II» X

B* X* , «Sx*

ÏXI+Ï.3.4.5.G~*''-

et substituons la dans celle de log. cos. nx, qui devient ainsi

log, CO*. ni— —M * “ 4.3.4 ■^2.3.4.5.6'^

ou en réduisant

log. cos. nx — — M ^ II» — M ^ 71» — M i.« — etc.

On sait que sécante x cosinus = 1, et qu’ainsi

log. sic. — log. 4 — log. CO*. == 0 — log. CO».

Si donc on change tous les signes dans l’expression du logarithme du cosinus, on aura

log. lie. nx «= M ^ 4- M ^ + M tfi + cir.

S’il s’agissait de mettre ces formules en pratique, de triinver, par exemple les logarithmes des cosinus, on remarquerait qu’en supposant x — 1", sa valeur comparée à celle du rayon pris pour unité est la très-petite fraction 0,00000157, et qu'ainsi, les puissances 2% 4», 6‘, etc., des multiples nx décroissant avec une rapidité extrême, on aura une valeur très-rapprochée de log. cos. en s’en tenant aux premiers termes de la série. 11 y aura néanmoins une limite passé laquelle il faudra négliger d’autant moins de termes que n augmentera davantage. Dans ce cas, il y a des modifications à introduire, qui sont trop longues et d’un ordre trop élevé pour trouver place ici.

LOGARITHMES

Dans la valeur de log. cos. n x, on cherche les termes séparément et par logarithmes ; puis, pour abréger, ou calcule les facteurs constants cif., aux logarithmes desquels on

ajoute le double, le triple, etc., du logarithme de n.

Ou trouverait, par une marche analogue, le développement du log. du sinus, et par suite celui de lacosécante : puis en retranchant le log. cosinus, de log. sinus, on aurait log. tangente. Enfin,

puisque lang. = le développement de log. cot. sera égal

au signe prés à celui de tangente.

On ne calcule les logarithmes de ces lignes que jusqu’à .50', parce que celles des arcs compris entre 50< et 100' sont liées aux premières par lu relation des arcs complémentaires.

Les lignes trigonométriques des angles, qui sont des rapports ou des nombres abstraits, sont pour les sinus et cosinus, toujours plus petites que l’unité. Pour les tangentes et cotangenles, ces lignes trigonométriques ne deviennent plus grandes que l’unité que dans certaines limites d’angles. Les logarithmes des sinus et rosinus seront donc toujours négatifs, ou positifs avec une caractéristique négative. Il en sera de même, dans certains cas, pour les tangentes et cotangentes. Pour éviter ces caractéristiques négatives dont l’introduction edt été incommode pour l'impression des tables, on a augmenté de iO les logarithmes des sinus et cosinus dans tous les cas, et ceux des tangentes et cotangenles dans certains cas.