D = 2AC-f BT + ÏD; UD = 2AC-f B2= — 4- y

et enün

substituant il vient

, etc.

ÿ a = 4 4-Ax+y*î-|-px> + ^x4-f, etc. . (4)

LOGAftlTHMKS.

Dans le cas particulier où l’on fait \x = 1 ou x = j, la formule se transforme en

•A = î + [+ ^3 + JXJ +. etc = 2.7<HÎ818, etc.

Cette expression est incommensurable, c'est-à-dire que plus grande que 2 et plus petite que 3, elle ne peut être représentée par aucune fraction composée d'un noipbre fini de chiffres. En désignant ce nombre par r, on a

y = n «= e , ou a = e .

L’exposant A est le logarithme de la base a d’un système, pris dans celui dont la base serait e. On le nomme lo module et souvent on le désigne par M.

Lorsque A = 1, alors a = e et la formule qui établit une relation entre un nombre et son logarithme devient la plus simple possible. Elle se réduit en elïet à

ÿ = « = » = t+ i+ -xi + - etc.

On a donc, pour celte raison, calculé d’abord dans la base e, une table de logarithmes connus sous les noms de naturel», hyperbolique» ou népérien», puis on a passé de ceux-ci aux logarithmes vulgaires, par un procédé fort simple qui repose sur ce qui suit :

Soit y — a : prenons les logarithmes des deux membres dans un autre système. En les indiquant par le symbole L, nous aurons

t.y = /yLn d’où ty =■ p?

Donc, pour passer du logarithme d’un nombre pris dans un système, à celui de ce même nombre dans un second système, il faut diviser le premier logarithme par celui de la base nouvelle.

Si nous faisons y = e, nous aurons l.e= j—*, mais si les logarithmes indiqués par L sont les naturels dont la base est e, alors Le = 1

et l.e = j— — . Nous pouvons écrire qu’en général

/.y = — - t= le I.y -- M. 1-y.

LOGARITHMES

Si donc on connaît le logarithme naturel ou hyperbolique d'un ^nombre y, il faut, pour avoir son logarilhmo vulgaire, diviser par lo logarithme naturel de la base 10, ou si on le connaît, multiplier par le logarithme vulgaire de e.

Cela posé, réunissons les équations *

a = t -f- A* -f- j AJ*J A* i» -f-, etc.

« = » , t = î, 7483818, etc.

et A-l.a-(«<)-l(<.-t)t + l(«-1)»-1ele. . . (3)

A est, comme nous venons de le voir, lo logarithme hyperbolique de la base a, et sa valeur dépend évidemment de celle de a. Supposons qu'il s'agisse de déterminer A au moyen de (3) : il y a deux cas à considérer; a — 1 peut être plus grand ou plus petit que l'unité.

Si a — 1 > 1, la série est divergente, puisque les termes vont en augmentant, avec les exposants de a — 1 : on ne pourra donc l’employer sans une modification préalable.

Si a — 1 < 1 , les termes sont fractionnaires et diminuent sans cesse. Dans ce cas, on dit que la série est convergente.

Considérons le premier cas, et remarquons que de a =e , on

déduit -= ». On peut donc, sans apporter de perturbation dans

la formule (3) y remplacer a par - et A par — A, ce qui la transforme en

—G-' )-•(;- -MH —

ou en changeant les signes

étant une fraction, la série est devenue convergente.

Cette dernière formule peut servira déterminer le module d'un système dont on se donne la base.

LOGARITHME!)’

Si dans (3) nous faisons

a — 1=i, d'où o = ( + i elle prend ccllo nouvelle forme

A = l.a =. I (1 + s) = i — i + 1 1* - i i» = etc. . . (5)

Si l'on y faisait ensuite a — 1= — z, ou a = t — z elle donnerait

/ (I — t) = — i — \ s* — 1 — i z* — elc (6)

et en retranchant la seconde de la première , on aurait

log-(1 + *) — 1(1— »)=/— -|=2(j + Js’+JïS + etc.

Dans le numérateur est plus grand que le dénominateur,

et on peut ainsi assimiler ce nombre fractionnaire à — — d’où

B + Rs = n+I~ ns — n< et * = 3 — T-/

Substituons celte valeur de z dans la dernière formule trouvée et nous aurons

tu ii.«-w[ï^+i(ny’o(î7rJ+"-]

. Celle série, clant convergente, peut servir h la détermination des logarithmes hyperboliques des nombres. En suite de quoi, il ne reste plus qu’à les multiplier par le module de la base du système pour lequel on veut construire une table de logarithmes.

