FONCTION DE CARNOT

Définition de la fonction de Camot. — Considérons une machine thermique qui travaille entre deux températures déterminées ; elle a un rendement qui varie dans le même sens que l'intervalle de^ températureE ; le rendement diminue et s'annule en même temps que cet intervalle.

Soient t ei t-\- dt les températures entre lesquelles fonc -

tionne la mac

Formons le quotient -rr- ; dt

PRINCIPE DE GARNOT 9i

G*est la dérivée du rendement par rapport à la température ; c'est encore le rendement rapporté à un intervalle de températares de i". Ce rendement rapporté à 1° d'intervalle a reçu le nom de fonction de Carnot, désignons-la par G(. On a :

Propriétés. — f* La fonction de Gamot estaîndépendante de la nature du corps soumis à la transformation.

En effeljle rendement -rr- entre deux températures données^

est indépendant de la nature de la machine; c'est une conséquence du principe de Garnot.

2"" La fonction de Garnot dépend de la température à laquelle on opère et du choix de Téchelle thermométrique.

En effet, soit t' Tindication d'une autre échelle thermométrique, on aura :

Donc, si Téchelle de températures l' n*est pas identique à Téchelie t, C^' est différent de G/. Il y a alors un module, un coefficient de réduction pour passer de ^ à t\

Relation entre les températures absolues et la fonction de Camot. — On dit quelquefois que la température absolue est Tinverse de la fonction de Garnjt. Ge n'est qu*une proposition approchée. Pour vérifier, cherchons la re-

^Sl' THERMODVNAUIQOE

lation Gnirc ta température absolue et la fonction de Camot. On il :

Il 1 xprime la chaleur en thermiep, rfî ^ rfQ, et la foncc Ciirnot devient

nii suit que est proportionnel k 6 ; c'est la dérmition iIl' d, donc

:i fonction de Camot n'est pas - ; pour qu'elle se ré-

c -T- =l.Pourcela, il faut qu'on

ait pris iiour échelle tbermométrique celle des températures

iibsolui?» (aune conRtante près).

Mai^, "u ne peut prendre ^ pour définition de la tempéra-

lurp Liljj-dlufe, car pour former ■=- il faut déjà avoir les tempérât unjs ''. Ainsi, la proposition énoncée n'est vrùe que dans un i:ni pari iculier; et si on s'en servait pour définir les températures alisului;^, on ferait un cercle vicieux.

Lfa température absolue s'exprime d'ailleurs facilement h Faide de la fonction de Ganiot. De l'équation

on tire en intégrant

Expression analytique de la fonction de Gamot. —

La température absolue pouvant s'exprimer au moyen des indications d'un thermomètre quelconque, il en est de môme de la fonction de Garnot qui est une fonction de la température absolue.

Dans l'équation (i) (page 80), supposons que x représente l'indication t d'un thermomètre quelconque. On a :

df i /rfR rfP\ '"" ô ""RV^^ " dyy

Ce n'est autre chose que l'expression sous le signe / dans la valeur de 0.

Si on se reporte à la détermination de la température absolue au. moyen des gaz, on voit que Ton a (page 86) :

Utilité de la fonction de Gamot. — La fonction de

Carnot se prêle facilement à la vérification expérimentale du

principe deCarnol.

Le rendement est iodépeiidanl de la nature de la machine, donc C, est constant et indépendant de la nature du corps qui se transforme. 11 BufDt pour le démontrer de vérifier que C, est constant pour un certain nombre de mactûoes.

Pour cela, oh calcule le rendement d'une machine à vapeur entre !)9° à 100° au moyen de données relatives à la vapeur d'eau. Le même calcul fait pour la vapeur d'alcool a donné à Clirnot sensiblement le même nombre. Carnot manquait de donnt^es numériques; il n'a pu prendre que (f es deux corps et Inir. Depuis, la vérification a été étendue par Clapeyron à la vapeur d'élher, et par Sir William Thomson à l'essence de lért'benlliine.

