CHAPITRE VI

NOTIONS DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE INDISPENSABLES A L’iNTELLl- GENCE DES FORMULES DE LATITUDE ET DE LONGITUDE

Hecherche des équations de la ligne droite, des courbes du second degré , et de la tangente et de la normale à l’ellipse.

415. Nous avons fait voir plus haut de quelle simplicité serait la recherche des formules de latitude et de longitude, si la terre était sphérique; mais sa forme n’est pas telle : le globe est un solide de révolution aplati vers les pôles. Il peut donc être consi-

«lcrô comme engendré par une ellipse tournant autour de son petit axe qui est la ligne des pôles. Ici, les normales aux trois sommets A, B, P (fig; 300) du triangle ne se rencontrent plus en un mémo point. Elle no forment plus, comme dans la sphère, les trois arêtes d'une pyramide qui a pour base le triangle, et son sommet au centre. Nous verrons plus tard que, pour arriver à la formule qui donne la latitude B en fonction de celle de A, il faut prendre en considération la normale et la sous-normale. Il faut donc chercher l'expression de ces lignes en fonction de quantités constantes et de la latitude comme seule variable : de sorte, qu’en donnant toutes les valeurs possible à la latitude , on obtienne les longueurs des normales et sous-normales correspondantes. Les constantes seront le grand et le petit axe de l'ellipse qui a engendré le globe terrestre, c’est-à-dire la ligne des pôles et le diamètre de l'équateur.

Celte recherche reposant sur la connaissance de la géométrie analytique, il est indispensable de placer ici quelques notions de cette branche des mathématiques.

L’analyse appliquée a pour but d’exprimer par des équations, les positions respectives des points et des lignes, de manière à trouver toutes les relations qui peuvent exister entre eux , en combinant ces équations d’une manière convenablo.

La géométrie analytique traite les questions relatives aux lignes, aux surfaces cl aux solides. Les premières seulement nous étant nécessaires, nous ne nous occuperons pas des autres. Elle les considère situées dans l’espace ou dans un plan : nous n’envisagerons que celle dernière circonstance : car ce h'est point un cours d'analyse appliquée que nous faisons ici, et nous n'en parlons que comme d’une chose indispensable à l’intelligence de notre sujet.

Soient AX, AY, deux droites rectangulaires fixes et données dans un plan ( fig . 308) ; M un point quelconque dont il s'agit de déterminer la position dans ce plan. Si de ce point on abaisse les perpendiculaires MP, MQ, il est clair que M sera fixé dès que l'on connaîtra les longueurs des deux côtés contigus AP, AQ, du rectangle Al’MQ, puisqu'il sullira do mener par les points P et Q parallèlement aux axes AX, AY, deux lignes dont I intersection sera le point cherché M. Les distances mesurées sont les abscissps, cl celles comptées sur AY les ordonnées : elles portent aussi le nom collectif de coordonnées. Enfin, le point A en est dit 1 ori-

NOTIONS t)K tiÉOMÊTRIK ANALYTIQUE. 401

gine, parce. que c’est à partir de ce point que se comptent les distances.

416. Equations d'un point. Le caractère de tout point considéré sur l'axe des y est x=o, puisque cette équation indique que la distance du point à cet axe est nulle. De même, tout point placé sur l’axe desx satisfait à y=o : donc, l'ensemble des deux équations x=o, y—o appartient à l'origine A des coordonnées; car, pour ce point seulement, elles ont lieu en même temps. En général, ar=:m, y—n considérées simultanément, caractérisent un point situé à une distance m do l’axe des y, et n de celui des x. On les nomme les équations du point.

Les signes indiquent dans lequel des quatre angles se trouve situé le point ; sans eux, les valeurs absolues m et n appartiendraient indifféremment îi quatre points placés symétriquement par rapport aux axes : en effet, x=m exprime deux droites parallèles à l'axe des y situées l'une à sa droite, et l’autre à sa gauche. y=n convient de môme à tous les points de deux parallèles à l'axe des abscisses ■■ donc, l'ensemble de ces deux équations serait indifféremment résolu lorsque, pour le point cherché, on prendrait l'une des quatre intersections des deux systèmes de parallèles ( fig . 309).

