La comparaison des trois triangles rectangles semblables
TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE
BCD, ECA, FCG, fig. 1, fournit, en désignant par R le rayon de la circonférence, les relations suivantes :
(<) tnng. =
I). sio.
(î) colang.=
R. cOsin.
sin.
(3) sécnnlc = '
Rl
(4) cosécante = - — sin.
colangcnte =
tong.
(5)R* = sin. +cosiu.
11 n'y a pas h tenir compte de l'avant-dernière, qui n'indiquo rien qui no soit fourni par les précédentes, puisqu'on la déduirait de (1) et (2).
Le rayon est une quantité constante dans toute» ces formules.
On a ainsi 5 équations entre 6 variables, cl l’on pourrait dire, généralement parlant, que l'une étant donnée, on en peut déduire toutes les autres. S'il s'agit cependant de trouver un arc par quelques-unes de ses lignes trigonométriques, les valeurs de deux d’entre elles seraient insuffisantes, puisque les signes variant ensemble ou alternativement laisseraient de l’incertitude entre 4 amplitudes possibles de l'arc cherché. 11 faut donc connaître deux lignes trigonométriques et leurs signes, pour faire cessertoute incertitude. Il résulte de cette considération que, pour résoudre complètement les équations indiquées précédemment, il faut connaître les signes des deux lignes et la longueur de l'une pour trouver la seconde et par suite les 4 autres.
Au premier abord, ou pourrait croire que les équations
sécante = R* + langenle , cosécanle = R« -f- cotangente ,
déduites des deux triangles ACE, FCG, doivent égaler le nombre des équations à celui des inconnues ; mais il est à remarquer qu elles n'établissent aucune relation nouvelle entre les lignes trigonométriques, et qu’elles rentrent dans Tune des équations précédentes.
En effet, l'équation sec. = R2 + tang. peut s'écrire sous la
forme
JÜ
cosin!
R*. sin.
puis, en multipliant par , elle devient R’=sin.+cos. . (5)
TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE
I)c même cosec. = R1 + cotang. est la même chose que
U* „ , , lt>.cosiu.
sin. sin.
ou, en réduisant R1 = sin. cosin.
4. Des limites de grandeur des sinus et cosinus et de la règle des signes adoptée pour eux on conclut au moyen de (I), (2), (3), (4) les signes et dimensions des autres lignes trigonométriques correspondant à toutes les valeurs que peut prendre un arc.
Les sinus sont positifs de 0* à 2008 et négatifs de 200* à 400*.
Les cosinus positifs de à 100*, sont négatifs de 100* à 300*. puis positifs de 300* à 400*.
Au moyen de (1) et (2), on voit que
Tangente et cotangente
o de 0« à 100* et de 200' à 300B.
o de 100* à 200* et de 300* t\ 400*.
Les formules (3) et (4) indiquent que la sécante est toujours du même signe que le cosinus, tandis que la cosécante prend celui du sinus.
5. Le sinus et le cosinus ne peuvent varier en longueur que de zéro au rayon : il en résulte qu’en désignant l’arc par A, on a
sin =0
sin.<R
sin.=R
sin.>0
sin =0
sin.<tf
sin =»— R
sin.<0
cosin.=R
cosin.<R
cos.=0
cosin.<0
cotin.<0
cosin. =0
cos.>0
tang.=0
lang>0
lang =*>
lang <0
lang «=0
lang>0
lang.- «
tang.<0 |
cot>0
col.=0
cot.<0
COt. =90
cot.>0
cotang =0
col.<0 !
séc.>0
séc=c
sic <0
sic.=— R
séc.<0
sic.=®
séc >0 i
coséc=»
coséc.>0
coséc.=0
coséc.X)
coséc=®
cosic <0
coséc =-R
coséc.<ü;
6. Les tables de logarithmes des sinus, cosinus, etc., n’ayant été calculées que jusqu’à 100*, il est nécessaire de voir quelles relations existent entre les lignes trigonométriquesdes arcs plus petits que 100*, et de ceux qui sont compris entre 100 et 400*.
L inspection seule d'une figure apprend que, pris d'une manière absolue, les sinus et cosinus do 100. 200, 300 grades plus
1 TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE
un ara A sont égaux, soit au sinus, soit au cosinus de A, et qu'en tenant compte de la règle des signes indiquée plus haut,
sin. 100; 4- A<=+ cos A | iln. 200 + A «•=— stn. A sln. 300 +A = — cos. A
cosin. 100+ A = — lin. A | colin 200 + A=— coi.A fosin 300 + A = sin. A
On trouve ensuite facilement en combinant ces valeurs avec les équat. (1) (2) (3) (4),
tang. (10O+A'=— colang A.
cotang. (IOO+A;— — tang.A sic. (100+ A) = — cosic A coséc. (100+ A)=sic A
tang. (200 + A}«=+ tang A cotang. (200 + A)=+ cot A sic. (200 + A) «= -sic. A cosic. (200 + A) = — coséc. A
tang. 300 + A) = — cot.A cotang. (300+A}= — tang A sic.(300 + A) = — coscc. A cosic. (300 + A) = — sec. A
Voici un moyen mnémonique qui pourrait servir encore h éviter les erreurs dans la transformation des sinus et cosinus d’arcs plus grands que 100e .
On éerit :
+ sinus, + cosinus, — sinus, — cosinus, + sinus.
Fuis ensuite, si parmi ces 5 figures, on supprime la dornièro, les 4 autres représenteront les sinus de A (plus petit que 1006!, de 100e + A, 200* + A et 300“ -+ A.
Si, au contraire, c’est la première figure que l’on retranche, les 4 suivantes seront précisément les cosinus de A, 100* -+ A, 200* -+ A et 300* +- A.
7. Les sinus de deux arcs égaux et de signes contraires sont aussi égaux et de signes contraires : c’est à-dire que sin.( — Â) = — sin. A.
Les cosinus, dans ce même cas, sont égaux et de môme signe ; ainsi cosin. ( — A) = -J- cos. A. Substituantes valeurs de sinus et cosinus d'arc uégatifdans (1), (2), (3), (4), on obtient :
tang. ( — A) = — tang. A ; col. ( — A) = — cot.A ; séc. ( — A) = + séc. A ; coséc. { — A)=> — coséc. A.
8. Il est facile de voir qu’en ajoutant un certain nombre de circonférences à un arc, ou en les retranchant, les lignes trigonoraétriques restent les mômes.
9. Il convient de placer encore ici, avant de passer outre, deux formules qui donnent le sinus et le cosinus en fonction do la tangente ou de la eotangente.
TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE
En combinant coséc. = — et coséc. = R' -4- cotana. on a
