EXPRESSIONS DES NORMALES

tude comme seule variable, et de quantités constantes qui sont le grand et le petit axe de l’ellipsoïde, c'est-à-dire du solide engendré par la révolution de l'ellipse autour de son petit axe. Prenons l’équation de l'ellipse .

A.yi + BLr* = A«B* ou ^ + . . (<)

Celle de la normale est (n° 421 ) ,

x' y’ sont les coordonnées du point de rencontre de la droite et de la courbe : représente la tangente de l’angle MQE ou L.

Donc

tang.l^^-^- OU Btx’ tang.L = A*y' . . . (î)

Nous pouvons nous abstenir d'accentuer les coordonnées du point de tangence, actuellement que nous n’avons plus à nous servir de l'équation do la normale. En construisant les deux triangles rectangles MFQ,MRS, nous trouvons que

MF ou yt=*sin.L. . . (3) et RS ou * = N cosin.L. . (4)

Si nous substituons successivement ces deux valeurs de x et de y dans l'équation (2), nous trouvons

B*j- lang L *= A1» sin L d'où x = « cos.L. . . (5)

cos.L lang.L — A!y d’où ÿ =* — Nsin.L. . . (0)

En comparant les valeurs de y fournies par (3) et (6) ou celles

que (4) et (5) donnent pour x, on trouvo n = j- N ou n:»::a«:b«

c’est-à-dire que la grande et la petite normales sont entre elles dans le rapport des carrés du grand et du petit axes.

On arrive au même résultat, en divisant l’une par l’autre les expressions de N et n qui terminent ce paragraphe.

En introduisant dans (1) les valeurs de x et y en fonction de N tirées de (4) et (6)-, puis ensuite celles de ces mêmes coordonnées telles que les donnent (3) et (5) en fonction de n, nous aurons deux équations qui détermineront N et n.

N*cm.»L+B» N.iin >L = , ou N* (-jr + jr,8'11 -‘L) “ 1

= ' n. (£Cos.U+S4^)~<.

Chassant les dénominateurs

N* (A>cos.»L + B*sin,*L) = A«. n» (A» cos.» L + B» sin.»L)==B«.

et en remplaçant cos. 2 L. par 1 — sin. 2L

N» [A* — (A* — B») sin.» L] = A*, n» [A» — (A* - B») sin.» I.] = B<.

On désigne par / le rapport de la distance focale C au demigrand axe A. de manière que

^» =. — = ?- et que A* — B* = A*»', et B» =■» A» (I — c»)

Substituons ces expressions dans les dernières valeurs de N et n, et nous aurons

A» — A*e* sin. *1.'

et n* =

ou plutôt

A»— A»e» sin.*L a (1 - <•»)

. (4 — r»sin.»L) V (I — c* sin.»L)J

, 426. Sous-normales. La sous-normale OR se déduira facilement de ce qui précède, et des relations qui existent entre les éléments du triangle OQR ( fig . 325) : en effet, la sous-normale ou

OR = RQ sin. OQR = RQ sin. L = (N - 1») sin. L = - t \a ™ t *=-

Ae». sin.L

;t — e» sin.'L)}

Ae» cos.L

On trouverait de même que OQ = (Y,iSin

Si l’on remarque sur la figure 325 que «N2-f- »n2=(N — n)2, on trouvera en substituant les valeurs ci-dessus de *N cl tn

A»c< sin.»L + A»e< cosAL (4 — e» sin.’L)

ou

A» et

(4 — c» sin.'L)

Ae»

OU " (4 — e* sin.'L)}

comme on l’aurait trouvé directement au moyen de N et n