PROJECTION STÊRÊOGRAPHIQUE SCR CM MÉRIDIEN

plus, le déterminer sans cela, puisqu'on en connaissait trois points, savoir : les extrémités a; et y du diamètre commun h l’équateur, et le point s dont la latitude est le complément de celle de Paris.

4GG. Projection stércographique tur un méridien I. 'avantage que l’on trouve dans cette projection à mettre le point de vue précisément sur l’équateur tient à cette propriété remarquable que tous les méridiens et les parallèles se projettent suivant des cercles toujours plus faciles à construire que les projections elliptiques que fournirait la position de l’œil en dehors ou au dedans de la sphère.

Il faut, avant de passer outre , démontrer la propriété que nous venons de mentionner.

Les méridiens et les parallèles sont les bases circulaires de cônes obliques, coupés par le méridien principal, et dont le point de vue est le sommet commun. Soit SAB (fig. 350) une section faite dans un cône oblique, suivant les deux génératrices qui sont le plus et le moins inclinées sur la base, ou, en d'autres termes, par un plan passant par l’axe et perpendiculaire h la base : prenons sur SB prolongé un point A', tel que SA'=SA : puis par A', faisons passer un plan incliné sur la génératrice SB, de la môme manière que la base AB l’est sur SA; nous déterminerons ainsi une section dite antiparallèle , qui coupera le cône suivant un cercle égal à celui qui est projeté dans la figure sur AB : et , en cflbt, la section A'B' opérée par un plan qui rencontre loutes les génératrices, no peut être généralement qu’une ellipse dont le cercle est une circonstance particulière. Le grand axe de cette ellipse est la droite A'B' elle-môme. Si l'on fait tourner son plan autour de la corde commune, projetée en I), jusqu'à ce qu’il s’applique sur la base du cône, le grand axe A’B' coïncidera avec le diamètre AB du cercle. Les deux courbes ont d’ailleurs une corde commune ; donc la section figurée par A'B' n’est autre chose qu'un cercle égal b la base. Ajoutons b cela que les sections par des plans parallèles étant des courbes soinblables , tout plan MN parallèle b A'B'1, c’est-à-dire anti-parallèle à la base, donnera une figuri^semhlable b celle qu’a produite le plan A'B', et par conséquent un cercle.

Cela posé, rien de plus simple que de faire voir que dans la projection méridienne, les méridiens su projettent suivant des cercles. Soit VMAN [fi g 351) le plan de l’équateur, V le point de vue,

MN la trace du plan du tableau, et US celle d’un autre méridien dont la moitié RC seulement doit figurer sur la projection. Imaginons le cône dont ce dernier cercle est la base et qui a son sommet en V : ce cône RVS est coupé parle plan de projection suivant FQ ; mais il est facile do voir que le plan FQ est anti-parallèle à la base I\S : l'un et l’autre sont perpendiculaires au plan de

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l’équateur; puis on voit que l'angle MQV a pour mesure — ~~ , VS

tandis que VRS = — : or MV — NS= VS, puisque si, au moyen

de la parallèle ST, on supprime de MV l’arc MT qui est égal à NS, il reste VT=VS.

Tous les cercles qui projettent les méridiens ont deux points communs situés dans le plan do projection ; ce sont les deux pôles de la terre : ils seront donc complètement déterminés, si l’on peut obtenir leurs centres. Ceux-ci doivent être sur l’intersection du plan de projection et de l’équateur, puisque ce dernier coupe symétriquement tous les cônes comme contenant tous leurs axes. l)e môme qu’au paragraphe 465 , nous allons chercher la longueur du rayon en fonction de l'inclinaison sur le plan du tableau, c’est-à-dire en fonction de la longitude.

Soient ADUV la projection de l’équateur {fig. 352. bis ) et V celle du point do vue : AB la trace du méridien principal, sur lequel se fait la projection et MN celle d'un autre méridien quelconque. Le diamètre de la projection de ce dernier est mn; mais

mn=mC+Cn = tang.JMD-t-tang.> DM — lang. ’ MD -f cot.J MD et, en vertu du § 22, mn = îcoséc. MD.

Or MD = 100' — AM = 100 — longitude,

donc mn = ï séc. longitude et le rayon = séc. longitude.

