j-taDg.a' tang.a 1-f-oo

On trouve encore ici la condition pour que deux droites soien 'parallèles-, puisque, dans ce cas, l’angle qu’elles font est nul, sa tangente nulle aussi et le numérateur de la fraction qui la représente, égal à zéro; c’est-à-dire a = a'.

Si lesdeux droites doivent être perpendiculaires, la tangente de l’inclinaison de l’une sur l’autre est infinie, et pour cela il faut que

lo dénominateur soit nul ; que l’on ait aa'-f l=o oua'= — -. Dans ce cas, si la première équation esty = ax -+■ 6, il faut que celle de la seconde droite soit y = — ^ x -{- 6'.

418. Equation du cercle. Soit un cercle d'un rayon r quelconque (/îy. 314) dont le centre est en O. Désignant par p et q les coordonnées du centre, et par x et y celles d’un point M de la circonférence, nous aurons, en vertu de ce que nous avons vu plus haut, relativement à la distance enlrc deux points

Celte relation caractérisant tous les points de la circonférence, est l’équation du cercle. Elle devient plus simple quand on place l'origine, au centre : dans ce cas, p = o, y =o, et l'équation sc réduit à r1 = xJ -f- y3.

Si l’on résout l'équation générale du cercle par rapport à -ar, il en résulte x = p± v »••-(*-<?)» : pour que les valeurs de a: soient réelles, il faut que r2 — (y— p)2 no soit pas négatif : Ma limite r—y — y ou y— y et y=r -\-q et alors x=-4 - p. Quand y = 9, l'expression sous le radical est la plus grande possible et les valeurs correspondantes de x sont un maximum et un minimum de la forme x=p + r et x=p-r : c'est ce qui a lieu pour les points I) et I>' situés sur la parallèle à l'axe des X. passant par le centre. Si l'on avait résolu par rapport à y, on aurait trouvé y = q± y rt-(x— pp\ à x = p correspondent y =y -fr et y = y — r. Ces ordonnées sont celles des points E,E'.

Quand il s'agit de savoir où le cercle coupe l'axe des x et celui des y, il faut, dans l'équation, faire successivement y=o et x=o. Par la première supposition, il vient x = p± y r* — qi. Celle expression donne deux valeurs de x, lorsque le radical n'exprime pas une quantité imaginaire, c’est-à-dire quant r2— y2 ou (r-+-y) (r— y) est positif ; cette condition n’est pas satisfaite dans la /îy.3 14, mais elle l'est dans la fig. 315. Si c'est x que l'on égale à zéro, on trouve pour les ordonnées correspondantes y = y ± 1/ rJ — p? = y ± V(r— p) (r-fj>). Ici, nous voyons encore que si p >r, il n'existe pas de valeur réelle l’axe de y, ce qui exprime que la courbe ne rencontre pas l'axe des y, et c’est ce qui arrive fig. 314 et 315. Quand r > p, on a deux valeurs pour y. On voit ( fig . 316), que; lorsque le cercle rencontre les axes, les points d’intersection sont placéssymétriqucmcnt par rapport aux points où les coordonnées du centre coupent les axes.

V19. Construction et équation de l'ellipse. Cette courbe jouit de celto propriété remarquable, que si l'on joint l’un quelconque de ses points à doux points fixes nommés foyers, et situés dans son intérieur, la somme des deux distances est une quantité constante.

Pour construire cette courbe d’après sa définition, prenons le milieu O (fig. 317) de la ligne qui unit les deux foyers FF7, et, à partir de ce point, portons la moitié de 2A, somme constante de deux rayons vecteurs tels que FM et F'M, de O en II et en H'. Ces points appartiendront à la courbe : en effet, il résulte de cette construction que l\F'=R'F, et qu'ai nsi,*

• RF' + RF .= R'F RF c= RR' *= ÎA.

De même, si des points F et F' comme centres, on décrit avec

Oigitized b

un rayon égal à A , deux arcs, ils se couperont en deux points S et S7, qui seront encore évidemment sur l’ellipse; puisque FS-+- F7S = 2A et FS'-f- F'S'=2A, S et S' sont égalcmentsur la perpendiculaire élevée par le milieu de RR'.

