MESURE DES BASES

M et M' sont des nombres différents tant que t"' t '» n ont pas môme valeur. *

On voit qu'en opérant à 2«.95le coefficient de M devient égal à l'unité, etqu’ainsi la formule se réduit à E = M205 , ce que d'ailleurs ou sait à l’avance.

Ces deux équations servent h déterminer E et d que l’on substitue dans les précédentes. Celles-ci résolues par rapport à p0 et I) font connaître ces quantités, et mènent ainsi b la connaissance do ».

Il est convenable de dire que la dilatation du bois étant peu sensible dans le sens de la longueur, surtout lorsque, par des préparations préalables, on a cherché à le soustraire aux influences hygrométriques, on se dispense le plus souvent de tenir compte de l’effet do la température.

377 ^tléduction de la base à l’un de ses termes. Soit MM’M 'M'''M'* [fig. 280) le profil du terrain sur lequel on a mesuré la base, et MN la projection horizontale cherchée. Supposons que a, a.', a", a.1" soient les angles d’inclinaison des portions MM’, M'M", M M”', M^'M** sur l’horizontale MN. Désignant par MN", N'N", etc., les différentes projections partielles, on aura la base cherchée B égale à la somme de ces projections partielles.

Le premier triangle rectangle donne MN'=MM'. Cos. a, et si I on retranche les deux membres de la même quantité MM1, on aura MM'— MN'=MM' (1— cos. «)=2MM' sin.s ;«.

Le second triangle fournit également

M M' — N'N' =2M M", sin.’i*'.

d’où (MM' + M'M"-f . . — (MN' + N'N" +. . .M"'N-» =

2(MM'sin *Ja-|-M'M"sm.«l a'-f M"M'"sin.*î a"-f M'"M'» sin.«la"')

• Dans le cas où l'inclinaison du terrain est constante, la formule se réduit à

MM'» - MN"«= 2. MM1» sin.'ia

Il est important de bien faire sentir ici le double but pour lequel on cherche la différence entre la ligne mesurée et sa projection, au lieu do celte projection elle-même, parce que plusieurs fois, pour les mêmes motifs, nous opérerons plus tard de semblables transformations. Dans le choix du terrain, on s'est arrêté b un qui fût, sinon entièrement horizontal, du moins fort peu incliné : ainsi a est toujours un angle très-petit. Or, quand

les angles approchent de zéro, les cosinus varient très-lentement, et leurs valeurs sont représentées dans les tables par des logarithmes qui ne dillèrent pas ou presque pas entre eux dans les sept premières décimales.

La substitution des sinus est alors très-favorable; puisque, dans les mêmes circonstances, ils varient fort rapidement, et permettent ainsi de tenir compte, avec beaucoup de précision, de la valeur de a.

Le second avantage est , qu'en calculant par logarithmes 2MM” si.Ji a, qui est l'expression de la différence, on trouve correspondant au ldgarithme de ce produit, un nombre qui contient la même quantité de chiffres, Quelle que soit la caractéristique : plus celle-ci est petite, plus le résultat est donné avec précision ; puisque le nombre de chiffres décimaux qu’il contient est d’autant plus grand. Prenons un exemple numérique potMmieux faire entendre ccci :

Au logarithme 4661853 correspond le nombre 29254 : si la caractéristique est 4, le nombre ne contiendra pas de décimales, et on pourra dire qu’on le connaît, à moins d’une unité; tandis que, si la caractéristique est zéro, le nombre correspondant ne contiendra qu’un chiffre entier; tous les autres exprimeront une fraction décimale : il sera 2,9254, et sera exact à un dix millième près.

378. Réduction de la base à un arc de grand cercle. Supposons que la base mesurée soit ABC {pg. 281), faisant un angle en B. On n’a pas pu prendre de préférence, la droite AC pour base, ou parce que A et C sont invisibles l’un de l’autre, ou parce qu'il y a* un obstacle entre deux, ou enfin, parce qu’une droite DE peu éloignée satisfait mieux à la condition que de ses extrémités, on puisse voir tous les points destinés à être rattachés à la basea: le terrain de D en E peut être en même temps plus difficile à me-» surer que ABC que l'on peut supposer une grande route ou le bord d’une rivière.

Ayant les côtés AB, BC en mètres, on observe l’angle ABC, et résolvant le triangle, on connaît AC ainsi que les angles qui ont leurs sommets en A et C. A ces doux points on trace AD, CE perpendiculairement à AB, .CB; puis, par les points D,E, oft mène deux lignes DM, EF perpendiculaires sur les prolongements de AC. On résout alors les deux triangles rectangles DMA, ECP dans lesquels on connaît les hypoténuses DA, CE et les angles :

mesure des bases.

en effet, puisque DAB et BCE sont droits, DAM— 100— BAC et PCE=100 — BCA : d’ailleurs, les côtés DA, CE ont pu être mesurés immédiatement sur le terrain, ou obtenus par la résolution des triangles ABD, CBE : dans ce cas, étant en B, on aura dû observer les angles ABD et CBE. On trouve de même, au moyen des triangles MDA, PCE, les valeurs de MA, DM, CP et PE. Cela posé, imaginons parle point D la ligne DG parallèle à AC -, DG sera égal à MP ou MA -f- AC+OP, comme parallèles comprises entre parallèles : do plus, cette ligne formera l'un des côtés de l'angle droit, dans un triangle rectangle DEG dont l'hypoténuse DE est la nouvelle base cherchée. Le second côté de l'anglo droit est EG= EP — DM.

Dès lors on a

ÜE = Dg’+ EG *= DG* ) + et DE = DG ! t -f