FORMULES DE LATITUDE , LONGITUDE ET AZIMUT

436. Latitude. Soient P le pôle, PA et PB (fig. 326) deux méridiens, AN et BO les normales aux points A et B : on suppose connu l'angle ANH, qui est la latitude L de A, et l’on demande L1, celle de B situé à l'extrémité de l’arc AB ou K, obtenu par la résolution des triangles. Pour trouver L — L1 ou la différence d’in-

clinaison sur l’équalour, des normales AN, BO qui ne sont pas situées dans un même plan, unissons B et N par une droite qui formera avec l’équateur un angle que nous désignerons par a ; puis cherchons L— a, a— U, et éliminons a.

Si du point N, comme centre, et d’un rayon égal à l’unité, nous décrivons une sphère, elle sera coupée suivant les trois arcs de cercle pa, pb, ab, par les deux plans méridiens et par celui dans lequel sont situés AN et AB.

pa sera le complément de L, pb celui de a, et ab, que nous représenterons par ?, sera le rapport de K h la normale du point A; car l’arc AB est assez petit, eu égard aux dimensions du globe, pour pouvoir dire qu’il se confond sensiblement dans toutes ses parties avec son cercle osculateur qui aurait son centre très-près do N et AN pour rayon. Cette portion du cercle osculateur et ab sont deux arcs concentriques proportionnels h leurs rayons: ainsi

il est donc vrai de dire que 9 = - (N désignant la normale de A).

Désignons L — a par x, et nous aurons ,r>= 400 — pa — (400 — pi)e=pt — pa OU pt = pa -f- x. . . . (4 )

Lo triangle sphérique pab fournit la relation

cos.pt =» cos. pa cos .ai -j- sin.pa sin.at cos. a.

Il est donc naturel de chercher une autre valeur de cos. pb, en la déduisant de (1): car en les égalant pour faire disparaître cos. pb, il restera une relation entre x et des quantités connues.

Do (1) nous lirons

cos.pt = cos. pn cos.x — sin.pa sin.x

et alors

cos.pa cos.x — sin .pa sin.x = cos. pa cos.at -}- sin.pa sin.al cos. a puisque

pa 100 - L, a =200 — i et att=?

nous pouvons écrire

sin.L cos.x - cos.L sin.x — = sin.L cos.?— cos.L sin. ? cos s

x et ? étant des quantités très-petites, nous pourrons employer avec avantage les développements en séries, pour faire disparaître leurs lignes trigonométriques, et négliger dans ces développememcnls tous les termes de puissances supérieures h la seconde : il vient alors

sin.L — Y*in-k — x cos.L «= sin.L — gjp.L — ? cos.L cos s

LATITUDES. 427

ou, en supprimant sin. L commun aux deux membres et changéant tous les signes,

— sin.L -f- x cos.L = — siu.L -f V cos.L cos.*

Au lieu de résoudre cette équation suivant la méthode générale usilée pour le deuxième degré, et pour ne pas arriver à une valeur irrationnelle de x, nous allons, parce que <r et <p sont trèspetits, supprimer les termes qui contiennent leurs secondes puissances, afin d'arriver à une première valeur approximative

*= <P. eos.Z.

Celle-ci substituée h x1, ramène l’équation U n ôtre que du premier degré et de la forme

ou

— cos.*x sin.L-f-4r cos.L = — sin.L 4-ï> cos.L cos.*

x — Q cos. * -f- J tang.Lfl — eos.*x) =

P cos.x-f — Ung.L sin.**

Telle est la valeur de x ou L — a.

Cherchons actuellement celle de a — L'. BO étant la normale du point B, l’angle OBN est précisément la différence de a à L'. Par le point N, élevons NM perpendiculaire b BO jusqu'il son prolongement en M, et remarquons d’abord que, dans le triangle

BMN rectangle en M, on a sin MBN = — ou, comme l’angle