UN
est très-petit, en prenant la valeur du sinus pour celle de l'arc,
MN
’bn
Mais MN=NO. cos. MNO et MNO=L', puisque les côtés qui embrassent ces angles sont respectivement perpendiculaires, donc,
A-L'~gcoS.L-
Dailleurs, NO = MC — OC ou la différence des sous-normales de A et B : quant b BN, sensiblement égal à AN, nous le remplacerons par la valeur de cette dernière ligne, et nous aurons
(<— f»sin.*L)^ ! A«* fin.L Ac» sin.L' \
A (,(• — *’ sin.’Lji (I— c* siu.*L')VC°5’
Nous pouvons beaucoup simplifier cette expression, en remarquant que les dénominateurs sont sensiblement les mêmes : en effet, ils contiennent les carrés des deux sinus peu différents l'un de l'autre et multipliés tous deux par e’ que nous avons vu (n° 429), être égal à 0,00646.
On peut alors simplifier en écrivant
X — L'=e* (sin.L — sin. L^cos-L'
Remplaçons la différence des deux sinus, comme l’indique la formule 15 de trigonométrie rectiligne,
X — L' = 2c» cos-l (L -f- L')sin.i(L — LO eos.L'
On sait que le double du sinus de la moitié d’un arc est égal à la corde qui sous-tend cet arc, et lorsque ce dernier est aussi petit que L — L', il se confond avec sa corde; nous pourrons donc dire que 2sin. J (L — L/)=L — L /, et écrire
x — L' = e» (L — LO eos.J (L + L») eos.L'
Ici encore, il se présente des réductions qui ne sont pas rigoureusement exactes, mais que justifie la nature des quantités qui entrent dans l’expression : ainsi le premier facteur est une très-petite fraction ; le second est aussi très-petit, puisque relativement aux dimensions du globe, la distance est bien peu considérable entre A et U, qui doivent être visibles l'un de l’autre. Par la même raison, cos. * (L-j-L') doit peu différer de cos. L et de cos. L'. De tout cela, il résulte quo
X — L' = e» (L — LO cos.*L
Ajoutant membre à membre cette équation et celle qui fournit L — a, il vient
L — L'=c« (L — L')cos.*L-f V cos.* -+■ — uug.Lsin.»*
ou momentanément, pour abréger,
L— L' = (L — LO cos.*L X d'où (L — LOD — «*eos.*L)=»X
et encore
- v - fr-c*o~rr x ~ r' ru" iL) = x <' + pï ros-,L)-
