CHAPITRE IX

nivelleheut.

169. Après avoir parlé de tout ce qui concerne la projection orthogonale des points, il nous reste à indiquer les moyens d obtenir leurs ordonnées verticales ou cotes. Tel, est le but du^ nivellement. Les plus grandes opérations qui y sont relatives n exigeant pas qu’on ait égard à l’ellipsité de la terre, nous la considérerons comme une sphère de 40 millions de mètres de circonférence et d’un rayon égal à 6,366,198“'. „

On nomme surface ou ligne de niveau toute surface ou ligne parallèle à la surface des eaux de la mer. Ainsi doux points son dits de niveau lorsqu’ils sont également distants du centre de

TOPOGBAPHIE.

la terre. S’il en est autrement, il existe entre ces deux points une différence de niveau, et c’est dans l’évaluation de cette différence que consistent la théorie et la pratique du nivellement. Les points A et B étant inégalement éloignés du centre 0{fig. 136) de la terre, leur différence de niveau comptée sur la verticale de B est Br.

170 . Les instruments dont on se sert pour ce genre d’opérations ne donnent que la tangente AB" au premier élément de la courbe, de sorte qu’ils conduisent à déterminer BB" et non BB'. Cette ligne AB" est dite niveau apparent, et l’on désigne l’arc de cercle AB' sous le nom de niveau vrai. B'B", différence du niveau vrai au niveau apparent, est donc la première chose qu’il faut apprendre à trouver pour pouvoir ensuite arriver à une connaissance exacte de la différence de niveau entre deux points A et B. Jusqu'à une certaine limite, 300” environ, la différence B'B" est sensiblement nulle ; au delà, il faut y avoir égard. Ceci est subordonné cependant à l’exactitude de l’instrument que l'on emploie. Ainsi, par exemple, il sera très-inutile de calculer cette différence à 400”, où elle ne porterait que sur la cinquième ou la sixième décimale, tandis que l’instrument ne fournirait la cote qu’à un centimètre près.

Pour trouver B'B", servons-nous de la propriété dont jouit la tangente à un cercle, d’être moyenne proportionnelle entre la.sécante entière et sa partie extérieure. Désignons par K la projection de la distance entre les deux points ; B'B" par h et le rayon de la

terre par R, nous aurons K’=A (2R A) d’où A=|g-q^.

On résout approximativement, en négligeant h au dénominateur du second membre, comme étant une quantité extrêmement petite par rapport au diamètre du globe.

On a donc pour une certaine distance K, (o).

Le résultat serait le même, si l’on effectuait la multiplication qui donnerait

K» = ÎRA-1-/.*

en remarquant que h étant très-petit, on peut ramener l’équation à n’être que du 1" degré, en négligeant h*.

Rh

Pour une autre distance K', on aura également h' = d’ou A ; à' : ; K’ : K'* : c’est-à-dire que les différences du niveau

NIVELLEHENT. 173

vrai au niveau apparent sont proportionnelles aux carrés des distances.

Si donc on a calculé A au moyen de (a) pour K= 1000'°, on trouvera pour une longueur quelconque K'=:1500'°,

Cette formule peut se calculer facilement par logarithmes en ajoutant au logarithme de la quantité constante

de celui de 1500. On a construit, d’après ce procédé, des tables qui abrègent ce calcul.

171. Il existe une autre cause d’erreur sur l’appréciation exacte de la différence de niveau entre deux points : c’est la réfraction. Son influence étant très-peu sensible sur les plus grands côtés qu’emploie la topographie, nous n’en ferons pas mention ici. Au surplus, cette théorie est développée au livre V {Géodésie), % AAO. C'est là que l’on trouvera la démonstration de la formule qu’il faut employer, quand on veut opérer avec la plus grande précision. Faisons remarquer, en annonçant seulement que la correction relative à la réfraction est soustractive, de quels éléments divers se compose la différence de niveau entre A et B, que noos désignerons par dN.

Représentons par dT la hauteur AA' ou B"B"' de l’instrument ifig. 138);

B'B" la différence du niveau vrai au niveau apparent par h ;

B'"&’ le côté vertical du triangle rectangle A'B"’B" par H ; et BB" erreur de la réfraction par r;

11 en résultera que dN = dT-|-A-|-H — r.

172. Instruments propres an nivellement. Ces instruments se divisent en deux classes dont l’usage est bien distinct. Les plus simples donnent seulement la ligne de niveau (nous désignerons ainsi le niveau apparent, quand nous n’ajouterons pas la qualification de vrai). Les autres mesurent l’inclinaison d’un rayon visuel ou d’une direction quelconque sur la ligne de niveau.

Ils sont tous fondés sur l’un des trois principes suivants :

1* Horizontalité de la surface d’un liquide en repos dont chaque élément, normal à la verticale, donne sensiblement la direction du plan tangent horizontal au point où cette surface peu étendue est en station ;

T0P0CRAPHI8.

