PROJECTIONS

461. La surface sphérique de la ferre n’est pas développable, et l'on ne peut reproduire exactement sur un plan, les détails qui s'y rencontrent, dès qu’on s'occupe, du moins, d'une portion un peu étendue du globe. (Foir Livre III, chap. 1, n° 351.) II a fallu substituer des équivalents, créer certains systèmes parmi lesquels les meilleurs sont ceux qui altèrent le moins les formes et les dimensions des objets que l'on veut représenter.

Il existe néanmoins des motifs, comme on le verra plus tari], pour les cartes marines, qui font préférer des modes de projection qui devraient être rejetés, si l'on n'avait pas d'autre but que la reproduction fidèle des lignes tracées sur le sphéroïde terrestre.-

Les projections sont perspectives ou par développement. Les premières, qui ne sont guère usitées que pour les mappemondes, que pour la représentation d’un hémisphère, sc subdivisent en projections stéréographiques et en projections orthogonales ou orthographiques. Ces dernières sont quelquefois employées pour les cartes géographiques, de grandes contrées, de vastes étals.

Les projections par développement sont coniques ou cylindriques : elles servent de préféreuce à la construction des cartes chorographiques et topographiques.

462. Dans les projections stéréographiques ou perspectives , l'œil est supposé à une distance finie, et tous les rayons visuels dirigés sur les points du globe percent le plan du tableau en des points qui, liés entre eux, produisent la perspective de la terre.

Le point de vue peut être placé sur le globe même, en dehors ou en dedans : le plan du tableau passe par le centre de la sphère, et est perpendiculaire au rayon sur lequel sc trouvé le point do vue. On no peut reproduire que la moitié de la sphère qui est située en arrière du plan du tableau, excepté cependant dans la circonstance où le point do vue serait en dehors ; auquel cas il serait possible, si on le voulait, do projeter l’hémisphère antérieur rn prolongeant les rayons visuels, jusqu'au plan de projection ; mais ce dernier mode serait très défectueux, en raison de la grande divergence des rayons visuels.

On ne projette pas par celte méthode tons les points de l’hémisphère, mais seulement les méridiens et les parallèles, de sorte que les quadrilatères sphériques qu’ils forment sur la terre sont représentés par des quadrilatères curvilignes ou mixlilignes : puis ensuite, pour tracer les contours des continents, et tous autres détails, on les rapporte par coordonnées aux côtés des quadrilatères qui les renferment.

S'il s'agissaitde représenter une très-petite partie de la sphère, on pourrait employer la projection centrale, c'est- à-dire supposer le point de vue au centre et projeter sur le plan langent au point milieu du terrain ù représenter; tous les grands cercles seraient projetés suivant des droites, et les petits cercles par des

PROJECTION STÉRÊOGR APIIIQI’K SCR 1,'éQL’ATEUR . 459

portions d ellipses, puis pour éviter le tracé de ces dernières, on pourrait supposer la sphère divisée par des méridiens et des grands cercles qui leur seraient perpendiculaires, au lieu do prendre comme habituellement des méridiens et des plans parallèles à 1 équateur. Dans un seul cas, les parallèles se projetteraient suivant des cercles : c'est celui où le plan de projection serait tangent au pôle.

Parmi les positions diverses que l’on peut attribuer au point de vue, on est dans l’usage de le placer sur la sphère, soit à l’un des pôles, et le plan projetant est l’équateur, soit sur l’équateur, et l'on projette sur un méridien, soit enfin en un point quelconque, et dans ce cas, la projection se fait sur l'horizon rationnel.

On dit que la projection stéréographique est équatoriale, méridienne ou horizontale, suivant que l’on emploie la première, la seconde ou la dernière do ces méthodes.

463. La projection orthographique ou orthogonale ne diffère do la précédente, qu’en ce que le point de vue est supposé à une distance infinie de la sphèVe, toujours sur le prolongement du rayon normal au plan du grand cercle' sur lequel a lieu la projection. Ici, c’est l'hémisphère antérieur que l'on projette, et il en résulte que la figure projetée est droite par rapport à la nature , et non symétrique comme dans la projection sléréographique.

Comme pour celle-ci, on projette sur l’équateur, sur un méridien, ou sur l'horizon du lieu que l’on veut placer au centre do la carte.

464. Projection ttéréographique sur l'équateur. Elle est la plus simple de toutes à construire, puisque les méridiens sont projetés suivant des droites, et les parallèles par des cercles (fig. 318). L’œil est situé au pôle P, l'équateur est figuré par EQ, et les parallèles par AB, DF, tîll, etc. Pour avoir les rayons des projections de ces derniers, on mène les rayons visuels PA, PD, etc., qui percent l'équateur en a, d , etc. : Ca, C d, etc., sont les rayons qui servent à. tracer les projections des parallèles correspondants.

Cette projection a l’inconvénient d’altérer inégalement les formes et conséquemment les surfaces des objets qui y sont retracés, et d'autant plus que l'on approche davantage du contre de lacarle

460 géodésie.

c'est ce dont on peut facilement se rendre compte a la simple inspection de la figure.

Ici, commo dans les figures suivantes, nous séparons les projections horizontales et verticales, ainsi que les rabattements lorsqu’il y a lieu d'en faire : notre but est de mieux faire voir les opérations diverses; mais avec un peu d’habitude , le tout s’exécute sur le même cercle, parce que les projections et rabattements des grands cercles de la sphère donnent toujours la même figure.

465. Si l'on avait à tracer lu projection d'un grapd cercle incliné d’une manière quelconque sur le tableau, tel qu’un horizon ou l’écliptique, la projection serait toujours un cercle (n* 466), ayant deux points communs h l'équateur et, de plus, son rayon serait égal à la sécante de l’inclinaison sur l’équateur. Pour le démontrer, imaginons la sphère coupée par un plan PEP'Q ( fg . 348 bis) perpendiculaire à l’intersection projetée en C, de l’équateur et du cercle à projeter HO. Le diamètre de sa projection est ho=hC+Co.

Si de P comme centre, et avec PC pour rayon, nous décrivons les deux arcs consécutifs CA et Ci, nous voyons que les lignes CA et Co, sont les tangentes des angles HPP\ P'PO, qui ont pour mesure d’ailleurs \ HP' et j P O.

Donc,

ho = AC -f Co Uug. } HP' 4- ung | P'O ;

mais

P'O ■= 200* — PO = 200» — IIP' et i»ng. I P'O = colang i np'

d’oü