BINOME BB NEWTON

6® Enfin, le coefficient du premier terme est l’unité: celui du second, la somme de tous les seconds termes des binômes ; celui du troisième, la somme de leurs différents produits, deux à deux; celui du quatrième, la somme de leurs produits trois à trois, etc., et enfin le dernier terme du développement est le produit de tous.

La forme de ce développement obtenu ici par voie de multiplication jusqu’à la cinquième puissance de x est la même pour un degré quelconque; on pourrait le déduire par analogie de ce qui précède, mais il est très-simple de démontrer qu'ayant lieu pour un nombre m de facteurs, il est vrai encore pour m -j* i • Pour abréger, écrivons le développement sous la forme

S Ax *4" Bx Cx • . » . . .-f* Xx Y

et mnltiplions-le par x+l, nous aurons

■iv’il'

t' Si A est la somme de tn lettres , A + f représente évidemment celle dem-t-/, et par conséquent la forme assignée au coefficient du second terme est vérifiée.

2® Si B indique la somme des produits deux à deux de m seconds termes a, b, c, etc., B + iA exprime aussi celle des produits deux à deux des m -t- 1 termes.

3® Il en est de même pour tous les autres coefficients des diverses puissances de x, et enfin l\ est le produit de tous les seconds termes de m -j- / facteurs.

En généralisant, on peut dire que le coefficient N d’un terme dont le rang est n-t-y, est le produit des seconds termes n à n.

Pourpasseractuellement au développement de la puissance d’un binôme, il suffit de faire «=r6 = c=d=:elc. , cl les résultats obtenus plus haut par la multiplication de 2, 3, à, 5 binômes entre eux SC transformeront en puissances 2', 3', 4®, etc., dex -j- a et seront

(x a) • = X* -|- 2ûx -p a»

(x-t-o)*«= x»-l- 3ax* -P 3a»i-f-a*

(x -f- a)* t= x« -f 4flx» 6a>x* -f- 4o»x-t- a*

(x-l-a)5=x*-t-5ax‘-ft0 (i*x»-|-10 n‘x‘-l- 8n*.r-t-oS.

Les coefficients numériques représentent le nombre de produits différents deux à deux, trois à trois, etc., que l'oji peut faire avec un nombre de lettres marqué par 1a puissance du binôme.