2° Verticalité constante du fil à plomb;

3® Différence de pesanteur des liquides ou d’un gaz et d’un liquide, dont le plus léger s'élève davantage.

Le troisième principe est le plus souvent employé. Il donne naissance au niveau à bulle d’air, élément essentiel de tous les instruments de nivellement présentant une grande exactitude. Quand un corps fermé contient un liquide et une bulle de gaz, en vertu des lois de la gravitation, cette bulle occupe la position la plus élevée, et sou milieu est au point de tangence horizontale, si la section du corps est un arc de cercle.

Dans le cas ou cette section ne serait pas un tel arc, le point de tangence horizontale ne correspondrait plus au milieu de la bulle, mais peu importerait, car on ne se sert pas de cette horizontale elle-même, s’il n’y avait lieu de tenir compte de l'effet de la dilatation. On n’en serait pas moins assuré que la bulle étant dans la position même qu’elle occupait lors d'une première expérience, le niveau à bulle et toute la partie de l’instrument fixée après lui seront matériellement placés de la même manière par rapport à la verticale.

Hien ne semblerait devoir empêcher le remplacement de la bulle d’air par une bulle d’un liquide plus léger que le premier j mais la température variant, les liquides, en se condensant, laisseraient apparaître une petite bulle de vapeur, et en se dilatant, ils feraient éclater l’enveloppe, qui doit être de verre, pour qu’on puisse juger si la bulle occupe la position qu’on lui a assignée lors du règlement préalable qu’exige tout instrument muni d’un tel niveau à bulle. Il faut donc que l’intérieur du tube renferme un seul liquide et une bulle d’air ou un vide promptement pocupé par de la vapeur d’une tension variable avec la température. De cette sorte, le seul effet produit par la variation de cette température sera une augmentation ou une diminution de l’espace occupé par la bulle. Mais alors, si la section du niveau était quelconque {jiy. I3îi bis), il faudrait que la surface du verre poptdl une série de divisions indiquant les positions occupées par la bulle, dans ses différents états de grandeur. Pour éviter cet in* convénient, il suffit que la section devienne circulaire, car alors, pour que l’instrument se trouve placé par rapport à la verticale, de la même manière que dans l’expérience de vérification, il suffira que la bulle occupe la même place ou qu'ayant augmenté ou diminué de volume par l’crfet de la chaleur, ses extrémités aient marché en sens inverse, de longueurs égales facilement esti-

HIVKLLEMBNT.

mées an moyen de divisions égales marquées sur le verre. Pour vérifier la forme circulaire du tube, on pourrait le soumettre à diverses températures, en le laissant dans une position fixe, et voir si la bulle parcourt des divisions symétriques.

Nous avons dit que les instruments les plus exacts étaient fondés sur l’emploi du niveau à bulle d’air. Il faut pourtant mentionner une exception provenant d’une cause d’erreur très-pelite, il est vrai, insignifiante pour la topographie, mais qu’il est utile de faire disparaître, quand cela est possible, pour les opérations qui exigent une très-grande précision.

Lorsqu’on cale le niveau à bulle, c’est-à-dire lorsqu’on cherche à l’amener dans la position adoptée, la bulle tend à prendre la position répondant à la tangence ho. izontale, mais cela en vertu d'une force extrêmement petite, lorsqu’elle arrive proche de cette position. D’un autre côté, son mouvement est retardé par le frottement de tout le liquide contre les parois, et l’équilibre peut s’établir entre ces deux forces contraires un peu avant que l’une d’elles, celle qui détermine l’ascension , soit nulle, c'est-à-dire avant que la bulle soit arrivée à la position convenable. Pour obvier à cette cause d’erreur, on établit maintenant des instruments fixes, ne pouvant servir que dans des circonstances toutes particulières, dans lesquels on invoque le premier principe, celui de l'horizontalité d'un liquide en repos. Sans entrer dans de longs détails à ce sujet, nous dirons seulement qu’il sullit de diriger l’axe optique d’une lunette sur une telle surface horizontale, et qu’on sera assuré de la verticalité de cet axe oi>tique lorsqu'on verra le réticule et son image superposés.

173. Niveau d’eau. Il est composé d’un tube cylindrique de ferblanc ou de cuivre, recourbé aux deux extrémités ijig. 130) à angles droits sur la première direction. Deux fioles en verre, d’égal diamètre, bien jointes au tube, s’y engagent de part et d’autre. Une douille taisant corps avec l’instrument et soudée au milieu du cylindre sert à le fixer sur un pied à trois branches, en lui lais«>ant le jeu nécessaire pour faire un tour d’horizon. On verse l’eau par l’une des ouvertures, jusqu’à ce qu’elle monte dans les deux fioles, aux \ environ de leur hauteur. Lorsque le liquide, après sa chute dans le tube, est entièrement calmé, les plans qui le terminent dans l’une et l’autre fiole appartiennent à une même surface de niveau en vertu d’une propriété connue des liquides. Si l’on imagine une tangente commune aux inter-

sections de ces surfaces avec le verre, ce que l’on peut faire de quatre manières diiïérentes {fio. 140), on aura la direction de la lif^nc de niveau. Il est d’autant plus facile déjuger la' position de cette tangente, que les petites surfaces sont terminées, en vertu de ratlinité des corps, par une espèce d’onglet qui parait noir. Pour agir avec plus de précision, on se met, pour viser, le plus loin possible de l’instrument.

