Trouver le point où une droite perce un plan

On imagine, comme ei-dessus, un plan auxiliaire, mais avec la condition qu’il passe par la droite. On cherche son intersection avec le plan donné : cette ligne et la droite donnée se trouvant dans un même plan, le plan de construction, se rencontrent au point cherché.

Parles points cotés 8 et 14 de la droite {fig. 20, planche XX), on mène, suivant une direction facultative, deux parallèles jusqu’aux horizontales 8 et 14 du plan connu. Leurs rencontres en B etc fournissent l’intersection des deux plans, et enfin le point A, où se croisent BC et la droite proposée, est celui où cette dernière perce le plan donné.

235. Nous avons annoncé, au § 225, qu'un peu plus loin, nous indiquerions un autre procédé pour trouver la rencontre de deux droites, situées dans un même plan vertical. Ce procédé est celui qui déjà vient de nous servir dans les questions précédentes.

Soient AB, CD {fig. 21, planche XX), les projections se confondant en direction des droites proposées.

Par les points cotés 11 et 15, par exemple, de l’une, on fait passer deux droites que l’on considère comme horizontales d’un plan de construction : par les mêmes cotesde la deuxième droite,

on m(^ne aussi les horizontales d’un second plan. Celles-ci coupent les premières en EF, el la ligne EF est évidemment l’intersection des plans. Son point de rencontre H avec la projection commune aux droites données est celui où ces dernières se coupent. H est indipensable, si les échelles de pente sont tracées sur la ligure, que la cote do H concordcavec ces deux échelles. Elles n’ont d'ailleurs été indiquées que comme moyen de vérification i et en effet, elles dispensent, ainsique nous l'avons dit plus haut, de toute construction subsidiaire.

236. Par un point connu faire passer un plan parallèle à un plan donné.

Il faut joindre le pointà celui qui a même cote sur l’échelle de pente du plan donné : tracer celle du plan cherché parallèlement et déterminer les divisions de cette dernière par une suite de droites parallèles partant des cotes de la première.

237. Par deuJB droites données, conduire deux plans parallèles entre eux.

AB, CD (fig. 22) représentent les droites ou, pour mieux dire, les portions de ces droites comprises entre les mêmes cotes.

Par B on mène BE parallèlement à CD ; par D, la ligne DF parallèle à AB. La distance entre les cotes 1 6 et 12 deBE sera égale à DG, et pour DF elle égalera AB.

Donc, AE sera l’horizontale d’un plan passant par les trois points A,B,E ; de même CF sera l’horizontale 12 du plan CDF.

Ces plans, passant chacun par l’une des droites données, seront parallèles entre eux. De pins, leurs échelles s’obtiendront en élevant des perpendiculaires aux horizontales AE, FC. Pour l’une, la cote 12 sera en G, et pour l’autre en K. Enfin, les divisions qui doivent avoir même longueur pour toutes deux seront connues en menant l’horizontale d’un second point, qui sur la figure est D. Elle aboutit en H dont la cote est 16, celle de H; puis, enfin, l'on divise GH en autant do parties qu’il y a d’unités entre les cotes de G et de H.

.Si les droites données se coupent, les deux plans se réduisent à un seul.

Si elles sont parallèles, le problème est indéterminé.

238. Abaisser d'un point donné une perpendiculaire sur un plan.

La projection de la ligne cherchée sera parallèle à l’échelle de

pente du plan, et son inclinaison sera complémentaire de l’inclinaison du plan. Si la tangente de celle-ci est exprimée par celle de la droite le sera par

Pour trouver le point de rencontre de la normale et du plan, il faut employer la méthode indiquée ^ 234. Pour connaître la longueur de la normale, il est nécessaire de trouver la cote de son pied sur le plan ; mener par ce point, et dans le plan, une horizontale jusqu’à son échelle de pente, et enfin, se rappeler que la longueur d’une droite dans l’espace est fonction de sa projection et de ladilTérence des cotes extrêmes.

La fig. 23, planche XX, est destinée à faire voir que, quelle que soit la position adoptée pour le plan qu’on imagine par la perpendiculaire abaissée du point donné C sur le plan dont l’échelle de pente est MN, toujours on trouve, comme cela doit être, la même position A pour le pied de la perpendiculaire.

C’est ainsi que BP et BP' étant les horizontales de B dans deux plans différents qui, tous deux, passent par la normale BC, les horizontales du plan donné se coupent avec celles des plans de construction suivant deux droites PQet P'û' qui croisent la normale au même point A.

239. Trouver l'inlei-tection d'un plan donné avec une turfaee connue par ses courbes horizontales.^

On trace sur le plan les horizontales qui ont mêmes cotes que les sections de la surface, et les points de rencontre déterminent l'iutersection demandée.