m m’. mn. m,,f. etc
- h : h: ki zh" :/i"‘:eic.
Il existe entre elles une relation analogue à celle qui lie les nombres à leurs logarithmes. Nous devons nous rappeler qu’en effet, les logarithmes sopt les exposants indiquant les puissances auxquelles il faut élever la base, pour obtenir la suite des nombres. Les logarithmes forment une progression par différence dont le premier terme est zéro, tandis que les nombres en forment une par quotient, ayant l’unité pour premier terme.
Transformons la secondo de nos progressions pour rendre l’analogie plus complète, et commençons parla rendre croissante, ce qui revient h diviser l'unité par tous les termes. Elle se trouve changée en celle-ci. '
Pour que le premier terme soit l’unité, multiplions tous ceux de la progression par H, et nous aurons
B H il II
•* 1 * h # V * h" * htn *
Nous pouvons dire maintenant que
log. .5 = log. H — ; m'= log. — = log. II - log. A' ;
»<"”= !"»• j^log H-lng.A»,
NIVELLEMENT BÀR0MÉTR1QIE. 451
Ou, pour avoir la différence de niveau entre deux points C.etC',
O — C' = m» — •»'«= log. H — log. A* — log.H + log. A' =» log. A' — log A»
Il est à remarquer que nous ignorons à quel système de logarithmes appartiennent ceux-ci, mais que, pour passer d'un système à un autre, il suffit de multiplier par une constante, les logarithmes du premier pour avoir ceux du second.
452. Cherchons la constante par laquelle il faut multiplier les logarithmes des tables, pour qu'ils puissent être introduits dans la formule.
Généralement, on aura #=C(log. H — log. A), en désignant par x la différence de niveau des deux stations, par C la constante, et par 11 et A, les colonnes de mercure aux stations inférieure et supérieure. En appliquant cette formule à un certain cas particulier, nous allons la ramener à ne contenir d'inconnu que C qui se trouvera ainsi déterminé.
On a reconnu que le thermomètre étant à zéro, le baromètre marquant 0”,76, sous la latitude de 50«, et l'air parfaitement sec, le mercure était 10467 fois plus dense que l'air. Supposons que l'épaisseur des couches atmosphériques soit 10467 centimillimètres, et que le baromètre soit situé à la partie supérieure de celle pour laquelle il indique 0“,76; supposons qu’ensuite on le descende à la surface inférieure de la môme couche, la différence de niveau pour ces deux stations voisines ou x sera 0“, 10467 : la colonne barométrique aura dû s’allonger de 0", 00001 , et voici comment : l’augmentation do poids est la môme pour l’air et le mercure, c'est-à-dire que P„=V, X D*=P"*=V“ X D”, en désignant par l’indice a ce qui sc rapporte à l'air, et par m ce qui est relatif au mercure.
De là, V». D» = Vm. Dm. mais D'"=r 10467. Dn, donc Va. D= 10467. V“, D» ou Va=10467 V».
Les bases des colonnes d’air et de mercure sont égales, leurs volumes sont donc proportionnels à leurs hauteurs. Ainsi , H» =>10467.11 m;
et puisque H* = O01, 40467, H- = ■ — 0,00001.
A la station supérieure, le baromètre marquait O™^, il indi-
quera donc 0“, 76001 à la station inférieure. La formule deviendra alors
0»,10467=.C(log O*, 76001 — log.O”,76)
,, ' 0ra, 10167
° 0U log.0, 76001 — log. 0-, 76
log. 0,76001 = 9.88081930292 log 0,7«000 <= 0,88081350228
Différence 0,00000371 064
log. 0,10467 = 9,0104071
log. de la différence =» 4,7566817
4,2627254 log. de 18312 =. C,
La formule est donc ramenée à *=18312 (log. H — log. h).
Mais elle ne convient qu’à la circonstance particulière, qui nous a fait connaître la valeur du coefficient C. 11 faut la généraliser maintenant, pour que l'on puisse en faire usage sous une latitude quelconque, k des températures et sous des pressions aussi quelconques.
453. Correction relative à la température de l’air et aux vapeurs qu'il contient.
Comme tous les fluides élastiques , l'air se dilate de - „ * ■ - ou
0,00375 de son volume pour chaque grade de température. Nous avons trouvé la formule dans l'hypothèse deO* : le volume de l'air ou sa tiauteur x cherchée devra donc, pour une température n, être augmenté de 0,00375 répété autant de fois qu’il y a de grades contenus dans n, c’est-à-dire de 0,00375. n. Ainsi , la hauteur qui correspond h la différence de longueur du baromètre H — h, n'est plus *, mais * (1-1-0,00375. «.). n est la température moyenhe de la portion de l’atmosphère qui contient les deux stations : il est probable que la température croît ou décroît à peu près uniformément d’une station à l’autre , de sorte que l4- 1 ’
n= ; t et /' étant les températures de l'air aux deux stations, la formule devient
*= 18312 (t + 0,00375,-i^-j (log H— log. h).
