Trouver l'intersection de deux plans donnés

Dans chacun d’eux, on trace deux horizontales ayant respectivement mêmes côtes. Ces lignes se rencontrent deux à deux en des points qui appartiennent k l’intersection et la détermine.

233. Si les horizontales tracées dans ces plans devaient se rencontrer trop loin, on parerait à cet inconvénient en employant deux plans auxiliaires d’une position et d’une inclinaison quelconques. Cela se bornerait k tracer deux couples de lignes parallèles ; à attribuer à chacune d’elles la cote de deux horizontales appartenant aux plans proposés : k unir convenablement, comme l'indique la fig. 19, planche XX, ces 8 points de rencontre qui déterminent ainsi les intersections des plans donnés par les plans de construction. Les intersections des deux premiers pard’un des autres se croisent 6ur la ligue cherchée. Ayant ainsi deux points appartenant à cette droite, elle serait déterminée.

Si les horizontales des deux plans sont parallèles, leur intersection aura la même direction : il suffira donc de connaître l'un de ses points et par conséquent d’employer un seul plan auxiliaire.

234. Trouver le point où une droite perce un plan. On imagine, comme ci-dessus, un plan auxiliaire, mais avec la condition qu il passe par la droite. On cherche son intersection avec le plan donné : cette ligne et la droite donnée, se trouvant dans un même plan, le plan do construction, se rencontrent au point cherché.

Par les points cotés 8 et 14 de la droite {fig. 20, planche XX) , on mène, suivant une direction facultative, deux parallèles jusqu’aux horizontales 8 et 14 du plan connu. Leurs rencontres en B et C fournissent l’intersection des deux plans et enfin le point A, où se croisent BC et la droite proposée, est celui où cette dernière perce le plan donné.

235. Nous avons annoncé, au § 225, qu'un peu plus loin, nous indiquerions un autre procédé pour trouver la rencontre de deux droites, situées dans un même plan vertical. Ce procédé est celui

PLANS COTÉS. 217

qui déjà vient de nous servir dans les questions précédentes.

Soient AB, CD, {fig. 21 , planche XX), les projections se confondant en direction des droites proposées.

Par les points cotés 11 et 15, par exemple, de l'une, on fait passer deux droites que l'on considère comme horizontales d'un plan de construction : par les mômes cotes de la deuxième droite, on mène aussi tes horizontales d’un second plan. Celles-ci coupent les premières en EF, et la ligne EF est évidemment l'intersection des plans. Son point de rencontre II avec la projection commune aux droites données est celui où ces dernières se coupent. 11 est indispensable, si les échelles de pente sont tracées sur la figure, que la côte de 11 concorde avec ces deux échelles. Elles n’ont d'ailleurs été indiquées que comme moyen de vérification : et. en effet, elles dispensent, ainsi que nous l'avons dit plus haut, de toute construction subsidiaire.

236. Par un point connu faire passer un plan parallèle à un plan donné.

Il faut joindre le point A celui qui a même cote sur l'échelle de pente du plan donné : tracer celle du plan cherché parallèlement et déterminer les divisions de cette dernière par une suite de droites parallèles partant des cotes de la première.

237. Par deux droites données, conduire deux plans parallèles entre eux.

AB, CD (fig. 22) représentent les droites ou, pour mieux dire, les portions de ces droites comprises entre les mômes cotes.

Par B on mène BE parallèlement à CD ; par I), la ligne DF parallèle à AB. La distance entre les cotes 16 et 12 de BE sera égale à DC, et pour DF elle égalera AB.

Donc , AE sera l'horizontale d’un plan passant par les trois points A, B, E ; de même CF sera l'horizontale 12 du plan CDF.

Ces plans, passant chacun par l’une des droites données, seront parallèles entre eux. De plus, leurs échelles s’obtiendront en éle- - vant des perpendiculaires aux horizontales A E, FC. Pour l'une, la cote 12 seraen G, et pour l'autre en K. Enfin, les divisions qui doivent avoir même longueur pour loutesdeux , seront connues en menanll'horizontaled'un second point, qui sur la figure est D.Ellé aboutit en H dont la cote est 16, celle de H; puis, enfin, l’on divise GH en autant de parties qu'il y a d'unités entre les cotes do

Si les droites données so coupent, les deux plans se réduisent à un seul.

