RAYON DE LA TERRE

L'abcisse d'un point M n'étant autre chose que le rayon du parallèle sur lequel il est situé, nous trouvons en désignant par p ce rayon et au moyen du triangle MRS

RS = OF p =N cos.l.

A. cos.L

^ (1 — f* sin.«L) j

427. On peut aisément vérifier l’exactitude des expressions qui représentent les normales et sous-normales, pour le cas où l’ellipsoïde devient une sphère, auquel cas A=B et e*=o : car alors on trouve, comme cela doit être, N=n=A j OR=OQ=o.

428. Rayon de la terre en fonction de la latitude. Un rayon quelconque tel que CA ou CB ( fig . 325), que nous représenterons par R est lié aux coordonnées de son extrémité par l'équation

+ Mettons pour x et y les valeurs fournies par (4) et (6), il viendra

R' = — N* sin.*L -p-N* cos.*L

et en remplaçant N par l’expression que nous venons do trouver plus haut

B< sin *L A»cos.>£

A* (t — e»sin-’L) (t — «« sin. H.)

B< sin. * I. -(- A * cos. * L A* — (A* — B«) sln.‘L

A* (t— sin.*L) À» (t— c« siD.*L)

Nous savons que B^A^l— e2)2, ou par suite

d'où, on divisant par A2 haut et bas,

A* (1 — (ie* — r*) sin.*L) t — t* sin.*L

ou en supprimant le terme en e 1 sin.JL

R, = A« (t - î'* »in »L) t — c* sin.*L

et en faisant passer le dénominateur au numérateur, en lui donnant l’exposant— 1, développant et s'en tenant au second terme, parce que le troisième serait du quatrième ordre par rapport à e. R» = A> (i— ain.'L) (4-f- c* siu ,»L)

•V 10 ou

r.fcooftsiK.

R» = A* (4+f*sin.*L— &• sin.*L— 2p«sm.4L) = A>(4 — c« sin.*L— îc«sin.*L)

et enfin, supprimant le terme en e*, R* = A2 (1 — e2 sin.2 L) ou R=A (l— e2 sin.2 L)K On arrive au même résultat, comme cela doit être , en employant les valeurs de a- et y en fonction de u au lieu de N. Concluons de cette valeur du rayon et de celle de la grande normale que NR=A2, c’est-k-dire que, dans le sphéroïde terrestre, et pour un point quelconque , le rayon de l'équateur est moyen proportionnel entre la normale et le rayon.

Pour L=o, on a

Pour L =^100*

Si l'on voulait avoir le rayon correspondant k la latitude moyenne 50‘, on remarquerait que, dans ce cas, sin. = cosin., sin.2 == cosin.2 = 1 — sin.2, sin.2= J. Désignant donc par R' ce rayon, on aurait

429. Rapport entre un rayon quelconque et celui de 50®. Au moyen des valeurs de R2 et R'2 que nous venons de trouver, il vient successivement

1 — e* sin.'L / c«\— i / c* \

= (1 — »> srn.M.) ^4 — -J = (4 — <■> sm.*L) ^4 +

— = 4 *J - sin.*L =

-p* sin.’L -f- — ^

sin.’ L)

et enfin

^4 -f- î cos. îLj

Tel est le rapport des carrés des rayons : quant à celui «les rayons eux-mêmes,

il sera ÎL =,(i -f f0s. 2l)®

RAYONS VKCTRURS.

Si nous voulons établir ici numériquement le coefficient de cos, 2L, en vertu de l’aplatissement qui a été trouvé nous écrirons B = A (1-ih), à'où

Nous aurons donc

4 fin (300)* = 03184