RÈGLES A CALCUL

42. Voici le principe snr lequel repose la construction de l’échelle logarithniiquc.

Une longueur orbilraire AB (/tfl. 1, planche XIX) étant prise pour unité logarithmique, repré.sentera le logarithme de 10,

Ceu\ de 2,3 8,9 pourront être indiqués par des fractions

convenables de AB. D’ailleurs le logarithme de 1 étant ïéro, on écrira l à côté de A, et la distance totale AB sera partagéîc en parties proportionnelles aux logarithmes des nombres dont la notation sera inscrite à côté. Il est donc bien entendu que les chiffres représentent la suite des nombres naturels, dont les distances correspondantes au point de départ A sont les logarithnie.s.

En ajoutant sur la même droite et bout à bout plusieurs échelles semblables, il est évident que les longueurs AC, AD, AE représenteront les logarithmes de 100, 1000, 10000, tandis que les subdivisions donneront, en prenant toujours pour point de départ, les logarithmes de 20, 30, etc., 200, 300, etc., 2000, 3000, etc., suivant la partie de l’échelle à laquelle elles appartiennent.

On peut encore écrire à cété de A, B, C, D, la caractéristique qui convient aux logarithmes qui suivent chacune de ces lettres. Ce serait 0 auprès de A, 1 près de B, 2 près de C, etc.

S’il s'agit de trouver le produitde deux nombres ou, en d’autres termes, la somme de leurs logarithmes, ceux de 20 et 80, par exemple, on prendra, avec un compas, la distance de A à 20’; on la portera à la suite de 30, et la pointe du compas aboutira à une division dont la distance A À sera le logarithme de 600.

Quelle que soit la longueur que l’on donne à l'échelle, il y aura toujours des produits qui ne pourront pas y figurer; ainsi 300 X 80 ne pourra pas être obtenu directement sur la fiff. 1. On cherchera alors sur cette même Ggure 30 X 80, et le produit trouvé, 2400, devra être multiplié par 10. En principe général, on déplacera la virgule des facteurs de façon à pouvoir faire usage de la règle, et on rétablira l’cxactHade du résultat en effectuant les opérations inverses à la fin du calcul.

Une échelle ainsi divisée est propre à exécuter toutes les opérations de l'arithmétique qui se réduisent, en définitive, à des additions et à des soustractions de logarithmes; mais son usage exige l’emploi d'un compas dont les pointes détruiraient promptement la division qui doit pourtant être bien nette, sous peine de rendre les opérations défectueuses.

LOGARITHMES

43. On évite cel inconvénient par l’adjonction d’une seconde règle glissant dans la première au moyen d’une coulisse. Chacune de ces règles A, A' porte un système de graduations identiques représentant les logarithmes des nombres compris entre 1 et 100, nombres qui sont écrits sur les règles aux points correspondant aux extrémités des longueurs qui, comptées à partir de A ou A', représentent les logarithmes de ces nombres, fig. 2, planche XIX. Pour faire la multiplication de deux nombres, N et N', on fait glisser la coulisse A' jusqu’à ce que son extrémité A' soit à la hauteur de N ; puis on cherche le nombre N' sur la coulisse, et la lecture M correspondante de la règle donne le produit MN, car

log. M - AM = AN -f A'N' = log. N + log. N'.

Pour faire la division de deux nombres M et N', on cherche le nombre M sur la règle, et on met vis-à-vis, la lecture N' de la coulisse; le nombre N de la règle répondant à l’origine A' de la coulisse, donne bien le quotient cherché, car

log. N = AN =- AM — A'N' = log. M — log. N'.

Les nombres M, N, N' peuvent avoir des valeurs quelconques, en sorte que le produit des deux derniers peut être plus grand que 10, quoique chacun d’eux puisse toujours être ramené à être < 10, par le déplacement de la virgule, s’il y a lieu, déplacement qui nécessite l’opération inverse sur le produit. C’est afin de parer à cet inconvénient que les divisions de chaque règle ont été poussées jusqu'à 100.