Si elles sont parallèles, le problème est indéterminé.

238. Abaisser d'un point donné une perpendiculaire sur un plan.

La projection de la ligne cherchée sera parallèle à l’échelle de pente du plan, et son inclinaison sera complémentaire de l'inclinaison du plan. Si la tangerile de celle-ci est exprimée par ~

celle de la droite le sera par — .

Pour trouver le point de rencontre de la normale et du plan, il faut employer la méthode indiquée § 234. Pour connaître la longueur de la normale, il est nécessaire de trouver la cotedeson pied sur le plan; mener par ce point, et dans le plan, une horizontale jusqu'à son échelle de pente, et enfin, se rappeler que la longueur d’une droite dans l’espace est fonction de sa projection et do la différence des cotes extrêmes.

La fig. 23, planche XX, est destinée à faire voir que, quelle que soit la position adoptée pour le plan qu’on imagine par la perpendiculaire abaissée du point donné C sur le plan dont l’échelle de pente est MN, toujours on trouve, comme cola doit être, la même position A pour le pied de la perpendiculaire.

C’est ainsi que BP et BP étant les horizontales de B dans deux plans différents qui, tous deux, passent par la normale BC, les horizontales du plan donné se coupent avec celles des plans de construction suivant deux droites PQ cl P'Q' qui croisent la normale au môme point A.

239. Trouver l’intersection d’un plan donné avec une surface connue par ses courbes horizontales.

On trace sur le plan les horizontales qui ont mômes cotes que les sections de la surface, et les points de rencontre déterminent l’intersection demandée.

240. Trouver l'intersection d'une droite et d'une surface. On fait passer par cette droite, et d’une manière arbitraire, un plan dont on détermine la ligne d’intersection avec la surface, comme il vient d’être dit au paragraphe précédent. Le point où celte ligne rencontre la droite donnée est évidemment celui qu’on voulait trouver.

241. Par un point, mener un plan perpendiculaire à une droite. Lu trace de ce plan doit être perpendiculaire, et par conséquent

PLANS COTÉS

l'échelle üe pente parallèle à la projection de la droite. Quant à la division de cette échelle, elle est, comme nous avons déjà eu occasion de le dire, complémentaire de celle de la droite. Pour mieux faire comprendre ceci, omployonsencorc une fois un rabattement, totalement étranger d'ailleurs à la mélhodedes plans cotés : v AB (fig. 21, pl. XX) est la projection d’une droite; P est celle d'un point. Eu rabattemenl. cette droite est représentée par ab,

dont la tangente d'inclinaison est ou le rapport de aa1 à a'b. L’inclinaison du plan sera ba'b' dont la tangente sera exprimée par . c’est-à-dire par Les longueurs des bases sont d'ailleurs, pour une même hauteur, en raison inverse des pentes; donc — représentant la distance horizontale sur l'échelle de pente de la droite correspondant à l’unité en hauteur, ce sera

— qui exprimera cetto môme quantité sur celle du plan.

2 bbf 3 , , .

Si bâ' 3» on aura wï î* et *cs divisions des échelles do

la droite et du plan seront dans le rapport de J à ; ou de 9 à 4.

242. Faire paner par une droite donnée un plan perpendiculaire à un autre plan aussi donné.

11 faut abaisser, d’un des points de la droite, une perpendiculaire sur le plan, ainsi qu’il a été dit § 238.

On sait donc trouver sa projection, son échelle de pente et sa longueur. Si l'inclinaison du plan est représentée par ', ), etc., celle de la perpendiculaire sera 4, 5, £, et les divisions des deux échelles seront entre elles 4:{, 5: ::±: -, etc., ou en réduisant; ;16:1, ::25;1, 16:9, etc.

Nous réunissons sur la fig. 23, planche XX, toutes les opérations que nous venons d'indiquer.

AB, projection de la droite.

MN, échelle de pente du plan.

CD, projection de la normale à ce plan, abaissée de C. Elle est, comme nous le savons, perpendiculaire à la trace du plan, et par suite parallèle à son échelle de pente.

