Projection stéréographique sur l'horizon

Soit O (fig. 357) la projection do l'œil, AMBN celle de l’horizon, P et Q celles des pôles : il s’agit , comme précédemment, de trouver les projections des méridiens et des parallèles, et pour nous occuper d'abord des premiers, cherchons leurs perspectives sur le plan de l'horizon. Pour cela, imaginons le méridien principal AB rabattu sur le plan du tableau, en le faisant tourner autour du diamètre AD, et nous aurons la figure 358, dans laquelle A'B' représente le diamètre AB, O' le sommet des

VROJBf.riON STÊRÊOGBAPniyUE SI' I» I HORIZON. '«65

cônes perspectifs P' et Q' les deux pôles. Les génératrices O' P' et O Q' vont percer le plan du tableau figuré ici par A 'B', et son prolongement en deux points p' et q1, qui, reportés en p et q sur la figure 357, donnent ceux par lesquels doivent passer toutes les perspectives des méridiens : la ligne pq est donc une corde commune à toutes ces courbes, quisontdes cercles, comme nous allons le démontrer, et la perpendiculaire RS élevée sur le milieu de pq, est évidemment le lieu géométrique de tous leurs centres. Pour les trouver, nous tracerons les tangentes pl), pli aux méridiens perspectifs pour le point commun p {fig. 337), et nous élèverons les perpendiculaires respectives pi)', pE', qui x rencontreront US en des points D', E', centres des cercles correspondants.

469. Démontrons qu’ici, comme dans la projection sur un méridien, les courbes perspectives des méridiens sont des cercles. Si ensuite nous connaissions les angles qu'elles font entre elles, nous mènerions leurs tangentes pD, pE, par le pôle qui leur est un point commun, ces tangentes ont aussi la même inclinaison, les unes par rapport aux autres, et il en est de même des normales pl)',pE’,qui ne sont autre chose que les rayons des cercles, el qui, par leurs rencontres avec la droite RS, détermineront tous les centres D', E', etc. Réciproquement, D, E, etc., sont les centres des cercles ayant pour tangentes pD',pE', etc.

La figure 351 représentant le rabattement d’un grand cercle passant par le point de vue V, perpendiculairement à l'intersection C de l’horizon MN et de l’équateur RS, nous pouvons comparer les deux triangles VRS, VFQ : ils sont semblables et les angles en R et en Q sont égaux; car R a pour mesure la moitié de l’arc VS, tandis que la mesure de Q est \ MV — j NS ou 1 MV — { MT=i VT, et que VT=VS.

Les sections du cône par les plans RS et FQ sont donc antiparallèles n° 466, l’une RS est un cercle; donc l’autre en est égament un.

470. Si l’on voulait construire une telle projection perspective èt une grande échelle, il pourrait se faire que cetto opération devînt impossible, en raison de la grande distance à laquelle seraient situés certains centres. Pour parer à cet inconvénient, il faudrait trouver un troisième point de chacun des méridiens perspectifs, puisqu’en ayant déjà deux communs, les pôles p et

(.ËODÊSIE.

MO

q, on ferait passer un cercle par les trois points de chaque projection.

Imaginons, par le pointde vue, un plan perpendiculaire à celui du tableau : il coupera tous les cônes suivant deux génératrices. En construisant les points où elles percent le plan du tableau, nous aurons des points appartenant aux sections des cônes par le plan du tableau: c'est-à-dire les points qui doivent permettre de construire les méridiens perspectifs sans le secours de leurs centres.

Rabattons le plan de construction que nous venons d’imagi lier, sur celui du tableau, en faisant tourner le premier autour de l’intersection commune MN ( fig . 357), et nous avons ce qu’indique la figure 35Ü. M'N' est la trace du plan du tableau, et O» la nouvelle projection du point de vue.

Los méridiens sont coupés par ce plan, suivant des droites CI , CG, CH, qui toutes passcut par le centre de la sphère.

Laissant leurs extrémités F, G, II avec O", nous avons une génératrice de chacun des cônes correspondants. Ces génératrices rencontrent le tableau eu T,U,V, etc.; et si, maintenant, on suppose redressé le plan de construction, pour en revenir à la figure 357 , où il est représenté par la droite MN, les points T, U, V , prendront les positions T’, U', V;, et 1 on aura atteint le but que l’on se proposait.

