COS.O

cos.c

cos. (A — y) cos. y

Pour déterminer y, nous avons, en vertu de la formule 4 cotang.e = coUng y cos.A ou long y lang.c cosin.A

c et A faisant partie des données du problème, y se trouve déterminé par sa tangente, et peut être introduit dans l'autre équation, qui donne ainsi a en fonction de b, c et A.

TRIGONOMÉTRIE SrHÊRtqiE. 59

L’ensemble de ces deux équations fournira de mémo b en fonction de a,c, A-, puisque la seconde donnant toujours y, la première peut s’écrire sous la forme •

C09.(fc — y)

cos. a cos. y cos.c

Enfin, on pourra encore les employer pour obtenir c, en permutant b et c : ce qui revient à supposer que la perpendiculaire a été abaissée du sommet C au lieu de B.

66. Vient ensuite la combinaison de a, b, A et C qui donne aussi naissance à quatro problèmes différents

A en fonction de a,6,C 6. <?,A,C

La formule 6 des triangles rectangles donne dans BDA (fig. 15)

cotang.A = cotang.at sin.y etdansBDC, cotaug.C = cotang.x sin. (h— y)

La valeur de cotang.a: tirée de cette dernière et introduite dans la précédente la ramène à

„ sin.y

cotang.A = cotaog.C — — :

sin.(6— y)

Nous avons d'ailleurs dans BDC, en vertu de l’équation 4

cotang.o = cos.C cotang. (6 — y).

De celle-ci on tire b — y et conséquemment y, on a donc ainsi A.

Ces deux équations servent également à trouver A, connaissant a,A,C , car do la seconde on tire b — y en fonction de quantités connues : on substitue cette valeur dans la première et l'on trouve b, puisque l'on a y et b — y.

Pour les troisième et quatrième combinaisons, abaissons de l'angle C la perpendiculaire CD7 ou x' sur le côté c, et désignons par y1 l’angle BCD'. Nous aurons, en vertu de 4, dans BCD',

cotang.o ~ cotang.x* cos. y' et dans ACD' rotang. 6 =» cotang. x* cos. (c -f y1)

j, , ; , eosy'

d OU cotang.o = colang. fc — -

cos.(C-j-y’)

Le triangle ACD' fournit encore en vertu de 3, cos.6 = cotang.A cotang. (C -f- y1)

Si c’est a que l’on cherche, on tire de cette formule C ■+■ y' et

€0 ÏBKiONOMÉTHIK srUÉBIÿUB.

puisque C est une des données du problème, on connaît y1, puis on substitue y' et C -j- y' dans la première formule. ‘Si enfin C est l'inconnue, la seconde donne C 4-y'«lU0 l'on introduit dans la première. Celle-ci résolue par rapport à y' permet d'en retrancher la valeur de C-f-y' et donne C.

67. Il ne nous reste enfin, pour avoir passé tout en revue, qu à nous occuper des quatre combinaisons d’un côté a et des trois angles A, B, C. Nous allons, pour cela, reprendre les formules qui lient entre eux trois côtés et un angle, et les transformer au moyen de la pyramide supplémentaire. Ces formules qui lui 6ont applicables, aussi bien qu’à la pyramide directe, sont dans ce cas =

, cos. (A1 — ») . ,

cos.o' =cos.c' — ■ , col.c' tang.y=cos..v)

cos. y

, %/ sin-H a'4-A' — c'isin \[n' + c' — Af)

** ' sin.Ka’+A’-f-cqsin KA'-f-e* — »')

Nous savons que

A' = iOO — a ; o* = 200 — A ; A' = Î00 — B ; c' = 200 — C,

il s’ensuit que

long.} A'-= tang. 1(400 — o) = tang. (100— *= c,,tau8 1 0

sin.J [a' -f-A* — c*) = sin.J [Î00 — (A -pB — C)] = sin. ^tOO — — — j— — j =*■ cosin.J (A-fB-C)

de même sid.} — A'^cosKA-f-C — B)

sin.i(A'-)-c' — a')=cos.J(B-|-C — A)

et sm.l;o' + A»+e')=sin. ^300- A ) = -f cos. { (A-h D + C)

Ici nous devons faire une observation relative au signe + que nous plaçons devant cos. \ (A -f B -f Cj. Les sinus des angles qui dépassent 200" sont négatifs ; mais A-t-B+C> 200 d’où il résulte que 300 — î (A + B + C) < 200* et qu’ainsi le sinus doit être positif.

Effectuons actuellement les substitutions, et il viendra

rotang | a

■ / CO...} (A -f- B — C)cos l(A-f C — B) * côs7jlA + B-l-C)cos KB + C-A)

Quant aux deux autres formules , elles deviennent

cos. (200 — B — y)

et

cos. (200 - A) = eos. (200 — C)

cos.y

col. (200 — C) = col. y cos. (200 — o)

,, , . cos. (B 4- y)

d ou — cos.A = cos. Ç - cl col. C = col.y cos.a

cos.y

68. Il existe encore quatre formules remarquables par leur élégance et leur symétrie, qui sont aussi employées dans certaines circonstances que nous allons énoncer. Ce sont les analogies de Neper. Elles servent : 1° dans les cas où connaissant deux côtés a b et l'angle compris C, on veut déterminer A et B ; 2° lorsque l’on connait A,B.c et que l’on cherche a et 6.

