BINÔME DE NEWTON

avec m lettres, si l'exposaDt de la puissance est m. Pour trouver ces coeflicients, indépendamment des multiplications partielles que nous avons effectuées, prenons une des m lettres pour la placer à côté des m — / autres; elle aura fourni m — / produits de deux lettres : on peut en faire autant pour chacune, et l’on aura ainsi m (m — i) produits ou plutôt arrangements de deux lettres. Pour avoir le nombre des arrangements trois à trois, on prend un de ceux de deux lettres, puis on le porte à côté des m — 2 restantes; le nombre des arrangements trois à trois est donc m (m — t) (*” — 2). Poursavoir combien m lettres en peuventfournir P à P, on prend chacun des arrangements p — 1 à p — 1, et on l’écrit à côté de chacune des (m — p -f- 1) autres lettres. D’après ce que nous venons de voir, le nombre des arrangements p — làp — 1 est exprimé par m (»i — l)(m — 2). . . . (m — p-e2). Donc celui des arrangements p à p est

Mais il s'agissait d’avoir le nombre des produits différents; il faut donc diviser par le nombre d’arrangements que l’on peut faire avec p lettres combinées toutes ensemble, car le produit est toujours le même, quel que soit l’ordre des facteurs.

Pour le trouver, il suflit de faire p = m dans l’expression générale trouvée plus haut, ce qui donne

P (p— <) tp— î) (p— p + 2) (p— p+t)

ou, ce qui revient au même

t XÎX3 (p — î (p-1) p.

Le nombre des produits différents que l’on peut obtenir avec m lettres est donc

— 11 (>" — (>« — P + 8) (»i — p-ft)

Rien de plus facile que d’écrire actuellement le développement d’une puissance m d’un binôme, en donnant successivement à p différentes valeurs dans le coefficient du terme général. Pour avoir le coefficient du troisième terme , faisons p = 2, il

Vient — — \

Pour le quatrième terme

d’où

BtNÔME DE NEWTON. 73

Donc

(x+fl) t=x + m.aj: ^ — n»x m a»x 4-etc.(H)'

Pour en retenir plus facilement la forme, il est bon d’observer que le coelDcient d’un terme quelconque se compose du coefficient du terme précédent multiplié par l’exposant de x dans ee terme, et divisé par le chiffre qui indique son rang dans la série. Ainsi, en se rappelant seulement que le développement (x + a)“ commence par x", tout le reste s’en déduit.

72. La marche que nous venons de suivre fait assez voir que la démonstration ne se rapporte encore qu’au cas où l’exposant est entier et positif. Il s’agit actuellement de généraliser et de démontrer que l’exposant étant fractionnaire ou négatif, le développement affecte toujours la même forme. En divisant parx" les deux membres de la formule (1), elle devient

1 i„"i m — fm — 1) fm — îln» . .

et en représentant | par z

(< H- X "=.1 + m. + ^ ^ ^ + etc. . . (2)

Si nous vérifions la formule (2) pour tous 1 es cas, ( 1 ) le sera aussi.

Dans la série qui forme le second membre de (2), s ne change pas, c est m que nous rendons variable ; nous pouvons donc dire qu’elle est fonction de «», et écrire

/•(m)— x»4-elc.

Quand m est entier et positif, nous savons déjà de quelle forme est cette fonction j c’est f (w) =; (t -f- z)~. Observons actuellement que quels que soient m et n, le produit de f (m) par f (n) sera toujours f Effectuant, on trouve en effet

/■(m) /■(!)= 1-1- ml , m — 1

-f ma