Nous avons dit que les fioles étaient de même diamètre ; si cette condition n’était pas sensiblement satisfaite, les opérations seraient défectueuses, puisque la ligne de niveau varierait pour chaque position que prendrait l’instrument en faisant un tour d’borizon. En effet, supposons que, dans une position première, la ligne de niveau soit pn (fig. 141), tes deux fioles étant de diamètres différents, l’une double de l’autre par exemple : si le support DP était parfaitement vertical, et le tube exactement horizontal, le mouvement de rotation que l’on imprimerait autour de DP n’apporterait aucune modification, mais ces conditions ne sont jamais entièrement remplies. Il en résulte qu’en faisant tourner de 200», 1a petite fiole qui était en A viendra en B. Admettons, pour faciliter l’explication de ce qui se passe, que le déplacement du liquide ne se fasse pas d’une manière continue, pendant que l’on tourne l’instrument, ou, si l’on veut, qu’il soit../ congelé pour un moment. La surface mn prendra la position m'n' et pq deviendra p'q', de telle manière que pn' = p'n. Rendons actuellement à l'eau sa fluidité : le poids du cylindre m'n pt pesant sur le reste du liquide, tendra à l’élever dans le petit tube : il sera d’abord employé, en partie, à remplir la partie cylindrique vide p'q' nu; mais nous avons supposé l’un des cylindres d’une base double de l’autre, et comme les hauteurs p'n,pn' sont égales, il s’ensuit qu’il restera encore la moitié du liquide qui occupe ptm'n'. Il se partagera entre les deux fioles pour rétablir l’équilibre et élèvera ainsi la ligne de niveau de pn qu’elle occupait d’abord en rs. Rien de plus facile que de préciser l’erreur DD' pour le cas particulier que nous avons considéré. Le poids des deux petits cylindres liquides qui ont élevé la ligne de niveau, doit être le même, et, puisqu’ils ont même densité, ils auront même volume. Il faudra donc, en désignant par V,B,H le volume, la base et la hauteur de l’un des cylindres, et parV',B',H' les mêmes quantités relatives à l’autre, que l’on aitV=V' ou BII = B H' et que leur somme équivaille à la moitié du cylindre qui avait pn’ pour hauteur et B pour base; donc ^pn*

NlVtLLEMEST. 177

+ : d’ailleurs aussi H el H' doivent être égaux,

puisque les deux lignes de niveau sont nécessairement parallèles, donc p»'BH=H (B -f B ). Nous avons dit que le rapport de capacité des fioles, et par conséquent de leurs bases, était celui de 1 à 2; ainsi

oa pn'.^3H et enGo H=1 pn»

pn' n est autre chose que la düTérence de niveau entre les deux extrémités du coude : l’erreur sera donc d’autant plus grande que 1 instrument sera plus incliné et aura plus de longueur. En faisant pn' nul, l’expression de H trouvée plus haut justifie ce que nous avons dit, qu’il n’y aurait pas de correction à faire si 1 instrument était bien placé.

Si l’on supposait le rayon de B double de celui de B', il s’ensuivrait que le quart seulement du liquide contenu dans la plus grande fiole aurait été employé à amener le liquide de la seconde a la ligne de niveau pn, et par suite;pn'B = H (B + B') elH = = pn'.

Quand on reste longtemps en station au même point, on a égard a étaporalion, surtout si le soleil frappe sur l’instrument, ou a augmentation du liquide s’il pleut : car alors la hauteur de la surface de l’eau varierait. Ordinairement, pour obvier à ces inconvénients, les deux fioles sont recouvertes de tuyaux métalliques fermés par un bout, que l’on retire quand il est nécessaire. Ils ont encore pour but d’empôcher le liquide de se ré- . pandre dans les mouvements de translation. Si l’on opère dans hiver, on peut se servir d’alcool au lieu d’eau pour éviter la congélation.

174. Pour savoir à quelle hauteur la ligne de niveau ab {fig. 142) passe au-dessus du point B, on y place une règle graduée Bb que on nomme mire. Cette règle a ordinairement deux mètres de haut et peut en avoir quatre en la construisant en deux parties.

