Mener une horizontale par un point donné

Soit A {/ig. 130), ce point. On plante en terre, dans une direction inclinée, un bâton BO, au sommet duquel on suspend un fil à plomb qui tombe sur A : on fait porter en avant une mire à coulisse MN. Au moyen des miroirs à 50« de l’équerre, et l’œil étant placé en O, on vise directement le point A rendu bien visible par la présence sur le sol d’un corps AD, d'une couleur tranchant avec celle du terrain. Puis, la personne qui tient la mire en fait glisser le voyant M jusqu’à ce que l’observateur en aperçoive la réflexion. L’angle des miroirs étant de 50‘, AOM= 100‘, et puisque AO est vertical, il s’ensuit que MO est horizontal. Si enfin de MN on retranche OA, on est assuré que le sommet P d’un Jalon NP restant en N déterminera l'horizonlale de A.

163. Déterminer encore la distance .4.V en supposant qu'on ne puisse mesurer que sur une direction donnée BC, et que l’onn’aperçoite X ni de C, ni de D, pied de la perpendiculaire abaissée de A' (fig. 132), sur BC.

On cherche sur BC le point E pour lequel on aBEX = 50‘. On prend également les points F et G où aboutissent les obliques venant de X et inclinées de 66", 66 sur la base : on mesure EF,FG et l’on marque D, milieu de FG. Ce point sera évidemment le pied de la perpendiculaire. On a DX=DE; or AX =

üx‘-|-dâ’. donc AX est connu.

164. Trouver la distance qui sépare deux points inaccessibles A' et Y (fig. 133) ; puis, à un point déterminé du terrain, tracer une parallèle nu une perpendiculaire à celte droite.

On choisit sur la partie accessible du lerrain une droite MN au moyen de laquelle on puisse, par l'un des procédés indiqués, trouver les longueurs des perpendiculaires abaissées de X et Y : on prolonge la plus courte d’une quantité GD égale à la différence des deux, et la ligne FG est de même longueur que XY ctde plus

INSTRCHBNTS A RÉFLEXION. 161

lui est parallèle. La seconde partie indiquée dans l'énoncé a déjà été résolue, lorsqu’à l’occasion de l’équerre d’arpenteur nous avons donné une autre solution du même problème.

S’il arrivait que l’observateur pût se placer en un point du prolongement de XY, il y élèverait une perpendiculaire sur laquelle il opérerait de manière à trouver les distances de X et Y au sommet de l'angle droit : la diiïérence serait la longueur cherchée. Cette manière de procéder pourrait encore convenir à la circonstance que nous avons déjà indiquée, où X étant la position d’une batterie, Y serait l’ouvrage qu’elle doit battre.

165. Trouver la hauteur d’un objet AB (fîg. 134), placé sur un terrain incliné, en supposant que Vonpuisse s’établir en un point C duquel les directions sur A et B font un angle de 60*.

Imaginons par le sommet A, une droite AD inclinée aussi de 50* sur AC : elle complétera un triangle ACD rectangle en D et

isocèle qui fournira AD*=^ ou AD = ^.

Puisque CD =AD, il s’ensuit que BD = CD — CB= AD — BC,

et en élevant au carré BD*=AD + BC* — 2AD.BC ou, en substi-

tuant à AD et AD*leurs valeurs, BD=-^-|- BC - BC. AC v'î.

C'est AB que nous voulons obtenir en fonction de quantités connues. Or AB*=: Al) -f- BD*. Introduisons-y les valeurs de AD et BD, il viendra alors

ÂB— BC*- BC. AC j/5— (AC - BC)* + BC*. AC (î-v/^)

OU (AC+BC)* — BC. AC (î -f- p'î).

La hauteur AB sera donc connue lorsqu’on aura mesuré AC et BC par les méthodes indiquées. Si C était plus élevé que B, la per* pendiculaire AD tomberait dans l’intérieur du triangle , on aurait DB = BC — CD au lieu de DB= CD — BC, et la valeur de AB à laquelle on arriverait, serait toujours donnée par la même expression que dans le premier cas.

Quand le terrain est horizontal, BD devient égal à zéro : AB = AD=BC = BD — 2.

AC = AB i/î el Âb’— ÂC*+ BC— AC. BC kî

s« réduit à

TOPOGnAPHIB.

Ab’= AC* + Bc’- Wi 1/3 AB. BC — Ac' d- BC’— ÎAb!

et enfin AC) ce qui est conforme à ce que l’on connaît du triangle rectangle isocèle.

