RÉSOLUTION DES TRIANGLES (RECTANGLES ET OBLIQUANGLES

28. Dans un triangle rectangle on a, en prenant C«=l, fig. 3, 5s=sin.C, Cs= cos.C, a/3= tang.C, et à cause de la similitude des

triangles, a : c : b :: 1 : sin.C : cos.C, d où — r.~ .< -r~=->

" 7 cos. G 6 1 o

cos.C b

— j- = a c est-à-dire c = b tang. C, c = a sin.C, b = a cos.C et par suite 6 = ecotang. C ; a—c coséc. C ; a=6séc. C.

29. Si, dans un triangle quelconque ABC, fig. 4, on abaisse la perpendiculaire BD, il sera décomposé en deux triangles rectangles qui donneront BD = a sin. C = c sin. A.

d’où a : e :: sin. A : sin.C. (Bî)

Cette propriété, dont jouissent les sinus d’être proportionnels aux côtés opposés, peut encore se démoutrer directement.

Soit ABC, fig. 5, un triangle auquel on circonscrit un cercle dont le centre est en O, point de rencontre des perpendiculaires élevées sur le milieu des côtés. De ce point comme centre et d'un rayon égal à l'unité, on décrit une nouvelle circonférence dans laquelle on inscrit un triangle A'B'C' semblable h ABC ; ou a alors la proportion

bc : ac : ab : : B'C» : a'o : a’B' : : j B'c> : \ a*c' : j .vb'

mais } B'C’ = sin. i B'OC' = sin. A' = sin. A :

de même j A'C' == sin.B' a J A'B” =• sin.C

donc enfin BC ; AC ï AB :: sin. A; sin.B; sin.C. (82)

Nous avons posé J B'OC' = A' : en effet, ces deux angles embrassent le même arc de cercle entre leurs côtés et le premier a son sommet au centre, tandis que celui de l’autre est situé sur la circonférence.

TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE

30. Si dans le triangle ABC, fig. 4, on désigne par A la hauteur cl par x la portion AD de b, on a

«i = ;A— *)» -f A» = A*-fx« + A'— 2Sx et puisque C»=a*4-A« o‘ = A*-}-c» — 2Sx.

Mais le triangle rcctanglo ABD fournit x — c cos. A.

donc enfin „« *= a» + c» — 2Ae cos. A ou cos. A <= ~*~c* ~a- . . (53)

ïbo

Si l'anglo A était obtus, la formule resterait la même. La perpendiculaire tombant dans ce cas en dehors, on aurait :

Dans ABD, x = ccos. (200 — A)= — ccos.A et par conséquent

o»=a c* — 26c COS. A

Celte équation qui, en théorie, détermine l’uno des quantités a, 6, c et A en fonction des 3 autres, n'est pas d’un usage facile dans l'application. Les formules disposées pour l'emploi des logarithmes étant préférables, leur recherche va être le but des trois paragraphes suivants.

31. Si d’abord la résolution du triangle tend à déterminer un angle au moyen des 3 côtés, on peut combiner ensemble

siD.A=>4 — cos. A cicos.A= — on trouve

zoo ’

— -, 4A*e» — (A*-fe’ — o>)* (2Ac-fA»-fc* — a*)(2Ae— A* -e*4- a»)

a =. = 4éT75

Si l’on représente le périmètre a -f- b -f- c du triangle par 2p,