Pour obtenir des points intermédiaires, marquons sur RR’, et entre F et' F', un point quelconque L ; puis, des foyers comme centres et avec des rayons égaux h RL et R'L, décrivons deux circonférences qui se coupent en M et m, nous aurons deux nouveaux points de la courbe, et ainsi de suite.

On peut encore décrire l'ellipse d’un mouvement continu, en fixant aux foyers les extrémités d'un fil dont la longueur égale 2A, et en faisant ensuite glisser un crayon qui tienne ce fil toujours tendu.

L’ellipse ainsi déterminée de forme, recherchons son équation, c'est-à-dire, une relation entre les coordonnées de chacun de ses points rapportées h deux axes fixes.

Soient OP = x, MP=y; FF'»=2C, RR'=2A; FM=i;F'M=x'

Les équations de deux cercles, qui ont leurs centres sur l’axe des x, on F et F' à droite et à gauche do l’origine, seront, «n leur donnant z et z1 pour rayons

(t) yJ+(x-c)*=s* (2) y2-f(x+c;î=*2 et de plus on a x+x'=»2A (3)

Éliminons z et z' entre ces trois équations pour en avoir une seule qui, ne contenant que les variables a: et y et les constantes A et C, appartiendra à l’ellipse, puisqu'elle satisfera h tous les points tels que M.

Retranchant (2) de (1), il vient,

(4) «> = *'2 — x» = (s'+ *)(*'— s) d’où * =

et en vertu de (3 , z' — s = ^ = 2 Res somme et diffé-

rence de z et z', nous tirons z'=: A -|- — , z =. A — ; mais

^une seulement nous sulfit.

Substituons la valeur de zdans(l) qui devient

y2 -p-r* -f- C* — 2Cx= A* -f- ** — IGr ;

Réduisant et chassant le dénominateur A*y, + A*x’-|-A»C» =A<+C**« ou AV + (A>— C», = A> (A* — OJ

Puisque FF' ou 2C est plus petit que RR; ou 2A, il s'ensuit que A2 — C2 est toujours positif, et si on le fait égal à B*, l’équation de l’ellipse devient enfin

Aty-f B«rî= A>B«

Le triangle F'CO dans lequel l’hypothénuse égale A et F'0=C

fait voir que CO=B, puisque CF' — OF' = OC ou A2 — C2=B2. On voit de suite que A et B sont les moitiés du grand et du petit axe, c’est-à-dire les distances du centre au point où la courbe rencontre les axes des x et des y : car, en faisant y = o, il vient BJ x1=\î B2 ou x 2 —A2 et x — :± A. Cette double valeur de x indique que les deux points d’intersection de la courbe avec l’axe des * sont placés symétriquement à droite et à gauche de l’origine.

On tire une conséquence analogue de la supposition 2=0, qui réduit l’équation à A2y2=A2B2, d’où y = dt B.

En résolvant successivement l’équation par rapport à y et à x, on voit que les plus grandes valeurs de ces coordonnées sont

jj

y=±B, 2 = dt A : en effet, dans l’équation y — rt - y' A*— x»,

il faut, pour que y soit une quantité réelle, que le binôme sous le radical soit positif, c'est-à-dire quea:<A. La plus grande valeur que puisse prendre xest donc ±A, auquel cas y devient nul. On

voit de même, au moyen de x = dtz B y B> — y», qu’à x= 0 correspondent pour y deux tnaxima positif et négatif qui sont y=±B.

Si les deux axes de l’ellipso deviennent égaux, si l’on a A=B, l’équa'lion devient A2y2-f- A2*2 = A< on y2 + x2=A2 : ce qui indique que la courbe se réduit à un cercle dont le rayon égale A, et puisque l’on avait A2— C2=B2, il faut que C=o,ou, en d’autres termes, que les deux foyers viennent se confondre avec le centre.