Nous avions supposé l’air parfaitement sec ; mais il n’en est pas ainsi : toujours il contient des vapeurs aqueuses en plus ou moins grande quantité. Généralement môme, elles sont d’autant
NIVELLEMENT HAROMÊTKIQtE.
plus abondantes que la température est plus élevée. Elles sont plus légères que l'air, et conséquemment diminuant sa densité, elles motiveront une correction proportionnelle à la température. Laplace a pensé que ce serait en tenir compte convenablement, que de changer le chiffre 0,00375 en 0.00400, ce qui rend le facteur dans lequel il entre 1 -t- 0,004 ou 1 + 0,002 (t + *0
et par suite *=18312 [< + 0,002 (i+i')] (log.H — log. A).
454. Correction relative à la différence de température det deux baromètres,
Pour pouvoir comparer les colonnes de mercure aux deux stations, nous avons dû supposer qu’elles avaient mémo densité: mais il est deux causes qui tendent sans cesse b la faire varier : la différence de température du mercure aux deux stations, et la différence d'action qu’exerce sur lui la pesanteur, en raison du plus ou moins grand éloignement du centre de la terre.
Occupons-nous d'abord de la première. Pour pouvoir comparer H et h, il faut les ramener à la même température. On sait que pour 1*, le mercure se dilate de ^ ou, 0,0001802 do son volume. Si T et T' représentent les températures du mercure des deux baromètres aux stations inférieure et supérieure, la différence de température sera T — T', et pour comparer h b H , il faudra lui ajouter 0,00018 (T— T') h, en supposant, comme il arrive ordinairement, que T-rT' soit positif, c’est-à-dire qu’il fait moins chaud b la station supérieure qu’b l’inférieure : A était trop
petit , — était donc trop grand, ainsi que log.H — log. A et par
suite x. On pourrait tout aussi bien réduire H b la température de H' en le remplaçant par H (1 — 0,00018 (T -T'j.
Ce serait atteindre le même but que de rétrancher de H et A, 0,00018. T et 0,00018. T/, puisqu’en ramenant ainsi b zéro, les volumes et les densités du mercure aux deux stations, on les aurait encore rendus comparables. En vertu de la modification que nous venons d’apporter à A, la formule est
* = 18312 [1 + 0,002(1 + 1')] [log.H -log. h[t + 0,00018 (T — T')]]
455. Correction relative à la différence d’action de la pesanteur sur les baromètres.
Passons b la correction motivée par la seconde cause signalée au paragraphe précédent. On sait que l’action de la pesanteur
GÊODf.SlK
s'exerce en raison inverse du carré des distances , c’est-à-dire par exemple, qu'à une distance double du centre de la terre, elle agit quatre fois moins. Le mercure sera donc spécifiquement plus léger dans cette proportion à la station supérieure.
Soient II le rayon de la mer {fig. 347), I la station inférieure, S la station supérieure, a la hauteur LM de I au-dessus de la mer, et x la différence de niveau entre les points S et I. Les distances au centre seront l\-t- a en 1 cl R-f-a+x en S, On aura donc, en désignant par d et d > , les densités du mercure en I et S
«t : :: (R+ «+*)«: (R +«)* d’où <r~<t
Les volumes sont en raison inverse des densités, les liauteursdu mercure sont proportionnelles à son volume : donc l’expression primitive H doit être mullipliéo par
/R + a-fxy
ou h par
La correction très-faible qu’apporte ce facteur t’dans la différence des colonnes de mercure, a une influence assez sensible sur la valeur de x, en raison de la grande différence de densité de l'air et du mercure. On a trouvé qu’il est inutile d'effectuer le calcul chaque fois, et que la correction moyenne à introduire est
ou plus simplement ^ environ, c'est-à-dire qu'il suffit d'augmenter le coefficient 18312 de 48 : il devient alors 18360.
456. Correction analogue relative à l'effet que produit la pesanteur sur l'air.
Ce décroissement dans l’action de la pesanteur fait encore que la densité de l’air est moindre dans la région où l’on opère qu'au niveau de la mer : elesl là que le baromètre marque 0m,76 comme nous l'avons supposé d’abord ; et c’est pour ce point aussi que la
distanco au centre est égale à R. R -f a -t-^sera la distance au
centre de la moyenne entre les deux stations : il faudra donc augmenter x dans le rapport des carrés des deux distances, ce
/ JP N. •
qui reviendrait à le multiplier par - J ou
IP + «> + ^* + 2R" + ttr+ax f « + 4
et plus simplement en négligeant le dernier terme qui est extrêmement petit, comme ayant RJ pour dénominateur 1 + — n~ •
Celle correction est fonction de x qui cependant est l'inconnue.
On emploie néanmoins ce facteur en donnant à x une valeur approchée. On a reconnu, au surplus, qu’il suffisait, pour tenir compte de celte correction, d'ajouter encore 10 au facteur numérique qui devient 18370.