1 petite planche mince, nommée voyant,

de 16 à 20 centimètres de hauteur et partagée en deux par la ligne de visée bb' {fig. 143). Les deux compartiments sont peints de deux couleurs tranchantes. Le voyant est maintenu sur la règle par une vis de pression que l’on serre, lorsqu’après avoir haussé ou baissé d’après les signes que fait l’observateur, il se trouve que la ligne de niveau passe par bb'; alors on compte les divisions comprises entre P et bb'. Il existe plusieurs formes de

178 TOPOCRÀPHIE.

mire dont le mécanisme est assez simple pour être compris k première vue.

175. Niveau à bulle d'air de Chézy. Cet instrument se compose d’une lunette AB {fig- 14i) emboîtée dans deux collets C et D dont elle peut sortir, et qui sont supportes par deux montants égaux CE, ÜF; ceux-ci reposent sur une règle EF. Dessous la lunette est adapté un niveau à bulle d’air dont la position peut être modifiée au moyen d’un mécanisme placé en 11 et d’une articulation G. Tout ce premier système pivote sur le point 1 appartenant à la tige IP. Cette lige est composée : 1“ de la partie IL formée de deux plaques parallèles qui laissent entre elles un passage à la courbe métallique ELF adhérente au premier système. Le mouvement prompt dans ce sens se fait avec la main, et le mouvement doux avec une vis de rappel K tangente à la courbe en L; 2“ du tambour cylindrique MN évidé en gorge et dans lequel s’engrène une seconde vis tangente N j 3“ de la partie conique PQ qui s’enfonce dans le pied et qui jouit de la faculté de tourner avec tout l’appareil. Ainsi donc, pour se servir de cet instrument, on rend la surface supérieure du tambour MN horizontale à vue, le mieux possible. On assure les pieds, on fait tourner tout l’instrumcnl autour de Taxe IP, jusqu’à ce que le 111 vertical de la lunette couvre la mire. C’est la vis N qui, pour cette opération , produit les mouvements doux, lorsque l’on a serré la vis de pression QO, attachée au pied, qui presse une portion de surface annulaire contre le haut de la tige conique PQ. On donne ensuite au premier système un mouvement dans le plan vertical, jusqu’à ce que le niveau GH soit parfaitement calé; puis, faisant placer le voyant de telle sorte que sa ligne de visée se confonde avec le fil horizontal, l'opération est terminée.' La lunette, construite comme celle de l’alidade et de la boussole, est une lunette astronomique. i^Pour le niveau, voir sa description au livre V, Géudesie, cercle répétiteur, S 362.)

La vérification du niveau de Ghézy consiste en deux choses : 1* Taxe optique de la lunette doit être le même que celui du tube qui en forme le corps : car, s’il eu était autrement, la lunette pouvant tourner dans ses collets, l’axe optique décrirait une surface conique dont toutes les génératrices ne feraient pas le même angle avec le niveau supposé fixe. Pour voir si cette condition est remplie, on vise, à une grande distance, une ligne de niveau que l’on fait couvrir par le fil horizontal, en plaçant la tête de la vis

NITELLBHENT.

da réticule dans la partie supérieure de la lunette; on la retourne dans ses collets, de manière que celte tête de vis soit dans une situation diamétralement opposée à la première, et l’on regarde de nouveau dans la lunette. Si le 61 horizontal ne coïncide plus aVec la ligne visée, on modifie la position de l’axe optique, en faisant parcourir la moitié de la différence par le 61 horizontal, au moyen de la vis du réticule, et l’antre moitié par tout l’instrument, à l’aide de la vis tangente K. Pour s’assurer que la correction est bien faite, on recommence l’épreuve ; 2® l’axe Optique de la lunette doit être horizontal lorsque le niveau est calé. Pour s’en assurer, on cale le niveau dans une position, puis on retourne la lunette bout pour bout, après avoir ouvert les collets. Si l’instrument n’a pas bougé du reste, le niveau doit être encore calé après le retournement, car cette circonstance dit, en effet, que la ligne des collets restée Oxe est parallèle à la tangente menée au milieu de la bulle, c’est-à-dire horizontale ; comme l’enveloppe delà lunette repose sur cette ligne des collets, elle est elle-même horizontale , ce qui entraîne également la même Condition pour l’axe optique , par suite de la première vérification.

Si le niveau s’est décalé, dans le retournement, on le recale à moitié au moyen du mouvement H. L’instrument, dans ce cas, ne sera réglé qu 'après quelques tâtonnements.

176. Ifiteau, à ylateau. Celui<i nous parait d’un usage plus facile que le précédent, il se compose d’un plateau circulaire que l’on rend horizontal, et d’une lunette qui, pivotant sur le centre du plateau , s’appuie constamment sur lui. On conçoit déjà que si l’axe optique est rendu parallèle au plan du limbe, il décrira aussi un plan horizontal.

