PROJECTION STÉRÉOGRAPHIQUB SUR L*HORIZON. S

tifs, P' et Q' les deux pôles. Les génératrices O’P' et OQ' vont percer le plan du tableau figuré ici par Â’B', et son prolongement en deux points p' et q‘, qui, reportés en p et 7 sur la figure 357, donnent ceux par lesquels doivent passer toutes les perspectives des méridiens : la ligne pq est donc une corde commune à toutes ces courbes, qui sont des cercles, comme nous allons le démontrer, et la perpendiculaire RS élevée sur le milieu de pq, est évidemment le lieu géométrique de tous leurs centres. Pour les trouver, nous tracerons les tangentes pD, pE aux méridiens perspectifs pour le point commun p (fig. 357), et nous élèverons les perpendiculaires respectives pü', pE', qui rencontreront RS en des points D', E', centres des cercles correspondants.

489. Démontrons qu'ici, comme dans la projection sur un méridien, les courbes perspectives des méridiens sont des cercles. Si ensuite nous connaissions les angles qu’elles font entre elles, nous mènerions leurs tangentes pD, pE, par le pôle qui leur est un point commun; ces tangentes ont aussi la môme inclinaison, les unes par rapport aux autres, et il en est de môme des normales pD', pE', qui ne sont autre chose que les rayons des cercles, et qui, par leurs rencontres avec la droite RS, détermineront tous les centres D', E', etc. Réciproquement, D, E, etc., sont les centres des cercles ayant pour tangentes pü', pE', etc.

La figure 35 1 représentant le rabattement d’un grand cercle passant par le point de vue V, perpemliculairement à l’intersection G de l’horizon MN et de l’équateur RS , nous pouvons comparer les deux triangles VRS, VFQ : ils sont semblables et les angles en R et en Q sont égaux; car R a pour mesure la moitié de l’arc VS, tandis que la mesure de Ü est \ MV — i NS ou J MV — 1 MT=i VT, et que VT = VS.

Les sections du cône par les plans RS et FQ sont donc antiparallèles (S 486); l’une RS est un cercle, donc l’autre en est également un.

490. Si l’on voulait eonstruire une telle projection perspective à une grande échelle, il pourrait se faire que cette opération devint impossible, en raison de la grande distance à laquelle seraient situés certains centres. Pour parer à cet inconvénient, il faudrait trouver un troisième point de chacun des méridiens perspectifs, puisqu’en ayant déjà deux communs, les pôles p et

q, on ferait passer an cercle par les trois points de chaque projection.

Imaginons, par le point de vue, un plan perpendiculaire à ce^ lui du tableau : il coupera tous les cônes suivant deux génératrices. En construisant les points où elles percent le plan du tableau, nous aurons des points appartenant aux sections des cônes par le plan du tableau : c'est-à-dire les points qui doivent permettre de construire les méridiens perspectifs sans le secours de leurs centres.

Rabattons le plan de construction que nous venons d’imaginer, sur celui du tableau, en faisant tourner le premier autour de l’intersection commune MN {fig. 357), et nous avons ce qu'indique la Dgure 359. M N' est la trace du plan du tableau, et Qf' la nouvelle projection du point de vue.

Les méridiens sont coupés par ce plan, suivant des droites CF, CG, CH, qui toutes passent par le centre de la sphère.

Unissant leurs extrémités F, G, H avec O ', nous avons une génératrice de chacun des cônes correspondants. Ces génératrices rencontrent le tableau en T,U,V, etc. ; et si, maintenant, on suppose redressé le plan de construction, pour en revenir à la figure 357, où il est représenté par la droite MN, les points T, U, V, prendront les positions T', U', Y', et l’on aura atteint le but que l’on se proposait.

491. 11 reste à savoir quelle est l’inclinaison respective des traces des méridiens sur le plan du tableau oblique à leur intersection commune. Représentons par ACB, le plan du tableau [fig. 360), par C le centre de la terre, et par P le pôle : l’angle que fait CP avec le plan ACB est évidemment égal à la latitude L du point de vue. Les lignes PA et PB étant des tangentes à deux méridiens, sont inclinées l’une sur l’autre d’une quantité M qui est la différence en longitude des deux méridiens en question. Prolongées jusqu’en A et B, où elles percent le plan du tableau, si l’on unit ces points au centre C, on forme un angle ACB que nous désignons par M', et qui est l’inclinaison correspondant à M, des traces des plans méridiens sur celui du tableau. Le plan CPA est celui du méridien principal, perpendiculaire à l'intersection de l’équateur et de l'horizon.

Cherchons la relation qui existe entre M et M'.

AB

Le triangle ABP, rectangle en A, donne tang.M =

PROJECTION STÉRÉOGRAPHIQDE SUR l'bORIZON.

On trouve aussi dans APC, rectangle en P, sin.L= ^