420. Equation d'une tangente à l'ellipse. Proposons-nous maintenant de mener une tangente à l’ellipse. Pour résoudre cette question, nous allons prendre l’équation d’une droite, la modifier de manière qu’elle exprime que la droite passe par deux points appartenant à la courbe, c’est-à-dire qu’elle est une sécante. Nous la rendrons ensuite tangente, -011 faisant confondre les deux points en un seul-

Soient y=a-r-|-i l’équation de la droite,

x', y't *''> y" i lcs coordonnées des deux points de l'ellipse. Pour exprimer que la droite passe par ces deux points, il faut que l'on ait à la fois,

y = ax -f* y' = ax' -f“ b% y,( — ax" -f- ^

D'où l'on tire

y — y’ = a (x — x’) et y' — y" = a (x1 — x").

Cette dernière fournit la valeur de a qui, substituée dans la première, donne pour équation do la droite

Il faut deux conditions pour déterminer la position d’une droite. L'équation générale indiquait à quelle dfstance de l'origine, la droite cSupait l'axe des y, et quel angle elle formait avec l’axe des x. Dans l'équation (1) , ces deux conditions sont remplacées par deux autres dont elles sont la conséquence, savoir : celles de passer par doux points déterminés do position. Pour exprimer aussi que l'ellipse passe par les deux points , il faut que son équation soit encore satisfaite, quand on y introduit les coordonnées x1 , y', x", y'1 ; il faut donc que

A«y'« + B«.r’« = A*B« . et A*y"> -f- B»x''« = a«B*

I)c là nous tirons, en retranchant la seconde de la première cl en décomposant les différences de carrés en leurs facteurs,

A» y''-y"*)-fB«,x'i-x"*>=o, A» (y'- y") (y'+y"H-B * (x'-x")(x'+*")=n

doù y' y" — b* *'+**

x> — Xn A* yf-J-yW

En substituant celte valeur dans (1), l'équation qui en résultera, sera bien celle d’une sécante, puisqu'elle naîtra d’une combinaison des équations de la droite et de l’ellipse.

Cette équation sora

Supposons actuellement que les deui? points so confondent en un seul, les coordonnées x' et x", y' et y", deviendront les mêmes, et (2) se transformera en

Telle est l’équation de la tangente à l’ellipse : on.peut lui conserver cette forme ou la transformer ainsi qu’il suit •. en chassant d’abord le dénominateur, on a

Aiyf (y y') = — B*x' (x — x1) ; A*yy'— A'y'* = — B»xx' 4. B«x« ;

A«yyi 4. B’XX' = A’y” + B*x'» et enfin A«yy' 4- B*xx' = A* B* parce que A*y'* + B‘x'* = A*B*

On trouve très-facilement l'équation de la tangente à l’ellipse au moyen des plus simples notions de calcul différentiel. La marche en est si simple, que nous croyons pouvoir l’indiquer * ici.

L’équation dhine tangente à une courbe quelconque, pour un point dont les coordonnées sont x' et y', est y— y = j^{x—x'). C’est de l’équation différenciée de la courbe que l’on tire la valeur de ^ coefficient de x. Or l’équation de l’ellipse est AV +

dx

JPr* — » AîB2 ; différenciée elle donne

,, , du B* j*

2AVy + *B»x<tx = o dou = — ~

et par conséquent en substituant, nous trouvons comme précédemment y — y: = (•*• — #')•

421 Equation d'une normale à l’ellipse. S’il s’agit de mener par le point de tangence une droite perpendiculaire à la tangente, son équation sera de la forme y — y' = a’ (x— x’).

Mais, nous avons vu que la condition que deux droites soient perpendiculaires, estaa'4-l = o oua'-= : or, l’équation de

la tangente donne a = donc = gïj; et l’équation de la

normale est y — y' = (•* r ) •

Equations de la tangente et de la normale au cercle. Celte courbe n’élant qu’une circonstance particulière de l’ellipse pour laquelle A=B=r, on peut déduire ces deux équations de celles que nous venons de trouver, en faisant disparaître les facteurs communs au numérateur et au dénominateur, ou les chercher directement,

par une marche entièrement analogue à celle que nous avons employée.