Si l’on ne peut se placer de manière à former l’angle de 50% on plante deux jalons CP et OK (fig. 134 bis), de manière que leurs extrémités supérieures C et O soient en ligne droite avec A. On mesure par l'un des moyens connus UC et OA, souvent même la première longcur OC peut être obtenue immédiatement. L’œil étant en O et visant B, on marque sur le jalon CP le point D qui se trouve dans la direction de BO ; puis, mesurant CD, on a AB an moyen de la proportion

oc:oa;;cd;ab=2^

166. Passer d'une base trop peHte à une autre gui soit double en longueur.

Si les localités n'ont permis de mesurer que la base AB {(ig. 136), on fait en A un angle de 66%66 et un angle droit en B ; la rencunUe des deux lignes .\C et BC détermine un triangle dans lequel AC = 2AB. Pourle démontrer, proldbgeons ABd’unc quantité égale BA' et joignons A' à C. Les triangles ABC,A'BC seront égaux, ainsi A = A' et les deux angles contigus en C sont égaux aussi. Leur ensemble, qui forme l'angle total C, est donc les | d’un angle droit, il en résulte que le triangle ACA’ est équilatéral ; que AC = AA' et qu'ainsiAB=j AC. On a donc obtenu un côté double de celui mesuré.

Les solutions que nous venons de donner suffisent pour faire sentir de quelle utilité peut être l'équerre à miroir dans les circonstances où se trouve fréquemment un militaire ; obligé de tracer des directions ou de mesurer des distances , il ne peut avoir avec lui que les instruments les moins volumineux, les plus portatifs ; et, à ce titre, aucun n’est préférable à l’équerre à miroir.

167. La grande perte de temps qui résulte de l’emploi de la chaîne ou de celui de la stadia, pour la mesure des distances, a engagé plusieurs personnes à se livrer à la recherche d’autres instruments destinés au même objet, mais n’exigeant pas, comme les seuls qui soient connus jusqu’à présent , le parcours même

INSTROMEMTS A RÉFLEXION.

de ces distances. On atteindrait le but le plus utile à la topograpbie si l’on pouvait connaître la distance qui sépare un point de station d’un autre point, déterminé seulement par un objet de. forme quelconque et nop pas par une mire graduée comme l’exige l’emploi de la stadia, mire dont le transport au point à déterminer est obligatoire.

C’est en raison de l'importance du résultat qu’on a en vue, que nous allons expliquer les tentatives qui ont été laites à ce sujet, tentatives que quelque nouvel explorateur pourra peut-être faire fructiGer.

On s'est appuyé dans ces essais sur les principes de la double réflexion exposés précédemment.

Le premier instrument proposé se compose d’une règle graduée MN (pg. 135 ter) : à l’une des extrémités M, est placée dans une direction qui lui est perpendiculaire, une lunette O, en Gice de laquelle un miroir M est Gxé invariablement sur la règle avec laquelle il fait un angle de 60< : il n’est étamé qu’en partie, dp manière que la lunette puisse faire voir à l’observateur dontl'mil est en ü, un objet, tel qpe A, situé en avant. Un second miroir N, entièrement étauié, est maintenu sur la règle par un coulis^ seau garni d’une vis de rappel destinée à lui imprimer les plus légers mouvements dans le sens de la règle. Quelle que soit son inclinaison sur elle, il est évident que, si elle est sulDsamment longue, on trouvera toujours une position du miroir N, telle que le faisceau lumineux émanant de .\ qu’il réfléchira, sc dirigera suivant NM, et viendra rencontrer le miroir M en sa partie étamée. Ce dernier, en vertu de la position qui lui a été assignée, renverra ce faisceau de M en O, de manière que l’observateur éprouvera la doublé sensation simultanée produite par l'objet A luimème et par son image. A ce moment, il y aura entre les longueurs MN et M.A un rapport qui sera eonstant, quel que soit l'éloignement d’un objet lel que A, en supposant toutefois que l’inclinaison du miroir sur la règle soit aussi constante.

Cberchons ce rapport. On a évidemment,

Ung.« = ^ et «=>100» — (ÏOéf —in) * in — 400* «•— c«t.i»i

Ultg.w ^ “

En admettant que le miroir N soit toujours incliné sur MN, de l’angle n rigoureusementoonstant,j; sera toujours proportioimel

à la distance à mesurer s, mais voyons quelle erreur entraînera une variation impossible à éviter, sur la valeur de cet angle. Supposons que Tinstrument doive être gradué de manière à

donner ^ = 1 000 ; alors, tang. 2n = — 1 000 . L’angle 2n doit donc

être > 100*, d’une quantité que nous désignerons par « , et on pourra écrire

Ung.Sn »■ t(Dg. (t00*-|-v) —— cot.v — i tOOO.