Si donc K (fih. 352) est le centre de la projection du méridien le plus voisin du principal, PK sera, d'après ce nous venons do voir, le rayon égal à la sécante de l'inclinaison des deux plans méridiens; mais CK est aussi la sécante de l’angle CPK : donc cet angle est égal à la longitude. Concluons de ce fait , que , pour avoir graphiquement les centres des méridiens jirojetés, il faut prendre les points d’intersection do la trace de léqimteur avec des droites passant toutes par P et faisant entre elles et avec CP, rayon du méridien principal, des angles égaux à la différence en longitude adoptée. On déduit encore de là que les tangentes pour

PROJECTION STÊRÉOGnAFQlQl'E SCR UN MÉRIDIEN. 463

le poinl commun P, sont respectivement perpendiculaires aux rayons et par suite que les arcs de cercles correspondants sont inclinés entre eux, comme les méridiens de la sphère.

Quelques-uns des cercles ne peuvent être tracés par celte méthode parce que les centres s'éloignent trop rapidement de la figure que l’on veut construire : mais alors le point F [fig. 350), appartenant à la projection du méridien RS et situé sur l’équateur, se joint aux pèles par deux lignes qui font entre elles précisément l’angle dont est capable le segment que l'on veut tracer : on ouvre sous cet angle une fausse équerre dont, en appuyant les deux côtés sur les deux pôles, lo sommet appartient toujours à l’arc de cercle qu'il s’agit de décrire et le détermine ainsi complètement.

Les projections des parallèles sont aussi des cercles que l’on construit d'une manièreanalogue aux méridiens.

Soit V {fig. 353) le point de vue, VQ l'équateur, et VPQP' le méridien qui passe parle point de vue : PCP' est la trace du plan de projection et DE celle d’un parallèle quelconque. Le cône projetant ce parallèle rencontre le plan du tableau suivant une courbe limitée entre elle L cl B ; de plus, celte courbé est un cercle, si lo plan projetant est anliparallèlc à la base I)E; mais cette circonstance a lieu en elTet, puisque PBE = 1 E+P yyg £P+‘

PE=PD, P'V PQ et LDE=LVQ comme correspondants. Les • deux génératrices VL, VE du cône percent le plan du tableau en deux points B,L {fig. 353), ou B', L' {fig. 354) : de plus les points A’ et A de celte figure, projetés en A dans la figure précédente, appartiennent également au cercle, donc avec ces quatre points, on peut le construire, soit en prenant le milieu O de B'L', si cette distance n’est pas trop considérable, soit en élevant des perpendiculaires sur le milieu des cordes A'B , A B', soit encore, comme plus haut, en formant avec les deux branches d une fausse équerre, un angle égal à A’B' A".

Si Ion veut, comme pour les méridiens . trouver l’expression des rayons des parallèles projetés, il faut chercher la valeur de sr {fig. 353 bis). En décrivant, avec VC pour rayon , un arc CK, on voit quo

«r =Cr — C« = lang.} DR — lang.J DS= tang.J DR — tang j VR ; mais lnng.JDR = lang.J (ÎOO— VR) = toi. \ VR;

donc le rayon cherché ou

. .... . /cos. sin.\

1 «r = } (col.» VR — lang-i V R) »= i (— — — j

/cos.*J VR — sin.» J VR\ x v î.sin.JVRcos J VR~" )

oucot. latitude du parallèle.

cos. vu " soi. VB

= colang. VB ,

Dans celte projection , il y a encore disproportion entre la forme et la surface des différentes parties de la figure, comme dans celle sur l’équateur; c'est vers le centre que se trouve ici la plus grande altération, tandis qu’elle est d'autant moindre qu’on approche davantage de la circonférence. Elle a encore un inconvénient de plus : c'est que les lieux situés sous la même latitude et compris dans la meme zone ne sont pas comparables puisque les projections des parallèles ne sont pas concentriques.

La figure 355 représente une projection méridienne complète.

467. Projections stéréographiques méridienne et équatoriale modifiées. *

Pour éviter le premier dos deux inconvénients que l'on vient de signaler, on peut diviser en parties égales la trace de l’équateur, faire passer des arcs de cercle par ces points de division et les pôles, et I on obtient, par ce moyen, beaucoup moins de dissemblance entre les subdivisions centrales et extrêmes [fig. 356).

On pourrait, par le même motif, modifier d’une manière analogue la projection équatoriale, en substituant aux traces des cônes qui projettent les parallèles, des cercles équidistants, qui rendraient les distances en latitude comparables de l'équateur au pôle (fig. 3i9).