AC AR

donc l»ng.M X »in.L «= —

AC

Mais, dans le troisième triangle ACB, rectangle en A, on a AB

donc enfin lang.M' — l*Dg.M x si" L.

C’est-à-dire, qu’en multipliant les tangentes trigononiélriqnes des angles que forment tous les méridiens avec l’un d’eux pris comme origine par le sinus de la latitude, on trouve les tangentes trigonométriqucs des angles , et , par suite , les angles euxmêines, qu’il faut former autour de P {fig. 357), pour avoir la position convenable des tangentes aux arcs de cercle et, par suite, les rayons pD, pE, pD', pE', etc.

Si l’on voulait seulement avoir un troisième point pour chacun des méridiens projetés , celui qui est compris dans le cercle rabattu (/ïff. 359), il faudrait figurer les traces CF, CG, CH, etc., des méridiens, en remarquant que, puisqu’il est perpendiculaire à l’horizon, c’est par le cosinus de la latitude, et non par son sinus, qu’il faut multiplier la longitude. Les extrémités F,G,H, etc., des traces unies au point de vue 0", donnent V,U,T, où les génératrices correspondantes percent le plan du tableau.

492. Il faut actuellement s’occuper des parallèles, et démontrer d’abord que leurs perspectives sur le plan du tableau sont des cercles.

V représente le point de vue {fig. 361) : ADEF est une section de la sphère passant par le point de vue, et perpendiculaire au tableau, qui alors est représenté ici par la droite DF.

Si AB indique la trace d’un parallèle quelconque dont AB se trouve être un diamètre, le cène auquel il sert de base, et dont la section est AVB, sera coupé par le plan du tableau suivant une courbe projetée en ab, et que nous allons démontrer être un cercle tout aussi bien que la base du cône. 11 nous sullil, pour cela, de faire voir que les plans du tableau et de la base du cône sont anti-parallèles. En elTet,

V6a- = vf+M ^ J

de même

VDE + BE

S50 CEODÉSIB.

Donc, \bazz VAB j donc, ce que nous avons avancé se trouve démontré.

493. Pour tracer les cercles perspectifs des parallèles, il suffit d'opérer pour chacun d’eux comme nous venons de faire pour AB : car, pour celui-ci, les points o et 6 sont les extrémités d’un de ses diamètres.

Celle construction est indiquée sur les figures 367 et 358.

Lorsque les parallèles approchent du point de vue , il devient impossible d’obtenir graphiquement le point où l’une des deux génératrices extrêmes du cône projetant perce le plan du tableau. C’est ce qui a lieu pour les portions ab et de, situées dans l’hémisphère où se trouve le point de vue 0' {fig. 358) ; on n’a donc que le point c pour l’un, et f pour l’autre, qui sont reportés sur la figure 357 par des parallèles à 00', en c' et f. Pour compléter la détermination des projections de ces parallèles, on remarque qu’elles ont deux points représentés {fig. 358) par b pour l’une, et e pour l’autre : que ces points appartenant également à la sphère seront connus de position. Si, par b et e, on trace perpendiculairement à l’axe de rotation deux droites qui viennent couper la sphère (/îÿ. 357) en g, h, k, /, on obtient trois points pour chacun des deux cercles, de manière qu’en les unissant' par des cordes sur le milieu desquelles on élève des perpendiculaires, les centres qui d’ailleurs, et c’est une garantie de bonne exécution, doivent se trouver sur AB prolongés, sont connus, et le problème est entièrement résolu.

Comme les précédentes projections , celle-ci a l’inconvénient de ne pas offrir un rapport constant dans toutes ses parties.

494. Projections orthographiques. Quoique ces projections soient plus imparfaites encore que les précédentes, il convient d’en parler ici, parce qu’elles ont été quelquefois, quoique rarement, employées. Au surplus , si l’on ne voulait pas s’eu servir pour la reproduction d'un hémisphère eutier, mais seulement pour une petite portion de sphère dout le plan de tangence serait perpendiculaire à la direction des lignes projetantes , elle serait très-bonne et préférable à la projection stéréographique : et en effet , dans ce petit espace , le plan tangent s’écartant à peine de la surface courbe, les figures projetées et leurs projections seraient égales.

On a vu, n° 484, que le point de vue était supposé à une distance infinie surin normale au centre du tableau. Celui-ci peut

PROJeCTION ORTHOGRAPHIODE SUR UN MI^RIDIEN. B51

«ioimne pour la prnjeclion stéréographique, être I cquatcur, ou un méridien ou l’horizon.

495. Projection orthogonale sur l’équateur. Le point de vue étant placé sur le prolongement de la ligne de.s péle.s, c’est-àdire sur l’inlerseclion commune à tous les méridiens, leurs traces passeront par la projection du point de \uc qui n’est autre chose que le centre du tableau : elles feront aussi entre elles des angles égaux, évidemment, à l'inclinaison des méridiens les uns sur les autres.

Les parallèles, bases de cylindres droits, seront coupés par l’équateur suivant des cercles concentriques égaux aux parallèles qu’ils repré-sentent (fig. 362).

Les rayons de ces parallèles sont, comme on le reconnaît à la simple inspection de la figure, égaux aux Asinus des latitudes correspondant à chacun d’eux. Nous pouvons ajouter ici, en passant, que des arcs de même amplitude étant proportionnels à leurs rayons de courbure, le rapport d’un degré en longitude mesuré sur l’équateur et sur un parallèle est le même que celui du rayon de la sphère au cosinus de la latitude ; et, si l'on considère ce rayon comme l’unité, le rapport est égal au cosinus de la latitude.

496. Projection orthographiqm snr un méridien. Ici, le point de vue est situé dans le plan de l’équateur. Les méridiens sont les bases circulaires de cylindres obliques, et leurs sections par le tableau perpendiculaires aux génératrires, sont des ellipses. Tontes passent par les deux pèles : car ces deux pt ints sont communs aux méridiens et à leurs projections. Cette ligne est, pour chacun des méridiens, le seul diamètre projeté en véritable grandeur : c’est le grand axe commun à toutes les projections elliptiques. Les petits axes, perpendiculaires aux grands, seront tous sur la trace du plan abaissé du point de vue perpendiculairement aux méridiens, c’est-à-dire sur la trace de l’équateur: et, comme on ne s’occupe que d’un seul hémisphère, celui qui est en avant du tableau, il suflit de trouver les extrémités antérieures des petits axes. Soit AC la trace sur l’équateur (/¥.g. 363) de la moitié d'un méridien : elle se projettera en A',C', qui sera la moitié cherchée du polit axe. En projetant de même les extrémités des autres méridiens analogues à A, on .sera à même de construire toutes les ellipses, d’une manière coulinnr. Il faut pour cela connaître les deux foyers; mais, comme on suit que la

gomme des deux rayons vecteurs est une quantité constante égale au grand axe, il suffira de prendre un fil de cette longueur, de fixer son milieu sur le sommet du petit axe, et de tendre ses deux parties jusqu’à ce que les extrémités s'appuient exactement surlc grand axe. Les deux foyers seront ainsi déterminés, et rien ne s’opposera plus au tracé continu de l’ellipse.

Quant aux parallèles qui sont les sections de la sphère par des plans parallèles à l’équateur, ils se projettent suivant des droites {fig. 363). On peut remarquer que les projections sur l’équateur et sur un méridien sont exactement ce qu’en géométrie descriptive on nommerait les projections horizontale et verticale de la sphère.