En cherchant la valeur de v répondant à cot. r = 1000 , on trouve t>=0*,0636",6; par conséquent,

Pendant le mouvement du miroir N le long de la règle graduée, l’angle d'inclinaison ne pourra pas rester mathématiquement constant ; voyons l’effet que produira une variation fort petite, 1 ' par exemple.

Désignons par x' la nouvelle longueur de la règle répondant à la même distance s, avec la nouvelle inclinaison i60*,0318, on aura

UDg.(în+2')—l*ng.t00«,O837— toi. 0,0837 .-y

ce qui conduit à

en sorte que la lecture x' que l’on fera sur la règle, sans tenir compte de la variation angulaire, sera prise comme se rapportant à l’échelle de tandis qu’elle devrait être comptée comme faite au Ainsi, par exemple, dans une telle circonstance, on estimerait x = 0'”,l comme répondant à une distance s=100% et la distance réelle ne serait pourtant que de Te"*,!.

L’influence du déplacement serait plus considérablë pour des échelles plus petites, et moiudre pour des échelles plus grandes.

Comme notre supposition de 1' de dérangement dans l'inclinaison du miroir mobile, pendant le mouvement longitudinal de ce miroir est en deçà des limites possibles, il s'ensuit que l’on ne pourrait avoir aucune confiance dans les résultats obtenus.

Nous nous sommes occupé personnellement de la recherche d'un instrument du genre de celui dont nous venons de donner la description. Soient {fig. 7, pl. 19) M et N deux miroirs parallèles invariablement fixés, L une lunette armée d’un micromè-

INSTRUMEMTS A RÉFLEXION. 16a

tre, et placée vis-à-vis du miroir N étamé à moitié. Si dans la direction SL de l’axe optique de cette lunette, on place une série de points tels que S envoyant des rayons lumineux sur le miroir M, le lieu des images de ces points sera la ligné OS' inclinée sur M du même angle m formé par ce miroir avec l’axe optique LS. Le point S, par exemple , sera remplacé par une image virtuelle S' située également sur SS' perpendiculaire à M. En vertn de l’existence du second miroir N, les rayons partis d’un point quelconque du premier lien géométrique OS se réfléchiront de manière à former un second lieu géométrique O'S" symétrique à O'S' par rapport à N, et par suite parallèle à l’axe optique LS, et en définitive, il se formera, relativementau point S, une dernière image virtuelle S" dont les rayons pénétreront daus la lunette. Celle-ci aura donc connaissance, simultanément, des deux points S et S '. Nous rentrons , dès lors, dans le cas d’une stadia à micromètre et à mire constante , sans avoir été obligé d'employer une mire effective.

Le point important à examiner est la grandeur de cette mire. Sans envisage^ la question de la manière la plus générale pour une inclinaison quelconque du miroir sur la ligne de visée, contentons-nous de dire que le cas le plus favorable, pour la disposition des miroirs, est celui oà cette inclinaison sera de 50'. Pour celte circonstance particulière, la mire artificielle Ss ou S"£ (Ss=S"s sont très-petits par rapport à LS) est égale à l'écartement E des deux miroirs , mesuré perpendiculairement à l’axe optique.

Malheureusement ces miroirs ne pourraient jamais être écartés considérablement. Ainsi, l’application du système à une planchette ne fournirait qu’une mire d’environ O", 5.

Nous ne pouvons pas entrer ici dans des discussions de formules tendant à trouver les approximations possibles, aux diverses distances; 'nous dirons seulement qu’on pourrait arriver, peutêtre, à mesurer une distance de lOO** à un mètre près.

Cet instrument aurait sur le précédent l’avantage de la constance du parallélisme, tandis que dans l’autre on ne peut pas répondre de la constance de l’inclinaison. Ce parallélisme serait établi et vérifié aussi souvent qu’on le voudrait , en visant un objet très-éloigné qui devrait donner à peu de chose près la superposition des deux fils du micromètre.

Les deux instruments seraient sujets, également, à une cause d’erreur qui aurait, croyons-nous, une grave importance.

TOPOGRAPHIR.

lee

sur les résultats. Par suite même du but qu’on se propose d’at*teindre, les objets à viser directement et par seconde réflexion (peu visibles dans tous les cas) seraient des points quelconques de la campagne, d’un mauvais pointé, et il serait, par consé-^ quent, diifieile d’amener la superposition des deux images aveu le premier instrument, ou de mesurer leur distance par l'emploi du second.