Soit donc AB [ftg. 145) le limbe supporté par une colonne terminée à sa partie inférieure par un pied à trois branches dans lesquelles se meuvent trois vis a destinées à faire varier la position du limbe. DE est une'lunetle passant dans deux collets rectangulaires de mêmes dimensions, qui peuvent glisser sur le plateau. Elle porte à son milieu deux petits tourillons dont l’un s’engage dans le centre évidé C du plateau, et dont l'antre, qui se trouve alors situé à la partie supérieure de la lunette, maintient un niveau à bulle OH. On comprend que le but de ce niveau est de.régler l’instrument et, pour cela, on le place d’abord dans la direction de deux vis du pied, au moyen desquelles on le cale,

puis ensuite on lui donne une position rectangulaire qui correspond à la troisième vis, et avec celle-ci on le cale encore.

Les vérifications de cet instrument se font comme il est indiqué au paragraphe précédent, pour la lunette, et comme il sera indiqué à l'article Théodolite, pour l’horizontalité du plateau.

177. Niveau de Porto. Le niveau qu’a conçu et longtemps employé M. Porro, remplit le même but que celui de Chézy etdonne une horizontale avec autant de précision que lui, avec plus peutêtre : car la différence de niveau cherchée est, si l’on veut, comme nous le dirons bientôt, la moyenne de deux lectures; mais ce que ne donne aucun des instruments précédemment décrits, c’est la distance en même temps que la hauteur.

Cet instrument .se compose d’abord de deux pièces principales : une lunette AB et un niveau à bulle ab {fig. 8, plancheXW).

ab est placé latéralement à la lunette; ac,bd, sont des appendices du niveau et se terminent en pointes vers la lunette. Dans celle-ci sont pratiqués deux petits trous légèrement coniques, et précisément de même forme que les pointes c,d, qui s’y engagent lorsqu'il s’agit de fixer l’un à l’autre la lunette et le niveau ; à ce dernier est adaptée une petite vis à tète, c, destinée à le régler.

Pour vérifier et rectifier l’instrument, on cale le niveau à l’aide d’un mouvement dont nous décrirons le mécanisme plus tard : on observe avec la lunette la mire placée en avant, puis rendant la lunette indépendante du niveau, on lui fait faire une demirévolution autour de son axe. On introduit de nouveau les pointes c,d dans les cavités qui leur sont destinées, avec cette différence, par rapport à la première position, que les places sont alternées. Dans celte nouvelle position, la bulle du niveau étant replacée dans ses repères symétriques, l’axe optique prend la même position que précédemment ; mais l’objectif ayant pris la position de l’oculaire et réciproquement, il faut, pour que la seconde observation soit possible, imprimer un mouvement de 2U0< dans le sens azimutal, afin de ramener l’oculaire vers l’ceil de l’observateur.

Si l’axe optique de la lunette n’est pas parallèle à celui du niveau, on s’en aperçoit de suite, puisque, après avoir réglé le niveau qui a dû se déranger dans le retournement, la ligne de visée déterminée par l’axe optique n’atteint plus la mire à la même division.

NlVELLKMfNT. 181

Si w et n représentent les deux lectures, il est évident que celle qu’on lirait, si l’instrument était réglé, est ^ ; tandis que l’erreur de parallélisme entre les axes du niveau et de la lunette est —

Il faut donc rendre cette quantité nulle, ce qui se pratique, comme dans le niveau à bulle de Chézy, au moyen du mécanisme consacré à cet usage : c’est ici la petite vis r.

On est assuré que la condition indispensable de parallélisme est remplie lorsque m=n,

La lunette, qui est à la fois anallatiquc et diaslimométrique (voir la description qui en sera donnée livre IV, chap. v, S 332), donne en même temps, cummenous l’avons annoncé, la distance et la cote.

Soient ab {fig. 9, planche XIX) l’axe optique de la lunette qui, par la visée, détermine le point A sur la mire. Disons, en passant, que ce n'est pas d’une mire à voyant mobile que l’on fait usage, mais d’une mire parlante, c’est-à-dire de celle décrite lors de l’explication de la stadia. On se rappelle qu’elle consiste on une règle de hauteur convenable, sur laquelle sont pointes, d’une manière très-apparente, des divisions qui se distinguent bien sous les fils de la lunette à la plus grande distance que comporte la force de l’instrument.

a' et a" sont deux autres fils horizontaux placés aussi au foyer de la lunette et dont les écartements, par rapport au premier fil O, sont tels qu’ils déterminent, l’un une pente ascensionnelle, l’autre une pente de dépression d’un centième de la distance.

Si donc, au lieu de lire la cote indiquée par le fil a et que nous désignerons par H, oq lit les cotes H' et H" correspondant aux fils a', a'', on aura évidemment

La distance D de l’observateur à la mire sera

Nous ferons remarquer en passant, et par anticipation, que dans les lunettes anallatiques le point b (fig. 9, planche XiX) correspond au centre de l’instrument.

