LONGITUDES ET AZIMUTS. 50S

Ici, on remplace cos. a par cos.L', cl voici comment on juslific celle opération.

Nous avons trouvé que

X = L' + e’ coâ.’L (L — L')

- L — L' est, comme nous savons, très-petit ; l’est également ; enfin, un cosinus étant moindre que l’unité, son carré est plus petit encore , et le produit de ces trois facteurs donne pour la différence de a à L' une fraction peu appréciable. Ce sont d’ailleurs les cosinus que nous substituons l’un à l’autre, et l’on sait qu’ils diffèrent entre eux moins que les angles eux-mèmes.

Nous écrirons donc, en remplaçant <p par sa valeur, et en réduisant en secondes,

•i, >. (1 —e* sin «!,')> . ....

M' — M => K ;; — : — — — sccaiiU L' *10.;.

A sin.t"

Ajoutons, pour justifier davantage l’artifice de calcul que nous avons employé, que cela a lieu au dénominateur de la très-petite fraction qui représente M' — M. Connaissant donc la longitude d’un point, on trouvera celle d’un autre point, au moyen de la formule ci-dessus, et ainsi de suite, de proche en proche. On a

calculé et mis en table fiue l’on représente par 11. .

La formule s’écrit ainsi qu’il suit :

M'= M + KKsoc.L'siu.c.

l'our les grands côtés géodésiques, celle formule est alfecléc d’une erreur de sphéricité analogue à celle relative aux latitudes ; elle provient de ce que pour obtenir l'équation (4) , nous avons développé en séries les sinus des petits angles C et en négligeant les troisièmes puissances de ces angles. Leur rétablissement et la résolution de l’équation qui en résulte, par la méthode indiquée pour l’équation (2), conduit à la formule

K I ( sin.»; sin.: \

™ .N' sin. I" cos.L' ' 0 N'* .siu.t'' \ros.sL' cos I.'/ ’

le terme de la correction , applicable seulement aux très-grands côtés géodésiques, c’est-à-dire aux très-grandes valeurs de , a

d’autant plus d’influence que l’azimut est proche de lOOt, et que les observations se font à des latitudes élevées.

Il n’y a pas pour les longitudes d’erreur provenant do l’ellip-

ticilé , les méridiens circulaires formant les mêmes angles que les méridiens elliptiques.

458. Azimut. Il s'agit actuellement de passer de l’aEimut Z du cAté AB, observé en A, à son azimut Z' compté sur le méridien de B (^sf. 327j. On se sert pour cela de l’analogie de Neper

ung.l (A + B) = eo„ng.lC^i|^

En raison de la petitesse du côté c, le supplément de B ne diffère de A que d'une très-petite quantité que nous désignerons par y : nous pourrons donc poser

B-îOO-(A-fÿ), i(A-i-B) = <0O-iy, lang-HA-f B)=-coUDg.* y, d'où il résulte

Les angles J ?y et i c étant très-petits, leurs cotangentes sont très-grandes; mais leurs tangentes, dans ce cas, se confondant pour ainsi dire avec les angles, on peut renverserla formule cidessos, et elle devient alors

laiig-lÿ

lang } C

CO*»., («-<-*/ cos 1 (a — 4)

^ cos 1 (o-t-61 ros 1 (nT— ïy

Substituons actuellement à a, b et C, leurs notations géodésiques, pour mettre en évidence les données du problème.

a IOO — L — J (L-f-L'J, cos.J (o-)- 6)*»sin.| (L+ L')

Ja— 4) “ 10'— L'), cos.} (a — 6)t=cos.l (L— L')

Nous aurons donc

Nous avons posé

ÿ — 200 — ( A -f B) = ÎOO - (100 - z) — (i> - 200) *=. 200 -f z - z-.

Substituant celte valeur dei/, multipliant par 2, et remarquant que l’on peut négliger le dénominateur cos. \ (L — L') sensiblement égal à l’unité, nous aurons en définitive :'=20n-|-: — (M' - M) .*»in.} (L-)- L').

Cette formule dans laquelle on conserve quelquefois le dénominateur cos. î (L — L') est suffisamment exacte pour les opérations

LONGITUDES ET AEIMDTS.

