Projection orthographique sur l’horizon

VAP'RP représente une section suivant le méridien d’un point V,AB 'Kfg. 364), le tracé de l’horizon de ce point, et PP1 la ligne des pôles : on se propose de trouver les projections des méridiens sur l’horizon. Toutes passent par les projections p, p’ des pôles (fig. 365), et sont des ellipses comme intersections de cylindres plus ou moins inclinés et à hases circulaires. L’horizon étant un grand cercle do la sphère, coupe les méridiens suivant des diamètres qui sont les grands axes des ellipses.

Nous avons trouvé, n°471, en parlant de la projection stéréographique sur l’horizon, la relation qui existe entre l’inclinaison des traces sur l’équateur et sur l’horizon : elle est, en les désignant par M et. 4P, fournie par l’équation lang.M'=lang.M.sin.L. Nous pourrons donc nous en servir ici, et prendre, si nous voulons, pour premier méridien, celui qui passe par le point V, et qui de tous est le seul qui se projette suivant une droite A'B '(fig. 365). L’cllipso se réduit ici à une droite, parce que le cylindre, qui a pour base ce premier méridien, se réduit lui-mémeau plan qui le contient. Il n est, au reste, pas indispensable de partir de ce méridien plutôt que de tout autre. Toujours £8t-il que l’on sait projeter les grands axes de toutes les ellipses : quant aux petits axes, ils leur seront respectivement perpendiculaires, mais ils varieront de longueur, en raison de l’inclinaison des plans méri* diens sur celui de l’horizon, lis seront d’ailleurs les projections des diamètres perpendiculaires îi ceux qui so confondent avec leurs projections comme situé? dan9 le plan du tableau, qui, par ce motif, sont les grands axes dos ellipses, et dont nous venons de parler un peu plus haut.

l'ROJBCTIOX oHTIIOGRaI’UIQUR sbR LHORIZON.

Pour obtenir l'un do ces petits axes, supposonsque GH (pg. 365) soit la trace d'un méridien quelconque : il n’est pas difficile de trouver l'inclinaison de ce plan sur l’horizon, puisque nous connaissons aussi sa trace verticale PP', qui est celle de tous les méridiens.

Imaginons, pour cela, par un point de la trace verticale, P par exemple, un plan vorlical perpendiculaire au méridien dont la trace horizontale est GII : les traces de ce plan seront PE, pK, côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle, dans lequel l’augle aigu en K mesurera l'inclinaison du méridien dont nous nous occupons, sur l'horizon. Pour construire ce triangle, nous rapportons PE en pN, par le simple procédé qu'enseigne la géométrio descriptive : nous traçons l’hypoténuse NK, etpKN est l'angle cherché. Par le centre C de la sphère, faisons passer CL parallèle h KN, projetons le point L en M sur CM perpendiculaire à GII grand axe de l’ellipse, et CM en sera le petit axe. Nous ne répéterons pas ici ce que nous avons dit au n° 476, sur la manière de tracer une ellipse dont ou connaît les deux axes : nous rappelons seulement que toutes doivent passer par les points p et p', si on les décrit entières, ou, tout au moins, que les demiellipses apparentes dans cette projection se coupent au point p.