Par C et D, points de la normale, dont on sait déterminer la différence de hauteur, on mène dans une direction arbitraire deux droites parallèles, CE, DF, représentant les horizontales

220 Toror.RAPUiK.

d’un plan de .construction. Par les points de l’échelle du plan donné, ayant les mêmes cotes fi et <* que Cet D, on trace les horizontales de ce plan. Les points de rencontre avec les deux premières sont E, F, qui appartiennent à l'intersection des deux plans et la déterminent. Cette droite EF et la normale CD étant l’une et l’autre dans le plan auxiliaire, se rencontrent réellement dans l'espace au point projeté en G, et ce point est le pied de la normale.

On a ainsi deux droites AB et CD qui sont situées dans le plan cherché. Pour terminer l’opération, il sutlit de considérer les trois points de l’ensemble de ces droites, C point commun , B et G.

On cherche sur AB le point II, qui a môme cote Y que G. En les unissant, on obtient l’une des horizontales du plan demandé. Par B et C, on trace deux nouvelles horizontales. Elles rencontrent en K et L la perpendiculaire élevée h GII ou une ligne qui lui soit parallèle, et qui peut être prise pour l’échelle du nouveau plan. K et L ayant mêmes cotes fi, <f que C et B, il en résulte que la division de l’échelle de pente est facile h construire, et qu’ ainsi le problème est résolu.

243. Par un point donné faire porter un plan tangent à un cylindre. Le point peut être pris sur la surface du cylindre, comme A (fig. 26, planche XX) ou comme A'.

Le cylindre est défini par sa trace h laquelle nous pouvons attribuer la cote zéro, et par la projection cotée en un point au moins de l’une des génératrices BD.

Dans le premier cas, on mène la génératrice qui passe par A jusqu'à sa trace T, sur celle du cylindre. Cette ligne AT est celle de contact du plan tangent. Son échelle de ponte est la même que celle de BD, La droite BD étant horizontale, il faudra, pour graduer l'échelle de AT, faire passer par tous les points de division de celle de BD, des parallèles jusqu'à la rencontre de AT. Si la cote de A est inconnue, elle se trouve déterminée par cette opération ; si elle était donnée d’avance, il en résulterait une vérification.

"•Quant à l’échelle de pente du plan tangent perpendiculaire ii sa trace, qui n’est autre chose quo la tangente MN à la base du cylindre, elle suivra la direction du rayon CT, et ses divisions s’obtiendront en menant par celles de AT des parallèles à MN.

Si le point A' donné est extérieur, ou (race une droite AT' pu-

PLANS COTÉS

rallèlc h OB et l’on Irouve le point T' où elle perce le plan de la base, en unissant A' au point D' qui a même cote que lui et en menant, par B, une parallèle BT' à A I)\

La ligne A'T' est la projection de l'intersection des deux plans tangents que l'on peut faire passer par A'. Les lignes T U et TV sont les traces de ces deux plans.

244-. Mener un plan tangent à un cylindre, parallèlement à une droite donnée.

Par un point A de cette droite on mène une parallèle aux génératrices du cylindre. Au moyen de l’échelle de pente de la droite, on trouve le point B où elle perce le plan de la base. On trouve également la trace C de la parallèle aux génératrices que l’on a fait passer par A..

La jonction de ces deux points B et C détermine la trace d'un plan parallèle au plan cherché. On aura donc celle de ce plan en menant une tangente à la base du cylindre, parallèlement à BC.

245. Par un point donné sur une surface, faire passer un plan tangent à cette surface.

La surface est décrito par ses sections horizontales. Le plan tangent devra contenir la tangente à la section produite par le plan horizontal qui contient le point donné. Il contiendra aussi l'élément de la génératrice qui aboutit au pçint de tangence. Cet élément est normal à la courbe et à la tangente qui, dans un espace très-restreint, se confond avec elle Sa projection est également perpendiculaire à la tangente. Celle-ci est donc la direction des horizontales du plan cherché, dont l’échelle de pente a, par conséquent, la mémo direction que la projection de la normale. Quant aux divisions de l'échelle, elles dépendent du rapport qui existe entre l’équidistance et la longueur de la projection de la normale.

246. Trouver l’intersection d’une surface quelconque par un plan connu de position.

Il suffît de tracer toutes les horizontales du plan qui correspondent par leurs cotes aux sections de la surface. Leurs points dé rencontre , réunis par une ligne , donnent l’intcrscctioncherchée.