Dans le cas où l'on prend un thermomètre a vapeur saturée,

Un peul le voir directement. Supposons que le liquide se

vaporise & la température constante t -{-dt; le point repré-

-, sentatif se déplace de A en B

sur une horizontale. Puis on

refroidit à 1° de B en C. On

comprime à la température

t de G en D et on revient en

A. Supposons que le

V passage de AB & sa

parallèle CD se fasse suivant des adiabatiques, ou si l'on

vi!ul, par des cycles de forme quelconque mais inllniment

I>etits. Le rendement est — .

Or, dt = aire P FP^P = \v.dp.

D'autre part, Q = /At?.

Alors § = ^=4?

d^ dp

., . ^ dt dt

doù C, = Q=y.

Pour la vérificalion, on pourra prendre comme valeur approchée de -^ les différences premières des tensions maxi ma

fournies par les tables. Il est donc indifféreirt de prendre un liquide qui est peu volatil, ou qui Test beaucoup.

On a trouvé pour définir la température absolue la formule (page 86).

c?Q dp dv

dt i dt df ô -"EC — c

ou ô = Qne

Cette expression est tout à fait générale ; on en tire

dB dp'ctv

r. dt 1 dtdt

M) THERHODYnAHIQUE

Appliquons aux gaz parfaits, délinis par la formule

pv = p^v^ [i -f- <a).

0„aura § = ^

De plus E =

' Pd'o» P » C — c'

J' Ml.

Jc<;i = L (»73 + 1)

= S^e ; d'où 8 = S^ (273 + ()■

Si on prend 9^ = 1, on a 9 = 273 + (.

Le zéro absolu n'existe pas. — En parlant des températureB absolues, on n'a pas parlé de zéro absolu. En effet, il n'y a pas de zéro absolu.

On a défini les températures absolues comme proportion-

nelles aux quantités de chaleur mises en jeu dans une machine thermique. La suite des températures ahsolues est comme la suite des nombres proportionnels en chimie, où Ton n*a pas besoin de considérer un corps d'équivalent nul. Rien d'ailleurs n'autorise à penser que le zéro absolu existe réellement.

Soient t et i deux températures entre lesquelles fonctionne une machine. On a les quantités correspondantes

ô' 0' Par définition -- z= ^ ; on peut concevoir que ce rapport

tende vers zéro. Le zéro absolu serait alors une température telle que le condenseur ne recevrait rien et qu'on uti- Userait toute la chaleur prise à la chaudière. Dans ces conditions le condenseur ne se réchaufferait pas par le jeu de la machine.

Or. le zéro absolu ainsi défini ne peut être atteint. En effet, tous les moyens connus de refroidissement : volatilisation, décompression, phénomène Peltier, refroidissement d'une soudure, sont réversibles. Un phénomène de refroidissement faisant partie d'un cycle réversible ne peut abaisser la température du corps jusqu'au zéro absolu ; il peut l'abaisser indéfiniment de plus en plus sans jamais arriver à la limite.

S'il en était autrement, en prenant ce corps comme condenseur, puis un corps quelconque comme chaudière, on aurait une machine thermique ; si on la fait fonctionner à contre marche, de façon que le condenseur fournisse de la chaleur

Q' pour produire-du travail, on a tt ==== ^' ^ mesure que le

THBRMOOYllAlflQUB. 7

corps se refroidit, la fraction précédente diminue ; TeiBcacité de chaque coup de piston va en diminuant, et la limite ne peut être atteinte qu'asymplotiquement, au bout d'un nombre infîni d'opérations.

Conditions nécessaires pour qu'on puisse appliquer les principes sous leur forme analytique. — Les conditioDS analytiques qui résultent des principes de la Thermodynamique ne sont applicables que lorsque la série des transformations forme un cycle fermé et réveràible. En effet, pour qu'on puisse appliquer le principe de l'équivalence, le cycle doit être fermé ; pour Tapplication du principe de Carnot le cycle doit être réversible.