Au lieu de donner aux divisions de la mire des dimensions

arbitraires, supposons qu’elles soient égales chacune à un centimètre, nous aurons

Mh=P'4 — X0-,0< et D«.60-(H' — e<)

Si l’on donnes centimètres aux divisions de la mire, il viendra

On conçoit que plus grandes sont les dimensions des divisions de la mire et plus grande est l’exaclilude de lecture. C’est pour ce motif que M. Porro, après avoir doublé l’écarlemcnt des fils a' et a", a divisé sa mire de quatre en quatre centimètres.

Indiquons maintenant les différentes parties du support.

Sur un pied ordinaire en bois P {fig. 10, planche XX) qui sert à porter l’instrument, on remarque à la base de celui-ci deux disques mm,nn, d’épaisseurs inégales. Ce sont deux coins pris dans une sphère dont la face commune de séparation est un grand cercle. Us sont assemblés au centre, de manière à pouvoir tourner l’un sur l’autre et à constituer ainsi un coin à angle variable, dont la plus grande pente peut varier en azimut sur le pied P. Ce sont les deux manches q et q' qui facilitent cette manœuvre. Un petit niveau sphérique, placé dans la cuvette oo', indique l’horizontalité de la face supérieure du coin.

Ce mécanisme simple et solide produit l’effet obtenu dans les autres instruments précédemment décrits par des procédés qui peuvent varier de l’un à l’autre.

Deux chevalets s, s s’élèvent sur le fond mobile delà cuvette et viennent supporter l’axe de rotation de la lunette, qui est montée comme celle des théodolites. Le niveau, garni d’une douille que traverse l’axe de rotation, est donc libre tant que les pointes c,d ne sont pas engagées dans les petits trous correspondants du tube de la lunette. Les tourillons de l’axe de rotation peuvent glisser horizontalement sur leurs collets, de manière a permettre de rendre dépendants ou indépendants l’un de l’autre, à volonté, les deux éléments principaux de l’instrument.

Les chevalets s, s sont assez élevés pour que l’inversion de la lunette dans le sens vertical puisse se faire sans rien démonter.

Sur une portion de l’axe de rotation est adapté un manchon faisant corps avec un bras de levier en cuivre sur lequel agit la vis de rappel r, lorsqu’on serre un bouton de pression convenablement disposé.

NIVELLEHENT.

La surface conique intérieure de la lunette est divisée en grades, pour y lire au besoin l’angle horizontal par un moyen catoptrique qu'on décrira plus lard.

Deux petites pièces placées en c et d, que l’on n’a pas pu indiquer sur la figure, mais dont la forme se conçoit aisément, sont percées de plusieurs trous analogues à ceux que d’abord nous avons désignés par c et rf. Ces trous sont exactement espacés de 1», le centre étant supposé sur l’axe mathématique de l’axe de rotation. Leur emploi, combiné avec les divisions du niveau ah, permet de faire fonctionner l’appareil dans des conditions déterminées autres que le parallélisme de la lunelte et du niveau. 11 s’emploie alors comme le clisimètre de Chézy, que nous décrirons dans l’un des prochains paragraphes, et facilite beaucoup les opérations de nivellement dans les pays des montagnes.

178. Niteau réfteeleur de Burel. Cet instrument est formé par un cube de cuivre dont les arêtes ont 0“’,02. A l’une des faces est adapté un anneau A (fig. 146), destine à soutenir, en y passant le doigt, le niveau à la hauteur de l’œil. Le point de suspension de l’anneau peut varier au moyen d’un chariot B, qu’en tournant, fait mouvoir la vis CD qui le traverse. Sur la face EFGIl est applique un miroir sur lequel est tracée une droite parallèle à la base et aboutissant à deux pointes L et M en saillie sur les flancs du cube. Pour opérer, la ligne LM doit être horizontale et le plan du miroir vertical. Supposons qu’il en soit ainsi, et indiquons l’usage de l’instrument ; puis ensuite, nous verrons comment on s’assure que ces conditions sont remplies. On élève le niveau jusqu’à ce que LM partage en deux e.xaclcment l’image de la prunelle de l’œil, et, dans ce cas, la ligne LM et sou image se superposent; il en résulte que le plan passant par l’œil et par LM est normal au miroir, et par conséquent horizontal si celuici est bien vertical.

