AN “ A

donc

L — L'== K (t -f r*cos.H) ii-b

On a fait pour abréger

Auq.I”

(4 — g» »ig.*L) SA< 810.4»

(4 -J-g» cos.*L) laDg L = Q.

La formule s’écrit alors

L'— L— P.K cos.i — Q.K‘sin.«i.

On'a calculé et mis en table les différentes valeurs de P et Q en fonction de L.

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LONGITUDES BT AZIMUTS.

Cotte formule est celle qui a été employée pour les opérations les plus délicates relatives à l’exécution de la carte de France. Il résulte oepeodant d’une note insérée par M. Hossard , dans le troisième volume de la Description géométrique de la France, qu’elle est iusulUsante lorsque les côtés employés deviennent trèa-grands. Ainsi, en partant d’un point connu , si l’on calcule la latitude d’un second point situé au sud, à lOOOOO” sur le méridien, et si l’on fait ensuite l’opération inverse, en partant du second point, on retrouve la latitude du premier avec une erreur en plus d’environ 1“,B, ce qui correspond à 15”. Un calcul semblable effectué sur un côté de 40000” donne lieu à un déplacement d’environ 2”, 5. Cette erreur doit être corrigée lorsqu’il s’agit de côtés très-grands et d’opérations importantes. Elle provient de deux causes: 1° en posant l’équation (2) qui conduirait à la connaissance delà seconde latitude, si la terre était sphérique, nous nous sommes bornés à prendre, dans les développements en séries, les deux premières puissances de l’angle sousotendu par le côté géodésique sur un cercle dont le centre serait au pied de la grande normale du point connu ; lorsque cet angle devient grand, relativement, il faut introduire dans les développements sa troisième puissance ainsi que celle de x qui, dans les cas d’azimuts rapprochés de o ou de 20(n, est de môme ordre de grandeur que <t>. La résolution de la formule, qui résulterait de cette introduction, se ferait par la môme méthode et sans plus de difficulté que celle de l’équation (2); 2° en établissant l’équation (3), nous avons remplacé BN par la normale AN, et en simplifiant cette équation, nous avons a.ssimilé L è 1/ dans les dénominateurs : nous avons donc, pour ces deux causes, commis une erreur d’autant plus grande que les points considérés sont près du même méridien. Nous avons indiqué le moyen de corriger la première cause d’erreur, disons ce qu’il y aurait à foire pour obvier à la seconde. Supposons le deuxième sommet B projeté en B’ sur le premier méridien par un arc de parallèle. L’arc AB' sous-tendra sur la terre ellipsoïdale la différence des latitudes L et L' et, sur la terre sphérique, il sous-tendrail la différence des latitudes L et a. Dans le premier cas, il appartiendrait au cercle osculateur au méridien sous la latitude L, ou plus exactement

sous la latitude Soit p le rayon de ce cercle ; dans le second, cet arc appartiendrait A la sphère ac confondant le niiêux avec la terre, c’est-à-dire, celle dont le rayon serait celui du cer-

GëODëSIE.

de osculateur à la section faite dans le sens du parallèle, rayon qui est égal à la grande normale N. On sera donc en droit d’écrire p. (L — L') = N (L — équation qu’on devrait substituer à l’équation (3).

Le troisième volume de ]& Description géométrique de la France (Mémorial du dépèt de la guerre) contient les détails du calcul résultant des rectifications que nous venons d’indiquer. La formule définitive qui en résulte est

.. . ( Keos.s K» sin.'s.tang.L . K» cos.z

(- NlmT: - îN.silv" + 6N. ;in:f> j X

X (1 +e* cos.*L + e< cos.'LH — — cos.:. sin.L. cos.L)

formule qui rentre dans celle que nous avons donnée, lorsqu’on néglige les troisièmes puissances de et de l’excentricité. Des tables insérées dans le volume précité et calculées par M. Hossard permettent de corriger les latitudes obtenues par les formules usitées, au moyen des termes supplémentaires de la formule transcrite ci-dessus.

457. Longitude. Soit ABC (fig. 327) le triangle sphérique obtenu, en décrivant une sphère de N, extrémité de la normale du point qui, sur la terre, correspond à B, et d’un rayon égal à l’unité. La différence en longitude des points correspondants à A et B est mesurée par l’angle C. Le triangle ABC donne

, „ «in. A . * wii.C = SIH.C

sin.a

e est ce que nous avons désigné par <p. Celte quantité étant très-petite ainsi que C, nous pouvons les substituer à leurs sinus, et écrire

A est le supplément de l’azimut Z et a= 100 — a, d’où siu.A rrsin.Zel sin.n =: cos.a.

Si nous désignons par M et M' les longitudes, nous aurons

C étant égal à M' — M par suite de l’usage de compter les Ion- ■ gitudes positives à l’ouest.