I-OCARITRMES

Si donc on connaît le logarithme naturel ou hyperbolique d’un nombre y, il faut, pour avoir son logarithme vulgaire, diviser par le logarithme naturel de la base 10, ou, si on le connaît, multiplier par le logarithme vulgaire de e.

Cela posé, réunissons les équations

n= ( -I- Ax-f ^ A* X* -f- A» elf.

a = e , e=2, 7182818, elc.

fl A=>/. a = (a — <)— I (a— J (a — <)• — ,cic. . . (3)

A est, comme nous venons de le voir, le logarithme hyperbolique de la base a, et sa valeur dépend évidemment de celle de a. Supposons qu’il s’agisse de déterminer A au moyen de (3) : il y a deux cas à considérer j a — 1 peut être plus grand ou plus petit que l’unité.

Si a — 1 > 1, la série est divergente, puisque les termes vont en augmentant, avec les exposants de a — 1 : ou ne pourra donc l’employer sans une modification préalable.

Si a — 1 < 1, les termes sont fractionnaires cl diminuent sans cesse. Dans ce cas, ou dit que la série est convergente.

Considérons le premier cas, et remarquons que de « = e , on déduit - = c . On peut donc, sans apporter de perturbation dans

la formule (3) y remplacer a par ^ et A par — A, ce qui la transforme en

ou en changeant les signes

étant une fraction, la série est devenue convergente.

Cette dernière formule peut servir i\ déterminer le module d’un système dont on se donne la base.

LOGAHITBMES.

Si dans (3) nous faisons

a — 1 d’où a = 1+:

elle prend celle nouvelle forme

Si l’on y faisait ensuite a — 1 = — z, oua = l — z elle donnerait

/{I — j) = — I — J ;1 — • :»— 1 Ϋ etc (6j

et en retranchant la seconde de la première, on aurait

log. (t +2)-t (<-:) = /^ = 2(î + Jts + ^jS4.eic.)

Dans J— le numérateur est plus grand que le dénominateur, et on peut ainsi assimiler ce nombre fractionnaire à d’où

n+ nz=n-\-t — nz — i)t et z •=

Substituons cette valeur de z dans la dernière formule trouvée et nous aurons

'” ' (■ + '1 - "+ » + i (rrn)’ + i (îïT-)‘+ J

Celte série, étant convergente, peut servir à la détermination des logarithmes hyperboliques des nombres. En suite de quoi, il ne reste plus qu’à les multiplier par le module de la base du système pour lequel on veut construire une table de logarithmes.

L’équation (4) indique que le développement d’un nombre y est de la forme

ÿ = 1+ A /ÿ -f- 5 A» log.* ÿ -f. clc.

ell’équation (3) sert à déterminer les coefDcienls A, A®, etc., en fonction de la base a. S’il s’agit de calculer les tables ordinaires pour lesquelles a = 10, on fait d’abord dans (7) n = l, t= 1, et l’on a

/.J = î (i + t (i)* + 1) (1)5 + etc.) - 0, 693117, elc.

LUCAKITIIMKS.

Pour avoir celui de 3, on pose n=2 et ( = l i.3 = /.i + 2 [J + i (J). 4- i (1)5 .f clc.j /.3 - î il + i + i [(!)• + (!)•] + 1 [(1)4 + (1)4] + cl. .]

/•3 = }H-i«h + rS?î. + *!-;.

ou u=l, (=2, ce qui donne

/.3 - î [H- 1 (î)’ + i (i)* + elc.J = » + ^ + ,>, + clc. et par l’une ou l’autre supposition, on arrive à /.3=> <,0986423, etc.

Pour le logarithme de 4, on multiplie par 2 celui de 2. (3elui de 5 s’obtient de la même manière que celui de 3 ; puis celui de 10 en multipliant ce dernier par 2. On trouve ainsi,

/.lO = i,302i>8o<.

Connaissant le logarithme de 10, on a facilement M =. Le = = 0,Wi29U849, etc.

C’est alors que pour avoir le logarithme d’un nombre quelconque, de 16, par exemple, on divise son logarithme naturel, qui est 2,772689, par celui de 10 = 2,3025851 ou qu’on le multiplie par 0,43429, etc., et l’on trouve

log. (tabulaire) <6 >a> <,204(200.

40. Nous ne pourrons indiquer ici que très-sommairement la marche que l’on emploierait pour construire des tables de logarithmes des lignes trigonométriques.

Nous avons besoin de supposer connues les formules suivantes, démontrées aux §S 73, 74 et 75, livre II.

siu.x = X - 173+, 3 4 JJ - etc.

cos.n.x = 4 - -^ + ^-3^ + etc.

Itemplaçons x par l’un de ses multiples, que nous pouvons représenter par n x, il viendra

II* X* , «4 x4 , .

am.« = «x -^ + 5333 + etc.

fie

LOGARITHMES

il i

Dans cette dernière, faisons cos. nx = l — z, nous aurons, en nous servant de la formule (5) du paragraphe précédent

log. CO», nx— 1 — M (: + J i Z» -P etc.)

M est, comme nous l’avons vu, le nombre par lequel il faut multiplier un logarithme naturel pour le convertir en logarithme vulgaire.

Prenons la valeur de