L’équation (4) indique que le développement d’un nombre y est de la forme

V = t + A ly + J A* log‘y + etc.

et l’équation (3) sert à déterminer les coefficients A, A , elc., en fonction de la base a. S’il s'agit de calculer les tables ordinaires pour lesquelles a= 10, on fait d’abord dans (7) ti~ 1 , 1 = 1 , et l'on a

( 2 = 2(1+ 1 (5)’ + { i + t* ) = 0,693147, Ut.

LOUAlUTIÜtf ES.

Pour avoir celui do 3 , on pose » = 2 et t = 1

t.3=l.2 + 2[l+î(i)»+t(i)î+cte.)

/.3 = 2 [| + J + 1 [(!)» + (J)»] + $ [(1 ,i + (»)5 j + etc.]

*•»• = # + 1 Hh + tHMï + etc.

ou n=l, t= 2 , co qui donne

1.3 = 2 [i + 1 (1). + i (1)5 + etc .] = 1 + A+ & 4- etc. ot par l’une ou l’autre supposition, on arrive à 1.3 = 1,0986123, etc.

Pour le logarithme de 4, on multipli.o par 2 celui de 2. Celui de 5 s'obtient de la même manière que' celui do 3; puis celui de 10 en multipliant ce dernier par 2. On trouve ainsi ,

Connaissant le logarithme de 10, on a facilement

M = Le= -i =0,43429*4819, etc.

C’est alors que pour avoir le logarithme' d’un nombre quel" conque, de 16, par exemple, on divise son logarithme naturel , qui est 2,772589, par celui de 10 = 2,3025851 ou qu’on le multiplie par 0,43429, etc., et l’on trouve

log. (tabulaire) 46 = 1,2041200.

40. Nous ne pourrons indiquer ici que très-sommairement la marche que 1 on emploierait poup construire des tables de logarithmes des lignes trigonométriques.

Nous avons besoin de supposer connues les formules suivantes, démontrées aux §§ 73, 74 et 75, livre II.

iJX'

etc.

Remplaçons x par l’un de ses multiples, que nous pouvons représenter par n x, il viendra

fin. nx — nx —

ns x»

«5 *5 Ï3ÜS

etc.

»* x* , n*jr‘

eos. n* = t - (- eic

LOGARITHMES

Dans celle dernière, faisons cos. nx= i — z, nous aurons, en nous servant de la formule (5) du paragraphe précédent

log. COS. BX =» — M (* + } ** + !** + etc.)

M est, comme nous l'avons vu, le nombre par lequel il faut multiplier un logarithme naturel pour le convertir en logarithme vulgairo.

Prenons la valeur de

1 1 — cos.nx s

et substituons la dans celle de log. cos. nx, qui devient ainsi

i pBJ *1 b<x* B^x®

log. co, — » -03+0X0 +

+ i l”r“,5Â* + ete*)+l(-8 — ete)J

ou en réduisant

x 4 afi

log. cos. nx = — M — — M — b* — b® — etc.

On sait que sécante x cosinus = 1. et qu'ainsi ' log. séc. ■= log. I — log. cos. =0 — log. cos.

Si donc on change tous les signes dans l'expression du logarithme du cosinus, on aura

log. séc. »x = M Y flï + M fl "4 + M jfjg "* + etc-

S'il s'agissait de mettre ces formules en pratique, de trouver, par exemple, les logarithmes des cosinus, on remarquerait qu’en supposant x= 1", sa valeur comparée à celle du rayon pris pour imité, est la très-petite fraction 0,00000157, et qu'ainsi, les puissances 2*, 6“, etc., des multiples nx décroissant avec une ra-

pidité extrême, on aura une valeur très-rapprochée do log. cos. en s'en tenant aux premiers termes de la série. Il y aura néanmoins une limite passé laquello il faudra négliger d'autant moins de termes que n augmentera davantage. Daus ce cas, il y a des modifications à introduire, qui sont trop longues et d'un ordre trop élevé pour trouver place ici.

LOGARITHMES

Dans la valeur de log. cos. nx , on cherche les termes séparément et par logarithmes : puis, pour abréger, on calcule les facteurs constants — —, etc , aux logarithmes desquels on 2 3.4 3*. 5

ajoute le double, le triple, etc., du logarithme de n.

On trouverait, par une marche analogue, le développement du log. du sinus, et par suite celui de cosécanto : puis en retranchant le log. cosinus de log. sinus, on aurait log. tangente. Enfin,

puisque taog. = — ! — , le développement de log. cot. sera égal cotiog.

au signe près h celui de tangente.

On ne calcule les logarithmes de ces lignes que jusqu’à 50-, parce que celles des arcs compris entre 50* et 100' sont liées aux premières par la relation des arcs complémentaires.