COURS
DftFnunOR , PKOPRltTfiS BT HELÀnONS DES LIGNES TRIGONOII&- TRIQLES.
1. Les lignes trigonométriques des arcs qui mesurent les angles jouissent de certaines propriétés qui les font employer avec avantage dans la résolution des triangles. Elles se combinent de manière à donner naissance à des formules dont quelques-unes se présentent fréquemment en trigonométrie sphérique, en géodésie et en astronomie.
2. Soit un arc AB, fig. 1. Nous rappelons seulement que la perpendiculaire BD, abaissée de l’une des extrémités de l’arc sur le rayon AC qui passe par l’autre extrémité, se nomme le sinus; que la portion CD de ce rayon est le cosinus ; AE, la tangente ; CE, la sécante; FG, la cotangente, et CG, la cosécante.
La résolution des problèmes de trigonométrie repose habituellement sur l'emploi des lignes ou rapports trigonométriques des angles, et non sur celui des éléments analogues des arcs qui les mesurent.
â TRIGONOHiTBIG RECTIUGNE.
L’angle qui, dans le cercle dont le rayon est R, est mesuré par
AB
l’arc AB, a pour expression numérique rapport constant q définit complètement cet angle.
Mais, en même temps que ce rapport, il en existe d'aulrei Icment invariables avec l’angle. Tel eit celui de BD à BC, port qu’on peut écrire
BD sin. AB
lit qu^^^
BC
AB
et qu’on appelle sinus de l’angle dont la mesure est y* 0“ donc en droit d’écrire :
, „ , AB sinus de l’arc AB
sious de rangle -n-= r
Ce que nous disons du sinus d’un angle se rapporte également à ses autres lignes trigonométriques, analogues à celles des arcs dont la définition a été donnée au commencement du paragraphe, en sorte qu’il sera toujours permis d’écrire :
AB
Le rapport qui représente la ligne trigonométrique de l’angle est égal au rapport de la même ligne trigonométiique de l'arc AB, au rayon B.
On a trouvé avantageux , dans beaucoup de circonstances, de substituer aux considérations d’angles celles de leurs lignes trigonométriques qui en sont des fonctions detenninées et dont les .six formes distinctes ofiriront plus de ressources que la forme unique représentant l’angle lui-méme.
Malheureusement, ces nouvelles fonctions, qui sont parfaitement précisées par l’angle, ne le précisent pas également bien, car, comme on le verra plus lard, si l’angle n’a qu’un sinus, par exemple, l’inverse n’a pas lieu ; en sorte que les conséquences que l’on tirera de certaines formules conduiront à d’autres conséquences non-seulement vraies pour les angles qui auront donné naissance au problème , mais encore pour d’autres angles , qui heureusement seront dans des rapports simples avec les premiers.
La recherche des propriétés des lignes trigonométriques exigeant l’emploi des figures, on comprend de suite qu’en vertu de la relation générale précédente , il sullira de rechercher ces propriétés relativement aux arcs et de remplacer dans l’équation fiuale qui en résultera la ligne trigonométrique de l’arc par celle
TniGONOHÉTRtE RECTILIGNE.
de l’angle multipliée par le rayon, résultat auquel on jrrivera de suite en substituant une de ces lignes à l’autre et en disant le rayon égal à l’unité. \
3. La comparaison des trois triangles rectangles semblables • ^ BCD, EGA, FCG, fig. i, fournit les relations suivantes : \
(t) tang.:
R. sin.
cosin.
(4) cosécanle^
(î) coUng.
sia.
R cosin.
sin.
(3} sc-cante ^ sin.’*)- cosin.
R« ' cosin.
On a ainsi cinq équations entre six inconnues , et l'on peut dire que la connaissance de l’une d’elles suffît pour entraîner celle des cinq autres. Ilemarquons pourtant que la résolution de la dernière donnera le double signe ±: qui, transporté dans les autres équations, conduira à deux systèmes de valeurs convenables , pour certaines des lignes trigonométriques inconnues , et qui donnera par suite deux valeurs pour l’angle correspondant. Ainsi se trouve vérifiée la remarque faite dans le paragraphe précédent, remarque qui, jointe à celle du 8 8, fera comprendre que la connaissance d’un angle par une de ses lignes laisse une indétermination qui ne pourra cesser , dans chaque cas , que par l’examen des considérations particulières au problème qu’on aura en vue de résoudre.
L’examen des deux triangles ACE, FCG, conduit aux trois nouvelles formules :
SCC. =R*-flsng., coscc.= R«-f coiang. , foUng. =
11 semblerait donc exister huit équations entre les six lignes trigonométriques d’un même arc, ce qu'il est impossible d’admettre, car, après avoir éliminé ces six inconnues, il resterait deux équations de condition qui , ne pouvant renfermer que la seule variable R et devant être satisfaites, quel que soit le rayon, devraient se réduire à des identités. Il est donc évident d priori que quelques-unes de ces équations doivent rentrer les unes dans les autres. Les trois dernières sont dans ce cas. ,
En effet, l’équation sec! = R’ tang! peut s’écrire sous la
r B* », , R» .sin*
forme — — — ij
costu. cosin.
puis, en multipliant par elle devient R* = sin. -1- cosin.
TRir.ONO»ËTRIR RECTILIGNE.
De même, coséc. = R’ + colang. peut passer successivement par les deux formes
R* m . R’.cosin* . “T“* , r~*
— = R* H — et R* = Siu. + cosin.
sin. SID.
Enfin, la troisième cotang. n’est que le résultat de la
crmbinaison des équations (1) et (2).
4. Des limites de grandeur des sinus et cosinus et de la règle des signes adoptée pour eux on conclut au moyen de (1), (2), (3), (4), les signes et dimensions des autres lignes trigonométriques correspondant à toutes les valeurs que peut prendre un arc.
Les sinus sont positifs de 0> à 200> et négatifs de 200' à 400*.
Les cosinus positifs de 0' h 100' sont négatifs de 100> à 300*, puis positifs de 300* à 400*.
Au moyen de (1) et (2), on voit que
Tangente et cotangente
> O de 0* à tOO* fit'de 200* à 300*.
< O de 100* à 200* et de 300* à 400*.
Les formules (3) et (4) indiquent que la sécante est toujours du même signe que le cosinus, tandis que la cosécante prend celui du sinus.
6. Le sinus et le cosinus ne peuvent varier en longueur que de zéro au rayon : il en résulte qu’en désignant l’arc par Â, on a
AOOO.
sin.aO
sin.<CR
sm.^R
siu,>0
sin.aO
sin.<0
sin.=-R
sin.<0
cosin.sR
cosin.<CR
cok.bO
cosin. <0
COS.as— R
cosin .<C0
cosin.isO
