V = -I-t.Bx— =

Or T . B» est la surface du cercle base du cône , donc le voliune du cône est égal à sa base multipliée par le tiers de sa hauteur. Ce qui est connu jjar la géométrie.

3“ Pioposons-iious maintenant poiu’ problème inverse, celui-ci : trouver la distance du centre de gravité d’une demi-circonférence , au diamètre qui en termine les extrémités.

Faisons tourner la demi-circonférence autour de ce diamètre; elle engendrera une sphère dont la surface S aura pour mesure

P étant le rayon du cercle.

Appelons inaiiiteuaiit x la distance cherchée, nous aurons pour la circonférence décrite par le centre de gravité la quantité a . !t . jr et pour la demi-circonférence du cercle générateur t . p : multiplions ces deux quantités l’une par l’autre le produit sera ^al à la surface de la sphère ; ainsi

S = 2. XXir, P = Zx^.p.X Or nous avons aussi

donc a . p . x = 4 • *” • <**

d’où

imîZlKMK I.F.rON.

4** Clierchons iiKtiiitenanl la tlistance du <'Oiiti o de «ravilé d’un demi eei'cle au diamètre qui le

lentiine.

Pour cela soit t celte distance, p le rayon du demi cercle, })uis supposons que le demi cercle tourne autour de son diamiHre de manière à engendrer une s|)lu:re ; le volume V de celle-ci sera;

Ce volume jieut cntere s’exprimer d’une autre manière; en c-U’el , dans le mouvement de révolution le centre de gravité décrira une circonférence égale à d’une autre part la surface du

demi cercle généraUmr étant *■ . P* , le pro-

duit de ces deux cpianlilés donncia le volume engendré ; ainsi l’on aura :

?r . P’ X ’i ■ ’rr . X

ou V = . P» . r.

CiOmpaiant celte c’cpiation avec la prcniicTC qui «wt

ou t route ;

466 irÉCANIQUC.

et X = ■ p.

Si TOUS comparez cette valeur avec celle obtenue par X dans le problème précédent , vous en conclurez facilement la propoiilon suivante ;

La distance du dianiètic d’un demi cercle au centre de gravité de la demi cirœnférente , est à la distance de ce même diamètre au centre de

gravité du demi cercle, comme a est à — ^ ou

comme 3 est à 3 , tbéorème que nous aurions pu obtenir dircclement,^mais qu’il m'a semblé convenable de vous offrir comme eonsé<|uence des él^ans tlié<jrcmes de Guldin.

Fin de f é/^uUibiv det corps solides^

TABLE

DE LA RÉSISTANCE A LA TILACTION I»: QUELQI'F.S LORPS.

NaTL'RE

asi coHri-

PESAM.

FcmrE oa COfl^nN