CHAPITRE PREMIER

■ITT DE Là TRIGONOHSTRIB SPHSRIQUE, NOTIONS PRÉLIMINAIRES : PTRAMIDE SCPPLSMENTAIRB : PROPRIÉTÉS d’uN TRIANGLE : CAS d’égalité : ÉGALITÉ DE 8CRFACB DBS TRIANGLES SYMÉTRIQUES : SURFACE d’un FUSEAU : SURFACE d’uN TRIANGLE EN FONCTION DE SES TROIS ANGLES.

&6. La trigonométrie rectiligne a fait connaître ce que I’uh entend par sinus, cosinus, tangente, etc., des angles ou des arcs de cercles qui les mesurent; quelles sont les lois qui lient ces lignes entre elles; les signes qu’elles prennent suivant l’amplitude des arcs auxquels elles appartiennent ; les relations qui, dans un triangle, existent entre les lignes trigonométriques des angles et les cotés; de là, la résolution des triangles rectangles ou obliquangles, l’expression de leur surface, etc.

Le but de la trigonométrie sphérique est analogue. Elle s’occupe des triangles formés par des arcs de grands cercles, sur la surface de la sphère.

Les formules qu’elle enseigne sont d’un fréquent usage en géodésie et en astronomie.

à7. Un triangle sphérique est une portion de la surface de la sphère comprise entre trois arcs de grands cercles. Pour trouver les relations qui existent entre ses angles et ses cètés, on considère la pyramide dont le centre de la sphère est le sommet et quia pour arêtes les rayons aboutissant au sommet du triangle. Ses angles plans sont égaux aux côtés du triangle, c’est-à-dire mesurés par eux, et les angles dièdres sont précisément les mêmes que ceux du triangle ; en elfet, au sommet A, fig. 6, menons les tangentes A», A/î : l’angle qu’elles forment entre elles est évidemment égal à l’angle A du triangle et comme elles sont

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perpendiculaires au rayon AO, commune intersection des deux plans AOB, AOC, elles mesurent également l’angle qu’ils font entre eux.

48. Si par les sommets A, B, G [fig. 7), on mène 3 plans tangents à ta sphère, ils forment une nouvelle pyramide que l’on nomme supplémentaire, parce que scs angles plans sont suppléments des angles dièdres de la première et réciproquement.

Ces trois plans tangents contenant les tangentes aux arcs de cercle, les points A',B',C', appartiendront aux intersections de ces plans pris deux à deux.

Comme trois plans ne peuvent se rencontrer qu’en un point, soit S', ce point qui pourra être considéré comme le sommet d’une pyramide dont les arêtes seront S'A', S'B', S'C', et dont les angles plans seront «',6', c'; quant à ses angles dièdres, ils ne seront autres que AB C, CA'B, AC' B. En effet, S'B', intersection des deux plans tangents en A et C, tous deux perpendiculaires à ASC, sera perpendiculaire à ce plan, et par suite aux lignes AB' et CB' qu’il renferme.

La ligne S'C' sera de même pei-pendiculaire à AC' et BC'. En considérant les quadrilatères plans SAB'C et AB'S'C, on verra qu’ils renferment chacun deux angles droits, et que par conséquent les deux autres angles sont supplémentaires, c’est-àdire que B' -= 200 —b, a'= 200 — A.

On pourra donc écrire, en appelant A, B, C, a, b, c, les éléments de l’une, et A', B', C', a', h', c', ceux de l’autre.

49. Dans tout triangle sphérique, un côté est toujours plus petit que la somme des deux autres. Si a-f-6 = c, la courbure

- étant la même pour tous les arcs de grands cercles, il y aura superposition : ainsi le tiangle se réduira à une ligne. En effet, par deux points de la sphère, on ne peut faire passer qu’un seul arc de grand cercle déterminé par le plan passant par ces deux points et par le centre. Si le centre se trouve sur la droite qui les unit, celle-ci devient un diamètre et peut être l’intersection commune à une infinité de plans méridiens. La surface comprise alors entre les arcs n’est plus un triangle, mais un fuseau. Le triangle serait plus impossible encore si a-+- ô < c.