Ces deux conditions à satisfaire en entraînent une autre au point de vue analytique. L'état d*un corps soumis à une série de transformations est défini par certaines quantités, telles que son volume, sa température, la pression qu*il supporte, etc.. Parmi ces grandeurs, les unes étant considérées comme variables indépendanteg, les autres seront des fonctions de ces variables. Un corps dont Tétat ne dépendrait que d'une seule variable indépendante ne peut parcourir un véritable cycle. Si 07 et y définissent l'état du corps, et que x soit la variable indépendante, y est fonction de a? ; le corps parlant de l'état initial A {cc^j/q) passe par une série de transformations représentées par la courbe AB.

Pour chaque valeur de .r, la valeur de y est déterminée.

Pour fermer le cycle, le point représentatif devrait revenir de B (jt, j/,] en A ; mais les valeurs de X et par suite celles de y seraient exactement les mêmes que j^ ("tJt) dans le premier cas ; elles seraient ji^ seulement disposées dans l'ordre

k ("«yO inverse. On n'aurait donc pas un

■' ' véritable cycle, mais deux séries

de phénomènes inverses telles que l'effet de la première soit exactement détruit par la seconde; au contraire, dans le cas où l'état du corpe dépend de deux variables indépendantes, nous avons vu qu'on pouvait avoir des cycles fermés.

Application dM principes fondamentaux. — Lorsque \\ii conditions précédentes (cycle fermé et réversible) sont satisfaites, on applique les principes de la Thermodynamique de la manière suivante :

i* Principe de l'équivalence. — On forme l'expression

dV = d^~EdQ

l't on exprime qu'elle est une différentielle exacte.

2* Principe de Camol. — On forme l'expression — et on <>crit également que c'est une différentielle exacte.

Prenons pour variables le volume et la température absoluR d'un corps. Supposons par exemple que l'on prenne de l'eau, qu'on la comprime brusquement pour qu'elle ne perde pas de chaleur. Elle s'échaufl'e adiabatiquement. Cherchons [n relation théorique entre l'échaulfement et la compression. Culte question a été étudiée par l'expérience ; nous pourrons en comparer les résultats è. la théorie.

APPLICATIONS DES PRINCIPES DE LA THERMODYNAMIQUE tOl

1° Principe de t équivalence, — On a

d% = pdv dQ = cd^ + ^^^

d'où — rfU = {E/ — p)dv -f- EcdB.

Le premier principe donne la condition

d(El — p) d(Ec) rfO dv

2*. Principe de Carnot, — On a : -7^ = "7" i — r~

d'où la condition

dv rf6

ou encore (2) /=e(^-^)

Équation de Clape3rron. ~ Si nous comparons (1) et (2),

en remplaçant dans (2) le binôme -^ — -r- par sa valeur ^ -^ tirée de (i), nous obtenons

formule connue sous le nom d*équation de Glapeyron (i).

({} Celte foripulea été doooéepour U première fois, comme conséquence

du principe de Carnoi, per Clapeyron, sous la forme/ = A -^^ A étant une

foQcUon de la tempéramre seule ; c*esl Sir W. Thomson qui, le premier, a donné à A sa Tériisble forme.

rV.' ?'T*£^-^R«

Remarque, — Supposons que Ton maintienne un corps à volume constant ; à la température 0, il supportera une pression p.

» 6 + ^ > il supportera une pression p^ ,

» 6 -f- 2, il supportera une pression pj.

Les différences premières p^ — p, P2 — Pi» P3 ' — P2» ^^c» représentent les accroissements de p lorsque, le volume restant constani, on fait varier la température. Ce sont donc les va-

leurs de Ap et par suite ce sont des valeurs approchées de -~ Si on les multiplie par Ë on aura /.

D'ailleurs la quantité / est souvent mesurable directement ; pour s*en rendre compte, il suffira de se rappeler que / est la chaleur latente correspondant au changement de volume de Tunité de volume d'un corps à température constante. Or cette chaleur latente peut être déterminée, par exemple, si on opère : sur de Teau, sur une vapeur saturée, sur un mélange de vapeurs saturées, sur un mélange de vapeur saturée et de liquide. Dans ces cas, Texpérience donnera pour l une valeur qui, comparée avec la valeur calculée par la formule de Clapeyron, permettra de vérifier les conséquences de notre théorie.