Trouver l’intersection d’une droite et d’une surface

On fait passer par cette droite, et d’une manière arbitraire, un plan dont on détermine la ligne d’intersection avec la surface, comme il vient d'être dit au paragraphe précédent. Le point où cette ligne rencontre la droite donnée est évidemment celui qu’on voulait trouver.

241. Par un point, mener un plan perpendiculaire à une droite.

La trace de ce plan doit être perpendiculaire, et par conséquent

l'échelle de pente parallèle à la projection de la droite. Quant à la division de cette échelle, elle est, comme nous avons déjà eu occasion de le dire, complémentaire de celle de la droite. Pour mieux faire comprendre ceci, employons encore une fois un rabattement, totalement étranger d’ailleurs à la méthode des plans cotés :

lOl'OUKAI'HIE.

AB (/Jff. 24, })lanche XX) est la projection d’une droite; B est celle d'un point. En rabattement, cettedroile est représentée par

ab, dont la tangente d’inclinaison est ” ou le rapport de aa' à a'b. L'inclinaison du plan sera ba"b' dont la tangente sera exprimée par c’est-à-dire par Les longueurs des bases sont d’ailleurs, pour une même hauteur, en raison inverse des pentes; donc représentant la distance horizontale sur l’échelle de pente de la droite correspondant à l’unité en hauteur, ce sera ^ qui exprimera cette même quantité sur celle du plan.

Si on aura et les divisions des échelles de la

droite et du plan seront dans le rapport de j à ^ ou de 9 à A.

242. Faire passer par une droite donnée un plan perpendiculaire fi un autre plan aussi donné.

11 faut abaisser, d’un des points de la droite, une perpendiculaire sur le plan, ainsi qu'il a été dit au § 238.

On sait donc trouver sa projection, son échelle de pente et sa longueur. Si l’inclinaison du plan est représentée par J, j, J, etc., celle de la perpendiculaire sera 4, 5, j, et les divisions des deux échelles seront entre elles ; : 4 : j, : : 5 ; i, : : j : 7, etc., ou en réduisant : : 16 ; 1, ; : 25 : 1, : ; 16 : 9, etc.

Nous réunissons sur la fig. 25, planche XX, toutes les opérations que nous venons d’indiquer.

AB, projection de la droite.

MN, échelle de pente du plan.

Cl), projection de la normale à ce plan, abaissée de C. Elle est, comme nous le savons, perpendiculaire à la trace du plan, et l>ar suite parallèle à son échelle de pente.

Par C et D, points de la normale, dont on sait déterminer la différence de hauteur, on mène dans une direction arbitraire deux droites parallèles, CE, DF, représentant les horizontales d’un plan de construction. Par les points de l’échelle du plan donné, ayant les mêmes cotes p et a que C ctD, on trace les horizontales de ce pian. Les points de rencontre avec les deux premières sont E, F, qui appartiennent à l’intersection des deux plans et la déterminent. Cette droite EF et la normale CD étant l’une et l’autre dans le plan auxiliaire, se rencontrent réellement

dans l’espace au point projeté en G, et ce point est le pied de la normale.

On a ainsi deux droites AB et CD qui sont situées dans le plan cherché. Pour terminer l’opération, il sufBt de considérer les trois points de l'ensemble de ces droites, C point commun, B et G.

On cherche sur AB le point H, qui a même cote f que G. Eu les unissant, on obtient l’une des horizontales du plan demandé. Par B et C, on trace deux nouvelles horizontales. Elles rencontrent en K et L la perpendiculaire élevée à GH ou une ligne qui lui soit parallèle, et qui peut être prise pour l’échelle du nouveau plan. K et L ayant -mêmes cotes que C et B, il en résulte que la division de l’échelle de pente est facile à construire, et qu’ainsi le problème est résolu.

213. Par un point dofintf /aire passer un plan tangent d un cylindre.

Le point peut être pris sur la surface du cylindre, comme A (/ig. 26, planche XX) ou comme A'.

Le cylindre est déQni par sa trace à laquelle nous pouvons attribuer la cote zéro, et par la projection cotée en un point au moins de l’une des génératrices Bl).

Dans le premier cas, on mène la génératrice qui passe par A jusqu'à sa trace T, sur celle du cylindre. Cette ligne AT est celle de contact du plan tangent. Son échelle de pente est la même que celle de BU. La droite BD étant horizontale, il faudra, pour graduer l’échelle de AT, faire passer par tous les points de division de celle de BD, des parallèles jusqu’à la rencontre de AT. Si la cote de A est inconnue, elle se trouve déterminée par cette opération; Sicile était donnée d’avance, il en résulterait une vérification.

Quant à l’échelle de pente du plan tangent perpendiculaire à sa trace, qui n’est autre chose que la tangente MN à la base du cylindre, elle suivra la direction du rayon CT, et scs divisions s’obtiendront en menant par celles de AT les parallèles à MN.

Si le point A' donné est extérieur, on trace une droite A'T' parallèle à DB et l’on trouve le point T' où elle perce le plan de la base , en unissant A' au point D' qui a même cote que lui et en menant, par B, une parallèle BT' à A'D^

La ligne A'T' est la projection de l’intersection des deux plans tangents que l’on peut faire passer par A'. Les lignes ï't et T't' sont les traces de ces deux plans.

ruPOGHAPUIK.

2i4. Mener un plan tangenlà uneiiUndre, parallèlement à une droite donnée.

Par un point A de cette droite on mène une parallèle aux génératrices du cylindre. Au moyen de l’échelle de pente de la droite, on trouve le point B où elle perce le plan de la base. On trouve également la trace G de la parallèle aux génératrices que l’on a fait passer par A.

La jonction de ces deux points B et C détermine la trace d’un plan parallèle au plan cherché. On aura donc celle de ce plan en menant une tangente à la base du cylindre, parallèlement à BC.

245. Par un point donné sur une surface, faire passer un plan langent à cette surface.

La surface est décrite par ses sections horizontales. Le plan langent devra contenir la tangente à la section produite par le plan horizontal qui contient le point donné. Il contiendra aussi l’élément de la génératrice qui aboutit au point de tangence. Cet élément est normal à la courbe et à la tangente qui, dans un espace très-restreint, se confond avec elle. Sa projection est également perpendiculaire à la tangente. Celle-ci est donc la direction des horizontales du plan cherché, dont l’échelle de ponte a, par conséquent, la même direction que la projection de la normale. Quant aux divisions de l’échelle, elles dépendent du rajiport qui existe entre l’équidistance et la longueur de la projection de la normale.

246. Trouver l’intersection d’une surface quelconque par un 2)lan connu de position.

Il suffit de tracer toutes les horizontales du plan qui correspondent par leurs cotes aux sections de la surface. Leurs points de rencontre, réunis par une ligne, donnent l’intersection cherchée.