Rien n’est plus simple que d’avoir le carré d’un nombre, il sullît de faire N = N', dans les opérations précédentes.

Mais il n’en est plus de même de l’extraction de la racine carrée. Pour y arriver, et l’on simplifie encore indirectement la recherche des carrés par le même moyen, on établit une nouvelle graduation sur le bord B de la règle. Sur cette ligne on porte les logarithmes ou longueurs de la première règle, en les doublant, et on inscrit vis-à-vis le nombre répondant aux logarithmes simples, en sorte que toute la règle sera occupée par les nombres allant de 1 à 10, tandis que les longueurs correspondantes à ces chiffres .seront les doubles de leurs logarithmes, ou les logarithmes de leurs carrés. Comme les nombres simples sont euxmêmes écrits sur la ligne supérieure A' de la l•ègle, il s’ensuit

RfiCLES A CALCUL. 41

qu’une même longueur AN = BN'' portera indication de deux nombres N et N", dont le second N'' sera tel que

BN"=.4N=2Iog. N" et romme AN = log. N, il en résultera

lo*. N — s \og. N" N — N’"v

Les nombres de la ligne inférieure seront donc les racines carrées des nombres situés à la même hauteur, sur la ligne supérieure. Il sufBra d’amener l’extrémité de la coulisse à la hauteur du nombre N dont on veut extraire la racine carrée, et de lire le nombre correspondant de la ligne inférieure.

Pour se serA’ir de cette partie inférieure de la règle, afin d'avoir le carréd’un nombre, il suffit d’.elTectuer l’opération inverse, c’est-à-dire qu’il faudra amener l’extrémité A' de la coulisse à hauteur du nombre N' de la ligne des carrés, et de lire N sur la ligne des nombres simples.

La même ligne, dite des carrés, servira encore pour la formation d’un cube, ou l’extraction d'une racine cubique.

S’il s’agit d’abord de former le cube de N", on mettra la coulisse dans la position indiquée par la figure ; le nombre N en sera le carré, qu’il suffira de multiplier encore par N', résultat auquel on arrivera en ajoutant, à son logarithme AN celui de N" lu sur la coulisse, comme il a été indiqué pour la multiplication. L’opération n’est plus aussi simple s’il s’agit de l’extraction de la racine cubique.

Supposons qu’après avoir retourné la coulisse, comme l’indique la Hg. S, pl. XIX. on ait amené son origine A' vis-à-vis de M, nombre dont on veut avoir la racine cubique. Cherchons sur la coulisse et sur la ligne des carrés, dont les gradations vont alors en sens inverses, les deux divisions portant le même chiffre N''. En vertu de la construction de la ligne des carrés, on aura

BN" =2 log, N"— 2 A' N"

par suite AOi— AM — A'N" -fBN" = 3. A’N"

0“ log. M= 3 log. N" N"=|^M.

Les puissances supérieures à la 3* et les extractions correspondantes de racines ne seraient pas faciles à trouver avec la règle à calcul, si ce n’est par opérations successives; mais cet instru-

LOGARITHMES

ment n’est appelé à résoudre que des problèmes simples pour lesquels ees opérations ne sont d'aucun usage.

44. Supposons prolongées à gauche les divisions logarithmiques de la première règle des nombres. Les longueurs A4' kc', égales à kb kc (fig. 4) seront les logarithmes de 10, de 100 ou ceux de si l’on convient de les prendre négativement. On pourra ainsi avoir les logarithmes d’une série indéfinie de fractions. Mais toute ligne trigonométrique d’un angle n’est autre chose qu’une fraction.