Dans cet état de choses, l’observateur, au moyen des pointes L et M, peut indiquer au porte-mire placé en avant dans quel sens il faut faire mouvoir le voyant pour que la ligne de visée soit dans le plan horizontal passant par l’œil. La dilTérence entre la hauteur de l’œil au-dessus du sol et la lecture faite sur la mire donnerait la différence de niveau entre les deux points; mais, dans l’usage de cet instrument, aussi bien que des précédents, on fait abstraction du lieu où sc trouve l’observateur; on opère pour un second point comme pour le premier, cl la différrnee

iOPOGKAPHie.

des lectures donne la différence de niveau des deux points visés. Pour s’assurer que l’ou a satisfait à la première condition, celle de la>erticalitédu miroir, on se place devant un mur ST (/îff. H7). Soit FH la position du miroir : on fait tracer sur le mur son intersection P avec le plan passant par l’œil et les deux pointes de l’instrument; on tourne le dos au mur et l'on replace l’instrument à hauteur de l’œil. Soit F'H' la nouvelle position du miroir, le plan passant par l’œil en O' et par les deux pointes lui sera toujours normal. Son intersection sur le mur sera en p', et pour la trouver, l'observateur regardant un peu obliquement dans le miroir, indiquera à un aide placé auprès du mur la ligne qu’il faut qu’il trace pour que sa réflexion se confonde avec la ligne gravée sur le miroir. Si, comme l’indique la figure, les droites projetées en p et p' ne coïncident pas, cela prouve que le miroir était incliné. Les angles FLF, pLp', sont égaux comme ayant leurs côtés respectivement perpendiculaires, et chacun d’eux est le double de l’angle que forme le miroir FH avec la verticale LN. Si donc, en tournant la vis CD {^g. 146), on change le point de suspension, on arrivera, après quelques essais, à détruire cette erreur. Alors, dans les deux positions, le miroir sera vertical et les traces sur le mur, représentées par p et p', se réuniront en P. Si la trace LM n’était pas horizontale, on s’en apercevrait dans l’opération faite pour la première vérification, puisque l’on obtiendrait deux lignes symétriquement inclinées, comme l’indiquent PP et p'p' {fig. 148).

Les instruments sont construits de telle manière que cette imperfection n’existe pas; si parfois, néanmoins, elle se rencontrait, le constructeur de l’instrument pourrait seul y remédier, à moins que le chariot edt deux mouvements rectangulaires, ce qui n’a pas lieu dans le niveau réflecteur représenté [fig. 146). On peut, pour opérer, suspendre si l’on veut ce niveau à uir b&ton fiché en terre, mais on s’en sert néanmoins en le tenant à la main. Cet avantage, joint à son peu de volume et à la netteté de sa ligne de foi, en fait un instrument trèsutile.

\79. Clisimitres. Nous avons dit que les instruments qui donnent une ligne horizontale n’étaient pas les seuls employés à trouver la différence de niveau entre deux points. On conçoit, en effet, que si l’on connaît l’angle MCN et le côté MC {/ig. 149),

il est facile de trouver MN, puisque 1 on a jjg— — — . Lesin-

NIVELLEHEST. 185

slrumenls qai déterminent l’angle de pente se nomment clisimètres.

180. Niteau de maçon. Le plus simple de tous est vulgairement /Connu sous le nom de niveau de maçon. Dans la description que nous allons en faire, on verra qu’il peut être également classé parmi ceux qui donnent seulement une ligne de niveau. 11 consiste en un triangle isocèle rectangle A'DE(/îÿ. 150); au sommet D est fixé un fil à plomb. Un arc gradué, dont le centre est en ü, s’appuie sur la base AE et vient sc fixer aux deux côtés de l’angle droit. Cet arc serait inutile s’il ne s’agissait que de s'assurer de l’horizontalité de la droite ou du plan qui supporte l'instrument. Dans ce cas, le fil à plomb devra aboutir sur le milieu de la base •A'E, si le niveau est exact. Pour trouver le point de la base auquel correspond le fil quand elle est horizontale, il sufiit de poser l’instrument sur une règle arbitrairement inclinée, de marquer la trace du fil sur la base, de retourner bout pour bout, de marquer encore la position du fil à plomb et de tracer le milieu entre les deux. S’il était bien construit, il sulliraitdcdivisêrla base en deux-parties égales. Quand le niveau est muni de l'arc dont nous avons parlé, l’opération est la même ; puis, prenant le point de rencontre du fil et de la base A'E horizontale pour origine des graduations, on marque les grades ou degrés àdroite ou à gauche de ce point. Pour trouver l’inclinaison d’une droite AB, il suffit donc d’appliquer le niveau dessus et de lire quel chilTre correspond au fil, en observant toutefois dans quel sens est l’inclinaison: car, sans cette précaution, il y aurait incertitude, puisque de part et d’autre se trouve la même numérotation. Pour obvier à cet inconvénient, on a imaginé d’écrire les divisions de 0' à 100* de G en H ou de H en G, de manière que 60‘ correspondit à AF horizontal Dans la première de ces deux suppositions, si B est plus élevé que A, l’angle qu'on lit est plus petit que 50', et si on l’en retranche, on a précisément l’inclinaison de AB sur l’horizontale AC. Quand B est plus bas, on lit un chilTre supérieur à 60', et la différence est encore l’expression de. l’inclinaison de AB. Le contraire a lieu si les chiffres vont de H en G. 11 nous semble qu’il - serait plus simple encore de coter 100' le point milieu de la base : l’extrémité G de l’arc serait 50', tandis que H indiquerait 150'. Ces chiffres .sc rapporteraient aux angles que peut faire la base AF avec la verticale du point A' : ce serait , si l’on veut, les distances zénitales prises de A',

Quelquefois cet instrument est dépourvu de l’arc gradué : les divisions sont tracées sur la base et sont les prolongements des rayons passant par toutes les divisions du limbe ; elles sont alors d’inégales dimensions, ear elles croissent comme les tangentes des angles de 0> à 50' ou plutôt elles sont les tangentes mêmes des ares qui mesurent ces angles.