C’est, pour détruire toute incertitude à l'égard de la position des points, qu’on a établi une règle des signes conforme à celle qui est adoptée pour les sinus et cosinus : les abscisses étant assimilées aux cosinus et les ordonnées aux sinus.

Les axes ne sont pas toujours rectangulaires; quelquefois les questions que l’on traite obligent à passer d’un système de coordonnées rectangulaires, à un système de coordonnées obliques ou réciproquement: mais les premières, qui donnent en général les équations les plus simples, sont les seules que nous ayons besoin de considérer, pour ce que nous nous proposons.

Pour complétera théorie du point, cherchons l ex pression analytique de la distance entre deux points donnés dans un plan. Menons les ordonnées MP, M'P’ (fig. 310), de M et M', et tirons M'K parallèle è AX, le triangle rectangle MRM' donne, en désignant par D l’hypothéiiuse,

D« = MR + M/lî={y'— <*'- •»'')■ OU D = V (y' y-»)« + (xi— x")*.

Si l’un des points est situé à l’origine, de manière que ses coordonnées soient x’—o, y ' = o :

L’équation ci-dessus devient I) =» y/y'i •=*'<.

(iÉODÊSIE.

417. Equation d'une droite. Soit une droite BMM'M" (/»y.31t} indéfinie et située à volonté dans un plan. Prenons deux axes rectangulaires OX, OY dans ce plan ; menons de différents points M, M\ M'1', les ordonnées MP, M'P\ M"P", etc. Cela posé, désignant par 6 et c les quantités constantes OC, OB, nous aurons, pour l’un quelconque des points de la droite, pour M par exemple, deux triangles semblables MPB, COB desquels nous tirerons la proportion

MP ; BP :: CO : bo, c’est-à-dire ’y ; e -|-* ;; b ; e

bx-{-bc b

delà ‘ 7 *

Dans le triangle rectangle BCO,-^ exprime la tangentede l'angle en B, désignons cet angle par «, et sa tangente par a, nous aurons

Telle sera l’équation de la droite : car cette relation aura lieu entre les coordonnées d'un tout autre point, aussi bien qu’entte celles de M. Les constantes a et b déterminent la position de la droite, puisqu’elles précisent son inclinaison et un point C par lequel elle doit passer.

L’équation ci-dessus est donc la représentation analytique de la droite, en ce sens que, si, au moyen de cette équation, on veut retrouver les différents points de la ligne, il suffit de donner à x une suite de valeurs que l’on porte de A en P, P', P ', etc. : menant ensuite par ces derniers points des parallèles à AY, et prenant dessusdes parties PM, P'M', P 'M", etc., égales aux valeurs correspondantes de y tirées de l’équation (1), on aura ainsi la position d’autant de points qui tous appartiennent à la droite. Si elle doit passer par l’origine, l’équation pour être satisfaite, quand on fait x=o, doit donner y=o, c’est-à-dire que b est nul, et que l’equation se réduit ay=ax.

Si, dans l'équation (1), on fait y =o, elle donne x = — =»

. Ce qui se vérifie de suite dans le triangle OBC qui fournit tang.* ' t

OB ou X : oc : : cos. « : sin. « cU = : quant au signe

( il indique que c'est à gauche de l'origine que la droite coupe

l'axe des x.

Si l'on voulait exprimer que deux droites coupent l’axe des y en un même point, il faudrait dans les deux équations y=ra:r-|- 6, y=a'x- f 6 faire 6=6'. Si une droite est parallèle h Taxe des x, a doit être nul, et l’équation se réduit h y — b} si elle est parallèle à l’axe des y, alors 6 =» , a =» et * = BO = c.

Si les deux droites doivent se rencontrer au point C sur l’axe des a: (fig. 312), il faut, en faisant y — o dans les deux équations, que les valeurs de x correspondantes soient égales. On a - , b b'

d’une part ax-b- 6 =o, de l’autre a'x + 6'=o, d’où - = ou a! b

= ab/ . C’est ce qu’on reconnaît en effet, en considérant les deux triangles rectangles CAB, CAB' de chacun desquels on peut déduire la valeur de CA.

Si enfin, l'on veut exprimer que deux droites sont parallèles, il faut que a = a'.

Pour trouver l’angle que forment deux droites, remarquons que «' = a -s- M (/fy. ,313), donc

taog.U=l<Dg (*• — a) s

taog a' — lang.»