les plus délicates de la géodésie. Comme elle a été établie dans l’bypotbèse de la terre sphérique, sa forme ellipsoïdale devrait bien à la rigueur donner lieu à une correclion, mais elle est insignifiante. L'aïimul \ rai serait celui formé par le côté K avec la tangente à l’ellipse méridienne passant par le point B, tandis que l’azimut obtenu est l’angle formé par ce même côté avec la tangente à l’arc de cercle appartenant à la sphère de lu figure 3î7. Ces angles seront égaux, si nous supposons que le rayon de cette sphère soit celui de la grande normale au point B; l’arc BC inosarera toujours le complément de la latitude L', mais il n’en sera plus rigoureusement de méinede l’arc ACqui différera de 100 — L; cette difTérence sera du genre de celle que nous avons désignée par A — L' dans le calcul do la latitude, et que nous avons vue être du troisième ordre de petitesse. Cn prenant donc CA cumme le complément de L, on commettra dans l’équation (5) des erreurs du troisième ordre qui, multipliées elles-mêmes par t C toujours très-petit, en engendreront d’autres du quatrième ordre toujours négligeables. La résolution du triangle sphérique ABC considéré comme appartenant A la sphère osculatrice en B, dans le sens du parallèle, a donc, conduit à des conséquences exactes, même pour les cas les plus délicats. Mais l’équation (5) a été déduite de cette résolution par des développements en séries des tangentes de J y et de J C, développements dans lesquels on a supprimé les troisièmes puissances. H semblerait donc y avoir matière à introduire une correction analogue à celle de la formule des longitudes; cette correction est toujours négligeable par suite des considérations suivantes. L’introduction des troisièmes puissances aurait donné au lieu de l’équation (5) Informulé

iy-fi(iy)*=ac+i(ic,»]

I O« l 'o-f-A) cos. J (a — A)

Le dernier facteur, qui revient à f" ^ 1 est, sous nos la-

titudes, toujours proche de l’unité, en sorte que l’introduction des troisièmes puissances a produit dans l’équation (5) à très-peu près le même effet que si on avait ajouté { (jy/ dans le premier membre, et j(t C)* dans le second; mais l’équation (6), ne fût-elle même qu’une première approximation, indique que y = 200-+z— x' et C =(M' — M) diffèrent toujours très-peu l’un de l’autre ; par suite, les deux termes supplémentaires J (\ y)* et J (J C)* se détruisant dans l’équation (7), celle-ci rentre dans l’équa-

lion (6) qui, sufDsamment exacte, a résolu convenablement le triangle sphérique ABC. On a ainsi obtenu l’inclinaison du côté K sur l’arc CB ; mais celui-ci appartenant à un cercle tangent au méridien vrai, leurs tangentes se' confondent et l’on connaît en résumé l’angle formé par le côté avec ce dernier, c’esUà-dire l’azimut exact.

Les latitudes et les longitudes se calculent jusqu’aux centièmes de secondes qui pour la première répondent moyennement aux décimètres.

Comme il est nécessaire de vérifier toujours des calculs longs et délicats, on cherche les coordonnées géographiques de chaque point par une opération double. Ainsi, on détermine la latitude du point C 328) d’abord au moyen du point A, puis au moyen du point B. Les doubles résultats doivent être à très-peu près identiques. Lorsque cette identité existe, il n’en faut pas conclure que la position du point C est rigoureusement déterminée ; cela dit .seulement que le calcul a été bien fait, que le triangle ABC a été résolu, indirectement, d’une manière exacte, cl la position obtenue n’est bonne qu’autant que le triangle fait luimème partie d'un réseau de triangles exacts.

, Pour exécuter ce double calcul, il est nécessaire de connaître les deux azimuts des côtés K et K' pur rapport aux méridiens des points connus A et B ; l’inspection de la figure 328 fait voir que le premier est égal à x augmenté de l’angle A du triangle ABC, et que le second est égal à z' diminué de l’angle B du même triangle. Pour ne pas être obligé de faire une figure dans chaque circonstance, l’habitude est d’exécuter le calcul double en commençant par le point de droite, et de former l’azimut correspondant en retranchant l’angle dont le sommet est au |)oint de droite de l’azimut du côté connu par rapport au méridien de ce point; la seconde opération relative au point de gauche forme l’azimnt nécessaire à sofi calcul, en ajoutant l’angle du triangle dont le sommet est à ce point à l’azimut du côté connu, par rapport à son méridien.

La droite et la gauche sont comptées pour un observateur qui serait an point à déterminer. Il est presque superflu d’ajouter que les trois points A,B,C, ne sont pas pris arbitrairement ; ils doivent appartenir à un triangle observé.

C’est dans le but d’arriver à la formation de ces azimuts nécessaires aux opérations subséquentes qu’on a dû calculer l’azimut du côté AB par rapport au méridien de B, après avoir obtenu

NIVELLEHENr CÉOUÉSIUUF. . t>00

les latitude et longitude de celui-ci. Les points du troisième ordre ne pouvant pas, à leur tour, être employés à en déterminer d’autres, il n’y a pas lieu, pour eux, d’effectuer ce calcul.

La vériff cation des azimuts calculés est indiquée parla flgure 328, qui fait voir que pour un même point G la différence de ces angles relatifs aux deux côtés AC, CB, est égale au troisième angle du triangle employé.

Quand l’azimut de droite est plus petit que celui de gauche, il faut, pour rendre la soustraction possible, lui ajouter ôOO*, et la différence est toujours, comme l’indique la figure 33t, l’angle C du triangle. La même observation s’applique à la formation des azimuts pour laquelle il est quelquefois nécessaire d’ajouter ou de retrancher 400» à l’un des angles, pour rendre l’opération possible.