Elles sont y — y'= (x — x ') ou yy1 + xx'^zr2 pour la tan-

gente et y — y '= ^ (x — x') ou y = j, x pour la normale : ces

dernières confirment ce que nous savons déjà, que les normales au cercle passent toutes par le centre, puisqu’en faisant x = o, on trouve y = o et réciproquement.

422. Autre» sections coniques. Quoique l’on n’ait besoin du connaître que l’équation de l’ellipse et do sa normale pour résoudre les problèmes des latitudes et longitudes, il nous paraît convenable do dire ici quelques mots des deux autres courbes, la parabole et l’hyperbole. Ces courbes et l'ellipse sont le résultat de la section d’un cône par un plan. Le cône est un solide engendré par un triangle rectanglo qui tourne autour de l’un des côtés de l'angle droit comme axe. Si l’on imagine que deux triangles rectangles semblables ABC, A'B'C' (fig. 318), soient placés de telle sorte que les deux côtés homologues AC, A'C forment le prolongement l’un de l’autre, la rotation des deux hypolhénuses engendrera ce que l’on nomme les deux nappes du cône. AA" est l’axe, C le sommet, BB/ la génératrice, et le cercle dont AB est le rayon, la directrice. Si l'on coupe cette surface par un plan qui rencontre toutes les génératrices, on aura une courbe fermée qui sera un cercle, si le plan est perpendiculaire à l’axe dans le cas où le cône est droit, ou, en général, quand le plan est parallèle à la base : la courbe sera une ellipse , lorsque le plan sera incliné sur la base.

Si co plan est parallèle à l’une des génératrices, il ne rencontrera, comme dans le cas précédent , qu’une des nappes , et formera une courbe non fermée, composée de deux branches qui se prolongeront à l’infini, si la nappe du cône n’est pas limitée par une base. Cette courbe se nomme parabole (fig. 319).

Si enfin, l’inclinaison du plan sécant, par rapport à celui de la ' base, augmente encore, on obtiendra une courbe à quatre branches que l'on appelle hyperbole [fig. 320).

Nous allons, comme pour l’ellipse, en chercher la construction par points, puis les équations.

423. Parabole. La distance de chacun des points tels que M de la courbe à un point fixe F (fig. 321), est égale à celle de ce même point M, à une droite OQ nommée directrice.

GÉODÉSIB.

Pour la construire graphiquement, on trace OF perpendiculaire à OY, et le point A, milieu de OF satisfaisant à la condition proscrite, est déjà un point de la parabole, puisque OA=AF. Au delà do A, on élève une droite MP parallèle à OY, et dont tous les points sont par conséquent distants de celte ligne d'une quantité OP. Puis de F comme centre et d'un rayon égal à OP, on trace un arc do cercle qui rencontre MP en M et en M'. Pour ces deux points, on a donc MQ=MP, M'Q ’=M'P'. C'est ainsi quo I on construit la parabole par points.

S'il s'agit de la tracer d'une manière continue, on place le côté HC d’une équerre sur la directrice; on fixe à son angle D et au foyer F ( fig . 322), les deux extrémités d’un fil de la longueur du cAté CD de l'équerre; ensuito, on la fait glisser sur la directrice,* en tenant le fil tendu sur CD. Quand le fil forme une ligne droite «le D en F, le point I) est sur un -point M do la courbe, puisque CM=CF, Dans une autre position, D étant descendu en D', le point M' sur C'I)' appartient encore à la parabole , puisque de CD= DF, on retranche de part et d’autre M D', et qu’il reste ainsi pour satisfaire à l'énoncé, C'M =M’F.

Pour obtenir l’équation, plaçons l'origine des coordonnées au sommet A de la courbe.

Désignant parpla distance OF (fig. (323), du foyer à la directrice, nous aurons AF = OA = |

La circonférence décrite du point F, donne entre les coordonnées d’un point M quelconque, la relation FM = MP -f- FP ou

,«= yl-j. — Q = yt +x* 4- ^ — px

et d’ailleurs

FM ou i=0P=x+^ d’où »» =x« -)- 4-px.

