Il reste, pour compléter cette projection, h déterminer
les parallèles qui sont aussi des ellipses, résultant de la section de cylindres obliques à bases circulaires par des plans. Soit EP’QP (pg. :166), la section de la sphère par le plan méridien perpendiculaire à l'horizon dont la trace est BII : AB celle d'un parallèle dont le diamètre au plan du tableau s’y projette en véritable grandeur, tandis qu’ici, il n’apparaît que par sa trace F : il faut donc abaisser de F une perpendiculaire sur HB, la prolonger jusqu’au rabattement clic' b, et porter ff1 égal à AB. C’est le grand axe de l’ellipse suivant laquelle se projette le parallèle AB. Pour déterminer le petit axe, il suflit de projeter les points A et B en a et b. . ,
Nous avons, dans cette ügure, représenté lequaleur EQ, le parallèle VD passant par le pôle de l'horizon, et celui AB qui est tangent à cet horizon. La figure 367 représente une telle projection complète.
479. Il est facile de reconnaître, h l’inspection des figures, que les projections stéréographique et orthographique ont des défauts • contraires. Tandis que la première altère considérablement les
parties centrales, la seconde dénature do plus en plus tout ce qui s'éloigne du centre, à tel point même qu’elle n’est presque pas usitée. On conçoit donc qu’il ait pu venir à l’idée de trouver sur la perpendiculaire au plan du tableau ün point de vue tel que les rayons qui percent ee plan, en partant de points également distants sur le globe, donnent des projections également espacées.
Supposons que V [pg. 368) soit ce sommet des cônes : désignons par x, sa distance VP à la terre, par na un certain nombre do divisions du méridien, et par nh le même nombre de divisions correspondantes sur l’équateur, égales entre*ellcs, et voyons si nous arrivons à une valeur constante de x. 11 s’agit ici d’une projection sur l'équateur.
Les triangles semblables GFV, DCV, donnent c? : fv : : dc : gf
OU x-f r J ar-i-r-f-siD.ua " «h • cosin. na.
d’où nous lirons
(x-J-r) cosin. na = nh (x + r-f- sin.na)
Et enfin, successivement
(*+ r) (cosin. na — nh sin . na) = nh sin. na
nA. sin.na nA.sin.na
x+r= — : , et x = — : r
cosin. na — nA cosin. na — nA
S’il avait été question do la projection sur un méridien, l’expression de x n’eût changé que par la mutation réciproque du siuus et du cosin. de na.
Cette valeur do x variant avec na, c'est-à-dire avec n, prouve qu’il n’y a pas de position pour V, qui remplisse complètement le but que nous nous proposions d’atteindre.
Nous pouvons, tout au moins, chercher h satisfaire le mieux possible à la condition qu on ne rencontre, ni dans la projection stéréographique, ni dans la projection orthographique. Pour cela, prenons l’expression générale d’un rayon projeté de parallèle en fonction do la latitude et de la position du point do vue.
En désignant ces quantités par h, L et a-, la figure 368 et la
HIOJfcCTION ÜRTHOGRAFHIQUK SUR I.I10RIZ0N. 473
même comparaison des triangles semblables que ci-dessus, fournissent :
h : r COS.L ; I *■ ; * -f r -f r sin L
(r -\- r) r coS. L r-p rsin.I.
rcos. L
riin.L tt + r
Si *r=0, nous rentrons dans la projection stéréographique , et le rayon du parallèle projeté est
r. eos. L 1 -f-sin. L
Si x ~ X , ce qui correspond à la projection orthographique,
r cos. L
h — = r. cos. L
Dans ce dernier cas, A varie trop peu, lorsque L est voisin de 0». Dans le précédent, la valeur du sinus qui entre au dénominateur, prenant des accroissements d’autant plus rapides que le cosinus décroît plus lentement , non-seulement détruit l'inconvénient qui existe dans la projection orthographique, mais encore lui substitue le défaut contraire, dans une proportion cependant moins défavorable. Ceci no fait que sonGrmer les inconvénients signalés § 479.
Si l'on supposait x=r, la formule deviendrait
r. cos.L
“ t -f- i sîn. L
L’expérience a prouvé qu’on détruisait ainsi un peu trop l’action du sinus, et Lahire a pensé que, ce qu’il y avait de mieux à
faire, était de prendre x — sin. 50‘ = — . r (fig. 369) ce qui donne
et enfin,
rcos. L.
r. sin. L
r. cos. L r. cos. L
sin. L 1/5 4 -f- sio.L
r. eos, L
1 +0,585 sin. L
c'est-à-dire environ
r. cos. L
Malgré l’avantage de cette méthode, on a continué à se servir
i.ÉOllfiSIE.
vn
do la projection stéréographique, parce qu elle seule jouit «le la propriété de projeter les cercles de la sphère par des cercles.
480. Projections par développement — Développement du <%ne tangent. Lorsqu’il ne s'agit que de représenter une petite portion seulement de la terre, comme un royaume, une province, etc., on se sert de projections qui allèrent moins les formes et les dimensions. Pour cela, on imagine une surface de révolution développable et tangente au globe vers le milieu de l’espace à reproduire, suivant le parallèle moyen. Celte surface différant peu de la portion correspondante de la terre, coupée par les plans des méridiens et des parallèles , se trouve divisée en quadrilatères mixlilignes qui représentent les quadrilatères curvilignes, et que l’on peut regarder comme leurs équivalents. SoitCQTP (fig. 370) la section d'un quart de la sphère par lo méridien moyen de la surface à projeter. TD est la trace du parallèle moyen, et BE, AF, celles des parallèles extrêmes. Imaginons la surface conique engendrée par la tangente OT : elle se raccorde avec la sphère suivant le parallèle dont TD est le rayon, et les plans des parallèles extrêmes la coupent suivant les circonférences projetées ici en Mî et oF. Les sections par les plans méridiens sont des génératrices du cône. Pour développer la portion nécessaire de la surface conique, on décrit un arc de cercle avec TO pour rayon, on porte dessus des parties égàles aux divisions «lu parallèle moyen, et l'on trace les génératrices correspondantes; puis ensuite on complète la projection en décrivant du même centre et avec Oa, O b, pour rayons, des portions de circonférences qui sont les projections des parallèles.
Nous trouvons, dans ce procédé, que les quadrilatères sont rectangulaires comme sur la sphère , et que tous les détails situés sous la môme latitude, sont comparables; mais, pour d’égales différences de latitude, nous voyons qu’elles décroissent de plus en plus rapidement, h mesure que l’on approche du pôle, tandis qu’elles augmentent sans cesse vers l’équateur. Dans ce cas, elles sont projetées plus grandes qu’elles no sont sur le globe , et plus petites dans lo premier cas. Un second inconvénient consiste en ce que les différences on longitudo sont toutes plus grandes sur la surface conique que sur la sphère.
La figure 371 indique ce développement.
481- Projection conique. Pour quo les latitudes no 6oicnt pas altérées, on a imaginé de porter, h partir de T (fig. 370;, sur TO,