Si, au lieu d’écrire en b’ et c' les nombres -J-, on inscrit les angles qui ont ces nombres pour sinus, par exemple, et si l’on agit de même pour toutes les divisions, on aura, à compter du point A, et en les prenant négativement, les logarithmes des sinus de tous les angles allant de 100» à une valeur proche de 0» ; nous disons proche de 0», car lorsque les angles deviennent très-petits, leurs sinus s’approchent beaucoup de zéro et les logarithmes de ceux-ci tendent vers X négatif.

Supposons qu’après avoir inscrit la suite naturelle des angles, par les valeurs calculées des logarithmes de leurs sinus, on veuille multiplier un nombre N par le sinus de «; il suffira de prendre

log. N. sin.» = log. N .j. log. sin.a = A.V — Aoi AN — Na' •= AN'

et le produit se trouvera sur la ligne des logarithmes des nombres, en N', vis-à-vis de

La division se ferait par l’opération inverse. Cette manière d’opérer exigerait l’emploi d’un compas. Pour éviter cet inconvénient, supposons qu’on prenne AP = AQ longueur totale de la règle des nombres, et que mettant les divisions logarithmiques des sinus sur une coulisse, on fasse glisser AP en A'P, fig. 5, le logarithme du sinus de l’angle a placé à hauteur du point Q, sera égal à — A' « ou à — AP.

Cette disposition permet de trouver de suite le produit ou le quotient d’un nombre par un sinus.

En elTct, soit N x sin. «. Le logarithme du produit sera

log. N -f- log sin.a = AN — AP = PN',

On connaîtra immédiatement N% si à côté de la ligne A' P du sinus, et partant de l’origine P on a établi une seconde ligne des logarithmes des nombres, pareille à AQ.

RÈGLES A CALCn.. 43

La division se fera par l’opération inverse, c'est-à-dire qu’après avoir tiré la coulisse Jusqu’à ce que l’angle a soit marqué à l'extrémité Q, on cherchera, sur la ligne des logarithmes des nombres de la coulisse, l’indication du multiplicateur numérique, et le produit se trouvera vis-à-vis, sur la ligne du log. des nombres de la règle. Pour ne pas donner trop d’épaisseur à la coulisse, les divisions logarithmiques des sinus sont incrites sur l’envers de cette coulisse; de sorte que pour amener <1 en contact avec Q, on retourne sans dessus dessous tout l’appareil; puis le renversant dans la position directe, on cherche sur les deux lignes des logarithmes placées en regard, les nombres N et N',

Ce que nous venons de dire peut s’appliquer également à une ligue des logarithmes des tangentes d’angles compris entre 50* et 0 ; au-dessus de 50* les logarithmes deviendraient positifs. On se contente d’inscrire sur le revers de la coulisse, et sur une ligne parallèle à celle des sinus, les angles compris entre 50* et une petite limite inférieure, en regard des longueurs telles que X’a qui représentent les logarithmes de leurs tangentes. Cela suffit, car on sait que les lignes trigonométriques d’angles plus grandes que 50* peuvent être facilement ramenées à celles d’angles plus petits que cette limite. Cette remarque s’applique à fortiori, aux sinus que la règle donpc jusqu’à 100*.

Les règles construites jusqu’à ce jour, l’ont été par rapport à la division sexagésimale, du moins en trè.s-grande majorité.

45. Les sinus et tangentes d’angles proches de 0, dont les logarithmes auraient eu une valeur absolue trop grande, n’ont pas pu être inscrits .sur les règles. Lorsqu’il y aura lieu de se serxir de ces angles, on les regardera, sans grande erreur, comme .se confondant avec leurs sinus ou leurs tangentes, et on les traitera comme des nombres abstraits, en se rappelant que i'=:0,0157 en nombre, ce qui forcera à introduire ce facteur partout où figurera un nombre de grades.. \in.si

N X sin.0<,îi0 = fi X 0,3 X 0,0137.

-Si l’unité angulaire est la minute, on aura

N X sin.30' = N X 30 X 0,000137.

Nous terminerons en rappelant que lu construction de ces