Egalant ces deux valeurs de-3, il vient

ni ni

jr' + '-4-px>=y«4- + j — p* et enfin y«=îpx.

Telle est la relation qui existe entre les coordonnées d’un point de la parabole.

Discutons celte équation. D'abord nous aurons y=o, en faisant i-o, ce qui coïncide avec la condition établie que nous prenions le sommet de la courbe pour origine.

En extrayant la racine carrée, y = ±v%^. Acbaque valeur

notions de géométrie analytique. 411

do y correspondent deux valeurs égales et de signes contraires de y. x négatif donne pour y des valeurs imaginaires, ce qui indique que la courbe est entièrement située h droite de l’axe

des y. Si l’on fait x = | , on a, pour les ordonnées correspondantes

qui aboutissent au foyer, y1 = p2 et y = dtp. Ainsi la doulle ordonnée MM' passant par le foyer est double de la distance de la directrice à ce foyer.

424. Hyperbole. On demande l’équation d’une courbe telle que si l’on joint chacun de ses points M (fig. 324) à deux points fixes F, F' la différence F'M — FM soit égale h une ligne donnée 2A. Cette courbe est l’hyperbole : F, F' en sont les foyers, et FM, F'M les rayons vecteurs.

Pour la tracer par points, on porte sur la droite qui passe par les foyers , à partir de son milieu O, deux longueurs OA, OB égales chacune h A : prenant un point L quelconque au delà de F, on trace, des points F et F' comme centres, avec des rayons égaux à AL, BL, des arcs de cercles quise coupant deux à deux donnent quatre pointsM,M' M" M'". Ceux-ci appartiennent à la courbe, puisque d’après la construction, la différence des doux rayons vecteurs, pour chacun d’eux, égale la constante 2A.

Pour trouver l’équation de l’hyperbole, on prend OB et OC comme axes des* et des y; on a

OP = * ; MP = y, OF=>OF' = C, FM = s, F'M=s'.

Pour M, les deux cercles dont les centres sont F, F' ont pour équations

(I) ^ icx, s'1 = y» +(r+x;* = y« -f-.< »4-/-»-t-2rx

retranchant, on obtient z'2 — jz2 = (z'-J-z)(r' — ;)— 'i(>,

et puisque s< — j = îA, il vient = —

P j’ (Vf

par conséquent v+ —, * = A— —.

Substituons pour z sa valeur dans (1), et nous aurons

et AV + (A* — C*)x«= A» (A> — C»)

C est plus grand que A, ainsi A2 — C2 est négatif : faisons CJ — A2=B2, et l’équation deviendra

A>yi — B’xJœ* — A»B>

Elle ne diffère de celle de l'ellipse que par le signe de B.

Si l'on fait y=o. il vientx=drA, ce qui indique que la courbe coupe l’axe des x à égale distance, à droite et à gauche del'origiuo. Si x — o, on a y zb \Z—B* = ± B \/^~\ quantité imagiginaire : la courbe ne rencontre donc pas l’axe des y

L'équation résolue par rapport à y, devient

On a donc deux valeurs de y égales et de signes contraires, pour une valeur de x, et l’on retrouve les mêmes, quand on change seulement le signe de x. Ainsi, h une même ordonnée y, correspondent deux abscisses qui no diffèrent que par le signe; de môme que deux ordonnées égales et de signes contraires appartiennent à deux points de la courbe qui ont môme abscisse. On voit encore, par la dernière forme sous laquelle nous avons mis l équation, que toute valeur de x plus petite que A, n’a pas d'ordonnée correspondante. Les plus grandes valeurs de x qui ne rendent pas y imaginaire, le rendent nul : ce sont x = -+- A et y— — A.

Dans ces notions très-élémentaires et très-incomplètes de géométrie analytique, nous avons dépassé ce qui nous est rigoureusement nécessaire ; mais nous avons pensé qu’il ne serait pas (out à fait inutile de faire voir de quelle ressource est l'analyse pour trouver la solution de toute espèce de problème.