471. Il reste à savoir quelle est l’inclinaison respective des traces des méridiens sur le plan du tableau oblique à leur intersection commune. Représentons par ACB, le plan du tableau (fig. 360), par C le centre de la terre, et par P le pôle : 1 angle que fait CP avec le plan ACB, est évidemmenUgal à la latitude L du point de vue. Les lignes PA et PB étant des tangentes à deux méridiens sont inclinées l’une sur l’autre d une quantité M qui est la différence en longitude des deux méridiens en question. Prolongées jusqu’en A et B, où elles percent le plan du tableau, si l’on unit ces points au centre C, on forme un angle ACB que nous désignons par M', et qui est l’inclinaison correspondant à M, des traces des plans méridiens sur celui du tableau. Le plan CPA est celui du méridien principal , perpendiculaire à l’intersection de l’équateur et de l’horizon.

Cherchons la relation qui existe entre M et M' .

Le triangle AB P rectangle en A donne lang. M = — .

PROJECTION STftRÉOGlUPHlQUK SUR I.’hORIZON.

On trouve aussi dans APC rectangle en P, sln.L =

* VB

doue Ung, M x *in. L =

Mais, dans le troisième triangle ACB, rectangle en A, on a taog. M' = ^5 donc enfin * tang M' = tang M Xsio.L.

C'est-à-dire, qu'en multipliant les tangentes trigonométriques des angles quo forment tous les méridiens avec l’un d’eux pris comme origine par le sinusdela latitude, on trouvo les tangentes trigonométriques des angles, et, par suite, les angles eux-mémes, qu’il faut former autour de P ( fig . 337), pour avoir la position convenable des tangentes aux arcs de cercle et, par suite, les rayons pD, pE, pD', pE', etc.

Si I on voulait seulement avoir un troisième point pour chacun des méridiens projetés, celui qui est compris dans le cercle rabattu {fig. 339), il faudrait figurer les traces CF, CG, CH, etc., des méridiens, en remarquant que, puisqu'il est perpendiculaire à l’horizon, c’est par le cosinus delà latitude et non par son sinus, qu’il faut multiplier la longitude. Les extrémités F, G, H, etc., des traces unies au point de vue O”, donnent V, II, T, où les génératrices correspondantes percent le plan du tableau.

472. Il faut actuellement s’occuper des parallèles, et démontrer d'abord que leurs perspectives sur le plan du tableau sont des cercles.

V représente le point de vue {fig. 361) : ADEF est une section de la sphère passant par le point de vue, et perpendiculaire au tableau qui alors est représenté ici par la droite DF.

Si AB indique la trace d'un parallèle quelconque dont AB se Irouve être un diamètre, le cône auquel il sert de base, et dont la section est AVB, sera coupé par le plan du tableau suivant une courbe projetée en ab, et que nous allons démontrer être un cercle tout aussi bien que la base du cône. Il nous suffit pour cela, de faire voir que les plans du tableau et de la base du cône sont antiparallèles. En effet.

de même

VF-friB VP-fDE-fEB , BE

Von = — — = = l cire, -f —

VDB+ BE

BE

tiÊUDÊSir..

Donc, Vèa=VAB; donc, ce que nous avons avancé se trouve démontré.

473. Pour tracer les cercles perspectifs des parallèles , il suffit d’opérer pour chacun d'eux comme nous venons de faire pour AB : car, pour celui-ci, les points a et 6 sont les extrémités d’un de ses diamètres.

Cette construction est indiquée sur les figures 357 et 358.

Lorsque les parallèles approchent du point de vue, il devient impossible d'obtenir graphiquement le point où l'une des deux génératrices extrêmes du cône projetant perce le plan du tableau. C'est ce qui a lieu pour les portions ab et de, situées dans l’hémisphère où se trouve le point de vue O' (fig. 358) : on n’a donc que le point c pour l’un, et / pour l'autre, qui sont reportés sur la figure 357 par des parallèles ù 00', en c ' et f . Pour compléter la détermination des projections de ces parallèles, on remarque qu’elles ont deux points représentés {fig. 358) par b pour l’une, et e pour l’autre : que ces points appartenant également à la sphère seront connus de position. Si, par b et e, on trace perpendiculairement à Taxe de rotation, deux droites qui viennent couper la sphère {fig. 357) en g, h, k, l, on obtient trois points pour chacun des deux cercles, de manière qu’en les unissant par des cordes sur le milieu desquelles on élève des perpendiculaires, les centres qui d’ailleurs, et c’esl une garantie de bonne exécution, doivent se trouver sur AB prolongés, sont connus, et le problème est entièrement résolu.

