Mener par une droite un plan d'une inclinaison donnée

Toror.iuruiE.

Soient A et B les deux points cotés do la droite et ^ l’expression de l’inclinaison du plan.

Si l’on peut construire un cône droit dont la hauteur et le

rayon de la base soient dans le rapport prescrit —, tous les plans

tangenls à ce cône seront inclinés h l’horizon dans ce rapport, et celui d’entre eux qui contiendra la droite donnée sera celui que l’on cherche.

Cette opération est très-facile et consiste à décrire dans le plan horizontal contenant B et du point A comme centre, une circonférence dont le rayon soit h * — [3 (différence de cote dos 2 points) , dans le rapport denhm.

La fig. 15, planche XX, indique touto l’opération. Le rayon cherché est AE et le rabattement fait voir qu’on a A"E' ou

Cette circonférence est la base d’un cône dont le sommet est en A'. Si maintenant nous cherchons les traces des plans tangents qui passent par B, le problème sera résolu.

Il est à remarquer seulement que, dans le cas le plus général, il y aura deux plans qui résoudront le problème : ils seront symétriques par rapport à AB. Leurs traces passant l’une et l’autre par B seront BC, BD et leurs échelles de pente auront pour direction CA, CD.

C’est ainsi que la question se présente lorsque l’inclinaison imposée au plan est plus grande que celle de la droite.

Le rabattement de la fig. 15 étant celui du plan vertical qui contient la droite, met en évidence son inclinaison A' B' A ' sur le plan horizontal do B.

Si celto inclinaison était précisément égale au rapport — les

deux lignes A(B', A'E' se confondraient. La droite donnée serait cllc-mômo une génératrice du cône; on no pourrait mener par son pied B qu’uno tangente BD (fig. IG , planche XX) h la circonférence. BD serait la trace du plan dont l'échelle de pente se confondrait avec celle de la droite.

Enfin, le problème n'aurait pas de solution possible si l’inclinaison — , indiquée pour le plan, était plus faible que celle de AB. La fig . 17, planche XX, fait suffisamment voir qu’on no peut

PLANS COTÉS. 215

mener de tangente h la circonférence par B qui tombe dans l'intérieur.

Si l’inclinaison de AB est très-faible, ou si la pente - est très-

fl

forte, ou mieux encore lorsque ces deux circonstances se présentent simultanément, la base du cône sur le plan horizontal de B est une circonférence d’un trop court rayon et il peut en résulter de l'indécision dans la détermination des traces des plans tangents.

On cherche alors ces traces sur un plan inférieur h A et B.

Les plans cherchés doivent contenir chacun deux droites parallèles et inclinées toutes deux dans le rapport prescrit. Ces lignes peuvent être considérées comme génératrices de cônes qui ont leurs sommets en A' et B\ fig. 18. planche XX , et dont les bases sont dans le plan horizontal indiqué sur le rabattement par MN. Désignons sa distance verticale à B par y. Les rayons des deux cônes seront

Ab = - (y 4. 3 — p) et BK =» - Y.

Les droites ge, dl tangentes aux deux circonférences seront les traces sur le plan auxiliaire et l’on aura exactement, s’il est nécessaire, les traces Bc, Bd sur lo plan horizontal de B. Elles n’ont d’ailleurs aucuno utilité spéciale, puisquo sans elles déjà, on possèdo tous les éléments nécessaires à la construction des échelles de pente.

230. Par un point A situé dans un plan connu de position, faire passer une droite dont l'inclinaison soit exprimée par ~ .

On connaît donc la trace et l’échelle de pente du plan. Dans ce plan, on imagine une horizontale située à M"1 au-dessous de A.

Par la projection de ce point, considéré comme centre, on décrit

une circonférence d un rayon — M*. Les deux points où elle

coupe 1 horizontale tracée sont les extrémités inférieures de deux droites qui résolvent le problème.

Si la distance do la projection de A à l’horizontale est égale

k n y a qu'une droite, celle qui joint A au point de

tangence, qui remplisse la condition voulue.

TOl'OGRArniE.

Si cette distance est plus grande que ^ M", il n'y a pas de

solution : et, en effet, un plan ne peut contenir de droite plus inclinée h lhorizon qu’il ne 1 est lui-même.