Dans le premier cas, pour trouver les trois éléments inconnus du triangle, on chercherait d’abord A au moyen de deux formules de la première combinaison de la troisième série : puis, au moyen de A, a, b, on trouverait B -, et enfin c en fonction de C,A,a par la proportion des quatre sinus. Les formules dont nous allons nous occuper déterminent à la fois A et B par leur demi-somme et leur demi-différence. Reprenons

(2) cos.a = cos.S X cos.c-f- sin. A X sin.c X cos.A

et ses homologues

cos.A=cos.a Xcos.c-f-sin,a Xsin eXcos.B cos c— cos.a x cos.A-f-sin.n X sin.A X coo.C

On trouve successivement, en substituant dans la première la valeur de cos. c fournie par la troisième et effectuant les réductions

cos.a = cos.a X cos.A -f sin a X cos.A X sin.A cos.C -f- sin. A sin.c cos.A cos.a (1 — cos. A)= cos.a sio.*6 =sin.a cos.A sin.A cos. C + sin.A sin.c cos.A

(a). . . . cos.A sin e = cos.asin.A — sin. a cos.A cos.C

En combinant la seconde cl la troisième, on trouve de même (3). . . . cos. B sin.c = cos.A sin. a — cos.A sin. a cos.C

et en ajoutant

(*) ^ (fi) sin.c (eos A -f- cos. B) =» cos.a sin.A-f- sin.a cos A — cos.C (cos.a sin. A -f- cos.Asin.a)

co qui revient h

(Y). ■ • - sin.c (cos.A +cos.B!=(t — cos.C)sin. (a + 4)

sin.c sin. A = sin.a sin.C. et sin.c sin.B — sin. 4 siu.C on lire en les ajoutant et les retranchant

sin.e(sin.A+sin.B)=sin.C(sin.a+sin.4).

sin.e(sin.A— sin.B) = sin.C(sin.a — sin.c) .

Divisons (<f) par (Y), puis («) par (Y), et nous aurons

sin.A + sin.B sin.C (sin.a + sin.4) cos. A -f cos. B (1— cos.C)(sin.(a+4)

sin.A — sin.B sin.C (sin a — sin.4)

cos.A+cos.B (| — cos.C) sio. (a -|- 4)

Les formules (16) et (18) do la trigonométrie rectiligne transforment les premiers membres de ces deux équations en tang.;(A-t-B) et tang.£(A — B). D'autre part, nous pouvons, pour simplifier les seconds membres, remarquer que

sin.C = 2 sin.) C cos.J C cl t — cos.C = 2 sin.*) C,

ce qui donne, en remplaçant en mémo temps, les somme «ou différence de sinus de a et b qui entrent aux numérateurs

t.nC ip-| P)“5ln ICcos.j Cx 2 sin.) (a + 4) cos.j‘(q — 4)

2 sin.^C X sio. (a -f- 4)

tang K» pj j C co» )C X 2 sin.) (a - 4) cos.j (a + 4)

2 sin*) C X sin. (a -f 4)

Mais sin. [a+b) peut aussi être remplacé par

2 sin.) (a+4) cos J (a + 4)

donc, en faisant cette substitution et toutes les réductions

cos.) (a — 4)

long.) (A+B) =cot.) C long.) (A — B) cot ) C

cos.) (a + 4)

sin.) (a — 6) sin.) (a + 4)

L emploi de la pyramide supplémentaire donne les deux autres formules analogues

tang.J(A+B)=laDg.; [400- (a»+60]=ling.[200-} (a'+4')] — - lang^a'-f 4') colaug.» C = col.} (200 — e') = col. (400 - }c') = tang.J c' cos.J (o — 4) = eos.J (B' — A') = cos.} [—(A' — B')] = cos.} (A' — B') * cos.} (o + 4) = eos. [200 - } (A'-j-B')] <= - cos.} (A'+ B')

Substituant dans la formule tang.i(A-4-B) = etc., et supprimant les accents

(ang.}(a -(- 6) tang } e fos-è(A B)

On trouverait de même

cos.J (.A — (- B)

lang.} (o — 4)= ung.}e^|-^- ^ sin.}(A + B)

Telles sont les quatre formules connues sous le nom d’analogies de Neper.

69. TABLEAU DES FORMULES PROPRES A LA RÉSOLUTION UES TRIANGLES SPHÉRIQUES.

A. B. a. b a. fc c A AB.C.a A. B. a c

Formula générales.

(<) s in. A sin.4 = sin.B sin.o.

C09-a “* C05 * X cosx -(- sin.4 X sm.eX cos. A.

(3). . - cos.A=cos.BX cos.C- sin.B X sin.C Xcos.a.

(*) cot.a sin.c = cos.e X cos.B -f- sin.B XcoLA.

Formules relatives aux triangles rectangles.

• sio.d X siii.B=sin.4 3 cos.a=cos.4X cos.e 3 eos.o=col.BXcot.C

f cot.a = cos.B X cot.c s cos.B = sin.C X cos. 4 £ cot.4 x sin.c = col. B