457. Correction relative à la variation de pesanteur en latitude.
Nous avons dit plus haut que l'action qu’exerce la gravité sur les corps, est inversement proportionnelle aux carrés de leurs distances au centre de la terre, et que par suite, leurs densités étant fonctions de la gravité, doivent être soumises h la même loi.
En appliquant ce principe à une certaine portion de l'atmosphère, il est évident que, pourqu’elle fasse équilibre à une même quantité du mercure, il faudra que son volume augmente ou diminue, et par conséquent sa hauteur, puisque la base est constante, suivant que l'observation sera faite plus près de l’équateur ou du pôle. En désignant par g ’ la gravité correspondant à R', rayon de la latitude moyenne 50*, et par x' la différence de niveau que la formule ne nous donne encore que pour l’hypothèse L=50g : par g. R et x, les quantités analogues et relatives à un point quelconque du globe, le rapport de g et g1 sera le carré de celui trouvé entre R et R', n° 429.
Nous aurons donc
SL = = * 4. 0,00323 cos. 2L.
donc jr = r’ (t -f 0,00323. cos. ÎL)
Le signe du second terme du nouveau facteur «à introduire dans l'expression de x, variera avec celui de cos. 2 L. Lorsque L>50, alors 2L>100 et cos. 2L étant négatif, le second termo 1 le devient aussi.
Si, au contraire, L<"50, on a 2L<100 et- cosinus 2L positif; d’où il suit que le signe ne change pas.
Nous devons dire ici, qu'on néglige ce facteur, quand on opère sous des latitudes qui ne diffèrent que de quelques grades de la latitude moyenne 50.
mais
9 Vf-**
Quoi qu’il en soit, la formule, clans toute sa généralité, est 18370 [< + 0,002 (»-f <')]*< + 0,00323. cos. 2L) j log.li - log.A [1 + 0,(XKH8 (T — T') ] }
458. Cette formule peut se calculer par logarithmes; mais il existe fies tables insérées dans Y Annuaire dubureaudet longitudes et qui abrègent le calcul. Elles sont au nombre de quatre. La table première, dans laquelle on entre avec l’argument H en millimètre, donue un nombre de mètres que nous désignerons par a : on y cherche également le nombre b correspondant k h.
Avec T — T' comme argument, on trouve c dans la table deuxième.
a — b c Sera la hauteur approchée , si T — T >0. Ce sera a — 6+c quand T— T' sera négatif.
Pour avoir la correction dépendant de la différence de température des couches de l’atmosphère, il faudra multiplier lamillième partie de la hauteur approchée par i (t-|- V). La correction sera du même signe que t+t', qui est la somme des indications fournies par les thermomètres libres.
La correction due à la latitude et à la diminution de pesanteur dans le sens de la verticale, sera fournie par la table 3, à double entrée.
Le nombre qui correspond verticalement à la latitude et horizontalement à la hauteur approchée, est celte correction toujours additive.
Enfin, la table 4 donne la correction qu’il faudrait faire, si la station inférieure était très-élevée au-de6sus du niveau de la mer. Cette correction, qui est toujours additive, s’obtient avec l’argument H.
V59. Disons actuellement comment on opère sur le terrain et les précautions que l’on doit prendre. Les observations sont recueillies pardeux observateurs placés chacun à lune des stations. Ils ont des montres bien d’accord, et des baromètres et thermomètres qui sont comparés à 1 avance et bien réglés. Ils font des opérations simultanées qu’ils répètent de quart d’heure en quart d’heure, et dont le nombre dépend de la régularité de leur marche. On note la hauteur du baromètre, sa température et celle de l’air fournies par les instruments que l’on a soin de consulter aux heures convenues.
Après dix ou douze observations, on se réunit, ou s’assure que
mOJECTIONS.
les instruments sont encore bien réglés; puis chacun prend une moyenne entre tous ses résultats. Quand un observateur doit opérer seul, il faut qu'il obtienne, par un très-grand nombre d'ob servations, la hauteur moyenne du baromètre et la température moyenne pour chacune de ses deux stations : après quoi, il calcule avec ces données, comme si elles résultaient d'observations simultanées.
On a trouvé que la hauteur du baromètre est 0™, 7629 au niveau de l'Océan, sous la latitude de 55“555, et à la température moyenne de 12", 8. On sait également qu’au niveau des eaux moyennes de la Seine sous le Pont-National, la hauteur moyenne du baromètre est de 0m,76 b la température de 12s. On peut, à l'aide de ces données, conclure la hauteur verticale au-dessus de la mer ou de la Seine, de tel point que l’on voudra, en y faisant un grand nombre d’observations.
L’heure de midi, par un temps calme, est la plus favorable aux observations.
460. Calcul approximatif des côtés d’un réseau de triangles au moyen du baromètre.
L'emploi combiné d’ün baromètre et d’un instrument propre à mesurer les distances zénithales, fournit le moyen de calculer, d’une manière approchée, la distance entre deux stations : en effet, la formule des différences de niveau étant
A = K. lang. — 8) on en tire K = A coiang. J (§'— g)
Ou calcule h au moyen des observations barométriques, ou connait et / et l’on en conclut le côté K.
