COS. *1 A

. SHl.fr sin.c

Cette formulo résout le problème. On trouve de même en retranchant de l’unité les deux membres de (7)

1 — cos.A = î sin.» J A

cos. (A — c) — cos.a sin.A sin c

î sin.$ (a + A — c) sin. J (»-f c-l) sin.A x sin c

En divisant sin.*i A par cos.‘ ’ A et extrayant la racine carrée, on trouve

tSDg. j A

\/ Sln-Ka

’ sin.J(o

-f -4 — e)sin.f(a-f c — 4)

-|-4-J-c)sin l(4-|-e— u)

Il semblerait qu'il y a surabondance dans la recherche de trois formules qui amènent à un même résultat, la détermination de A, si l’on ne remarquait qu'il faut passer par les deux premières pour arriver h la troisième, et que celle-ci est préférable aux autres, parce qu’elle convient, quelle que soit l'amplitude de l'angle. Si l'on se reporte à la marche quo suivent les sinus et cosinus des arcs, on observe que ces derniers' étant très petits, les sinus varient rapidement, tandis que les cosinus successifs sont sensiblement les mêmes : c'est le contraire pour les arcs voisins de 100*. Dans le premier cas, on ne saurait employer les cosinus dont la différence n'est sensible à la septième décimale du logarithme que pour une variation assez notable de l’arc. Dans le second cas, c'est l'emploi du sinus qu’il faut rejeter, tandis que les tangentes croissant de plus en plus rapidement de 0 à 100* conviennent toujours.

On pourrait encore alléguer, comme motif de la préférence accordée h la formule qui détermine ùn angle par sa tangente, que les logarithmes des quatre sinus qui entrent sous le radical serviront également, si l'on veut, h trouver chacun des trois angles du triangle, en permutant ensemble trois d’entre eux, c’est-à-dire en les faisant passer alternativement au numérateur et au dénominateur.

64. Malgré la préférence que nous accordons à la formule qui détermine un angle par sa tangente, il nous parait convenable, pour compléter le sujet qui nous occupe en ce moment, d’indiquer la formule qui donnerait l'angle A lui-même par son sinus,

Pour y arriver, nous trouvons successivement

— ». , — ». . /cos. « — cos. 6 X cos c\*

SU). A «= 1 — cos A = I — ; =

V sin.4 X sio.e )

coin — cos .b y cos c\ / ^ cos.a — cos. 4 X c.n».c\

* sm. 4 Xliu.c J \ $i».4Xsin.c J

Jio.A

TRIGONOMÉTRIE SMIÊRIQIE.

(sin.Axsin.c-j-cos.Ax cos f — cos. a) (sin.AXsin.c— cos.Axcos f+c0so sin t X sin*c

[cos. (A — e) — cos. a) (cos a — cos.(A-f-c)]

Bin.Axsin.c

4 sin. ) (o -f A — c) sin J (a -f- c — A) sin. i (A + e - a) sin. $ (o+ A 4-c}

sin. b X sm.c

et enfin

sin. A

sin. A X sin.e

\Zs;n.) (a q- A — c) sin.) (o-f-c — A) sin. J (A -f- e — a) sin .J (a -|- A -f-e)

Celte formule aurait pu également se trouver en fonction des valeurs de sin. JA et cosin. J A , et d’après ce que l’on sait que

sin. A = î sin.J A cosin.) A

Si l'on divisait de part et d’autre par sin. a, le second membre devenant symétrique par rapport à a,b,c , il en résulterait que le rapport entre les sinus d'un angle et du côté opposé étant constant,

sin. A sin. B sin.C . ... , ,, ...

on aurait —; = ^ ce qui a été précédemment dé-

montré.

65. Passons à la détermination de a en fonction de b, cet A, et pour cela, imaginons par le sommet B [fig. 15) un arc BD perpendiculaire au côté b : désignons-le par x et par y la partie AD de b. Le triangle proposé se trouve ainsi partagé en deux autres rectangles qui vont nous permettre l'emploi des formules qui leur sont relatives. La formule 2 nous donne ici

cos n= cos * cos. (A — y) et cos.e = cos.ar X cos.y

tirant la valeur de cos. x de la seconde pour la substituer dans la première, celle-ci se change en