FT

2 p (2 ;» — îa) ip-ibyxip — ic)

± I i/p (y»-o)lp-A; (p — c) (Si)

Cette formule peut servira démontrer que les sinus des angles

„ TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE. 23

sont proportionnels aux côtés opposés, car, en divisant les deux

membres par a, le coefficient du radical devient et le second membre se trouve symétrique par rapport à a, b, e.

Il est encore d'autres formules au moyen desquelles on arrive à trouver un angle en fonction des 3 côtés.

Prenons la formule (46), et, comme ci-dessus, introduisons la valeur do cos. A, il vient

2 sin. } A ■=• 1 — cos. A = I —

Divisant par 2, extrayant la racine carrée et faisant

sm. iA = ±i ./ (2p — 2e)(2;,-26)o + ./{y -b) [y ~c) (K

De même, au moyen de (47)

eos.4A = ±i l/*p(» P \/ P (p-"> . (86)

Le produit de (55) et (56) multiplié par 2 reproduit (54) comme cela doit être en vertu de (30).

Si, au contraire, on les divise l’une par l’autre, on trouve

lang. J A-±l/ ÜHÜËE£., . ; . . . (57)

32. Il pourrait arriver que la combinaison des quatre éléments a, 6, c et A n'eût pas pour but de déterminer l'angle, mais l’un des côtés. Supposons que l’on veuille trouver a, côté opposé à l’angle donné, on substitue à cosin. A son équivalent

t— 2 MÎT.* J A dans 0» = 6«-f e* — 2 6ecos.A .

ce qui donne «« = 6» + e* — 2 6e + 4 6c sïiT.s 4 A = (6 — e)« 4- 4 6e sm'.J4A=*

est essentiellement positif, puisque i et c sont des

24 TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE

quantités positives, et que les autres facteurs sont des carrés : on peut alors l’assimiler au carré d'une tangente et écrire.

UDg. 9

îsin.j A /h t

Celte formule donnera 9 en fonction de quantités connues*, puis substituant dans l’expression de a on aura :

a = (4 — c) 1 ■+• üng.2 9 = (6 — e) sfe. 9-

On aurait pu de même remplacer cos. A par 2 cos. £ A — 1 et l’on serait arrivé à un résultat analogue. La quantité que l’on vient d’assimiler b une tangente se trouvant alors affectée du signe — , on l'aurait égalée au carré d’un sinus ou d’un cosinus,

4 le. cos.’lA ... . .

et le binôme 1 — - "j. ' 80 8Crait lrouvé remplacé par un

cosinus ou un sinus au lieu d’une sécante.

On peut encore résoudre ainsi qu'il suit :

On sait que

cos.A = côs^lA — sîn.JlA et 4 =cvs.5JA -fsio.’lA.

Dans al — b'-hc* — 2bc cos. A, onqieut multiplier é’-t-c1 par l’équivalent de l’unité et remplacer cos. A par la valeur indiquée ci-dessus, il en résulte

a* = (l* + c») (cos.2 I A -(- siu.2 J A) — 2le(co9.2 J A — sin.2 i A) «=

(A-e)* cos.2 J A-f- sin.2 A = (4— e)» cos.2 J A A j (50)

Si l’on fait

l«og. 1 A = bmg.9, on«, a-=» (6 — e) cos. J A s4«.9,

et le problème est résolu

Enfin si l’on voulait b en fonction de a, c et A (la marche est la même si c est l'inconnue), on trouverait de suite C par la proportion des sinus : B, en retranchant A + C de 200* et enfin b en faisant usage encore de la proportion des sinus.

33. S'il s'agit de résoudre un triangle dans lequel on connaît

TRIGONOMÊTRIK RKCTIMGXl!. 25

deux côtés et l’angle compris, en désignant les données par a, 6,C, on trouve au moyen de la proportion

sin. A : fin B ;; a ; b,

sin A -f~ sin.B sin.A — sin. B

ou en vertu de (26)

tang. i (A— B) = lang. J ( A -f B)

mais A -f- B c=200" — C, et tang. J (A + B) = coUng.J C

donc enfin tang } (A — B}= cotang. te ^—-4 (60)

3i. Pour résumer ce qui est relatif à la résolution des triangles, nous dirons qu’un triangle se compose de 3 côtés et 3 angles : qu’on peut' le résoudre, lorsque l’on connaît 3 éléments, pourvu qu’il se trouve au moins un côté parmi eux. Examinons donc quelles sont les combinaisons 4 b 4 que l’on peut former avec les angles et les côtés.

1° Deux angles et les deux côtés opposés

La proportion (52) résout ces différents cas. Le 3e angle s’obtient en retranchant de 200* la somme des deux que l’on connaît : puis enfin, c’est encore (52) qui fournil le 3e côté.

2° Connaissant 2 côtés et l’angle compris, résoudre le triangle, les données sont

<if b, G b, e, A..... .a, c, B.

Dans l’une quelconque de ces 3 combinaisons, la formule GO) donne le moyen de trouver la demi-différence des deux angles inconnus : d'ailleurs, on connaît leur derni-somme, qui ‘égale 100* moins la moitié de l’angle donné; donc on connaît les 3 angles. La proportion (52) donne ensuite le 3e côté.

3“ Connaissant 2 angles et le côté compris. Cette circonstance est presque inutilement relatée, puisque la connaissance de deux angles entraîne de suite celle du 3”, et qu’alors au moyen de (52) on trouve les deux côlés.

4° Les 3 côtés étant donnés, il s’agit de déterminer les angles.

On peut pour cela employer l’une des formules (54), (55), (50) ou (57).

20 TRIGONOMÉTRIE BECTILIGNK.

35. Cherchons l’expression -de la surface d'un triangle en fonction des 3 côtés.

On sait que dans tout triangle ABC, fig. 4, en désignant par S la surface, ou a

S*=|AA; mais h<=c sin.A ; donc S = }Aesin.A,

et en vertu de (54)

On arrive directement au mémo résultat par la méthode suivante dans laquelle on ne 6upposo pas connue la formule (54). Puisque déjà S — ^ bh, il reste à trouver h en fonction des côtés.

La figure 4 fait voir que

A*=e*' — x*=(c -(-*)(* — *) et x =. c. cos. A

substituant dans cette dernière expression celle de cos.A four-

fc* -L c* <2*

nie par la formule (53), on trouve x = — j-jr^ —

qui, .introduit dans la valeur de A*, donne, après avoir réduit au même dénominateur,

(2 bc -|- A* -f- e* — a*) (2 be — S* — c* -|- «*)

4Î* Q4+c + 0Hi+e~0) ('« +c — 6) (o-f- A — „]

représentant, comme plus haut, le demi-périmèlre par p

cl enfin, en substituant dans l'expression de S,

s = V p (p — fl) (p — A) (p — <•)

TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE