CHAPITRE IX

THÉORIE DES LOGAR1T11MKS. — CONSTRUCTION DES TABLES DE LOGA- RITHMES DES NOMBRES NATURELS ET DES LIGNES TRIGONOMÊTRI- QCES.

38. Le logarithme d’un nombre est l'exposant de la puissance à laquelle il faut en élever un autre pour obtenir ce nombre.

Ainsi dans y = a , x est le logarithme do y. Le logarithme vulgaire est celui dont la base est 10. 2 est le logarithme vulgaire

de 100, puisque 100 = 10.

La base a peut être un nombre quelconque, autre toutefois que l’unité, puisque un élevé à telle puissance qu’on voudra donne constamment l’unité.

Le logarithme de la base est toujours l’unité, car, pour que a = a, il faut que x = 1 .

Le logarithme de l’unité est zéro dans tout système, et en effet :

, *= « ; t ~ a s a ; mais ~ e=i ( donc a « i

Soit y = a ou x =f.y . Si a>l , x croissant depuis zéro jusqu'à • infini positif, le nombre y croîtra de l’unité à l’infini positif: si x décroît de zéro à — x, y décroît depuis l’unité jusqu’à zéro :

car soit x = — x1 x' > 0) on a y = a = a = "7 et x deve-

nant — x, x' devient -J- x de sorte que y se réduit à zéro. C’est dans ce sens que l’on dit que le logarithme de zéro est l’infini négatif.

La somme des logarithmes do deux nombres est égale au logarithme du produit de ces deux nombres. En effet, prenons

] > = « eti7=« , nous aurons, -

'r 'i 'r+'i ( ri

f Xî==«x«=fl , mais px? = « donc / 1

IXHUttlTIlMES.

Nous voyons de même que - =

a et parce que

St

il résulte que t?«=ip — j?,

Nous pouvons conclure que tp» = 2ip, tpj = 3tp, etc.

en effet (p2=/pxp = ip-{-iP=iip ■ fp3=i(pXpXpî=ip-ftp+tp=3.tp, etc.

De même t v'ï“=i<?; car /p^t(i/pxtXp)=i/K p et it/P = j tp

L'avantage des logarithmes vulgaires dont la base est 10 est que, connaissant le logarithme d'un nombre, on a celui d’un nombre 100, 1000, etc., fois plus grand en ajoutant 1, 2 unités, etc., «u logarithme donné, et que de môme, si l'on retranche 1, 2, etc., de ce logarithme, le résultat correspond h un nombre 10, 100, etc., fois plus petit.

39. Pour arriver à la construction des tables, on cherche d'a-

bord à développer y ou a en série et, pour cela, on remplace a par 1 -j- (a — 1), on a alors, en se servant du développement du binôme do Newton (livre 2, chapitre IV, §§ 65, 66, 67).

ar(x-t)

(o — 4)s -f-. elc.

On voit qu’on ordonnant par rapport aux puissances de x, le développement sera de la forme

(2) a = t 4- ,\x + Bfi 4- Cx» + I)x< -f ; etc.

II faut déterminer les coefficients A, B, C, D, etc. Pour cela, mettons x en facteur commun h tous les termes qpi suivent l’unité dans le second membre do (1) et nous aurons

Si nous faisons x — o dans les crochets, il y restera évidem-

LOGARITHMES. 31

ment les quantités qui doivent, dans le développement, former le coefficient de la première puissance de x

donc A = (o — t)-J(o— — t)«+,ctc. . . (3)

Pour trouver B, C. etc., remarquons que pour élever y = a h une puissance m, il faut multiplier l’exposant x par m, c'est- à-dire

que y = a .On pourrait donc, d’une part, remplacer dans la série x par mx, et de l’autre l’élever à la même puissance par les procédés ordinaires ; égaler les deux résultats, puis entre eux, les cocfficents des mêmes puissances de x (§ 70). Nous allons suivre cette marche, et comme le fait a lieu quel que soit m, prenons le cas le plus simple, celui où m = 2. Il viendra d’abord en remplaçant x par 2 x, dans (2),

puis

a — t 4- 2Ax -)- 4Bx* -|- 8Cx* -)- 46 Dx4 -(-, etc. o = t -f Ax -f Bx« -f O» + Dx« -f , etc.

multiplié par a = i -)- A* -f- Bx» -f Cx» -f Dx< +, etc.

-j-AB

-f AC

-f AB