Comme les précédentes projections, celle-ci a l’inconvénient do ne pas oiïrir un rapport constant dans toutes ses parties.

474. Projection* orthographiques. Quoique ces projections soient plus imparfaites encore que les précédentes, il convient d’en parler ici, parce qu elles ont été quelquefois, quoique rarement, employées. Au surplus, si l’on no voulait pas s’en servir pour la reproduction d’un hémisphère entier, mais seulement pour une petile portion de sphère dont le plan de tangence serait perpendiculaire à la direction des lignes projetantes, elle serait trèsbonne et préférable ù la projection sléréographique : et en eflot, dans ce petit espace, le plan tangent s’écartant à peine de la surface courbe, les figures projetées et leurs projections seraient égales.

On a vu, n" 4G4, que le point de vue était supposé à une distance inGnic sur la normale au centre du tableau. Celui-ci

l'ROJECTION ORTDOURAI'DIQUE SUR UN MÉRIDIEN. 169

peut, comme pour la projection stéréographique, être l’équateur, ou un méridien ou l'horizon.

475. Projection orthogonale sur l'équateur. Le point de vue étant placé sur le prolongement de la ligne de9 pôles, c'est-à-diresur l'intersection commune à tous les méridiens, leurs traces passeront par la projection du point de vue qui n’est autre ohose que le centro du tableau : elles feront aussi entre elles des angles égaux évidemment à l'inclinaison des méridiens les uns sur les autres.

Les parallèles bases de cylindres droits seront coupés par l’équateur suivant des cercles concentriques égaux aux parallèles qu’ils représentent (fig. 362).

Les rayons de ces parallèles sont, comme on le reconnaît h la simple inspection de la figure, égaux aux cosinus des latitudes correspondant h chacun d'eux. Nous pouvons ajouter ici, en passant, que des arcs de même amplitude étant proportionnels à leurs rayons de courbure, le rapport d’un degré en longitude mesuré sur l'équateur et sur un parallèle, est le môme que celui du rayon de la sphère au cosinus de la latitude ; et, si l’on considère ce rayon comme l'unité, le rapport est égal au cosinus de la latitude.

476. Projection orthographique sur un méridien. Ici, le point de vue est situé dans le plan de l'équateur. Les méridiens sont les bases circulaires de cylindres obliques, et Içurs sections par le tableau perpendiculaires aux génératrices, sont des ellipses. Toutes passent par les deux pôles: car ces deux points sont communs aux méridiens et à leurs projections. Cette ligne est, pour chacun des méridiens, le seul diamètre projeté en véritable grandeur : c’est le grand axe commun à toutes les projections elliptiques. Les petits axes perpendiculaires aux grands, seront tous sur la trace du plan abaissé du point de vue perpendiculairement aux méridiens, c’est-à-dire sur la trace de l’équateur : et, comme on ne s'occupe que d’un seul hémisphère, celui qui est en avant du tableau, il suffit de trouver les extrémités antérieures des petits axes. Soit AC la trace sur l'équateur {fig. 363) de la moitié d’un méridien : elle se projettera en A C', qui sera la moitié cherchée du petit axe. En projetant de môme les- extrémités des autres méridiens analogues à A, on sera’ à môme de construire toutes les ellipses, d’une manière continue. Il faut pour cela, connaître les doux foyers; mais, comme on sait que la somme des deux

rayons vecteurs est une quantité constante égale au grand axe, il suffira de prendre un fil de cette longueur, de fixer son milieu sur le sommet du petit axe, et de tendre ses deux parties jusqu'à ce que les extrémités s’appuient exactement sur le grand axe. Les deux foyers seront ainsi déterminés, et rien ne s’opposera plus au tracé continu de l’ellipse.

Quant aux parallèles qui sont les sections de la sphère par des plans parallèles à l’équateur, ils se projettent suivant des droites ( fig . 363). On peut remarquer que les projections sur l’équateur et sur un méridien sont exactement ce qu’en géométrie descriptive on nommerait les projections horizontale et verticale de la sphère. '