181. Les différentes constructions que nous venons d’indiquer obligent, pour résoudre le triangle RAC, i\ avoir recours aux logarithmes, à moins que le constructeur n'ait inscrit, au lieu de la graduation, les rapports de longueur entre la hauteur de l’instrument et la partie de la base comprise entre son point milieu et la perpendiculaire; mais il existe un procédé plus usité et qui consiste en ceci : le triangle A'DF étant rectangle en D, la base A'F est double de la hauteur; si donc on divise la base, en AôO parties, par exemple, DE en repré.sentera 200. Cela j)osé, supposons que le (11 à plomb DP {fig. 151) corresponde à la 2C0', il en résultera, puisque les triangles PDE,ARC sont semblables comme ayant les côtés respectivement perpendiculaires , que DE : EP :: AC : BC ou

îoo ; 860—200 :: ac : bc^aac — 0,3 ac.

Pour rendre ce clisimétre plus commode dans de certaines circonstances, on a quelquefois adapté en A' et en F des pinnules saillantes ou incrustées dans l’épaisseur de la règle.

132. Clinimèlre ou niveau de pente de Chizy. Cet instrument donne immédiatement, comme nous allons le voir, la pente par mètre d’une ligne inclinée à l’horizon. Il se compose d’une règle AB {fig. 152), do deux pinnules AC, BD élevées à angle droit sur AB, d'un niveau EF fixé invariablement et parallèlement à la règle. Au point K est attachée à charnière une seconde règle IK traversée à son extrémité par une vi.s I qui éloigne ou approche AB de IK. Tout l’appareil est supporté par une colonne, un genou et un trépied. Une vis L arrête le mouvement du genou. Les pinnules sont deux parallélogrammes renfermant deuxehéssis GI1,G'I1 {fig. 153 et 15?r)-qui, maintenus à eoulisse, peuvent se mouvoir dans le sens vertical. Le premier reçoit le mouvement directement do la main à l’aide du bouton Z ou, pour les petites variations, au moyen de la vis sans fin KK'. Cette vis, prise à ses extrémités dans deux collets , tourne sur son axe sans avancer; c’est le châssis, auquel est adapté l’écrou, qui en reçoit le mouve-

NIVELLEMENT

ment de bas en haut. Le deuxième châssis (fig. 1 5i) ne jouit que d’un mouvement Irès-reslreint , imprimé par la vis V ; celle-ci ne servant que irès-rarement lorsqu’il s’agit de régler l’instrument, porte un carré au lieu d’une largo tête plate , on la fait tourner au moyen d’une clef mobile. On conçoit que cette précaution soit nécessaire pour éviter les dérangements involontaires de l’instrument.

L’un et l’autre portent des fils croisés LM, NO qui se coupent en T et U, et des visières P et Q situées sur le prolongement des fils horizontaux. Les largeurs AS, BR des pinnules sont les mêmes, et les points T et Q d’une port, P et U de l’autre, sont situés dans des plans verticaux parallèles. Pour entendre maintenant l’usage de cet instrument, il faut d’abord se rendre compte de la propriété sur laquelle il est fondé. Soit donc une horizontale CA Ifig. 149), et une ligne inclinée CB dont on veut connaître la quantité dont elle s’élève par chaque mètre. Supposons CM=1“, MN=0",02, C»n=0“,3, on aura

CM ; M.V ;; Cm ; mn oa t" ; 0,02 :: 0,3 ; mn=0",006.

Si nous donnons à la règle AB {fig. 1 52) 0“,3 de longueur, et si nous imaginons le triangle Cmn construit en «Pf de manière que Pf=0",006, il s’ensuivra que prolongée s’élèvera d’autant de fois 0"’,02 qu’elle contiendra de mètres. Voici comment on peut arriver progressivement à construire le triangle voulu opy: on place les châssis de telle sorte que le plan passant par T et Q, P et U (fig. 153 et 154) soit horizontal ; on trace la ligne de foi XY correspondant an bas du châssis de la grande pinnule dans celte position et l’on marque zéro en Y, puis on porte O™, 006 de Y en z. Ln faisant mouvoir le grand châssis de manière que Y ou zéro vienne sur la ligne z, le petit châssis ne bougeant pas, il est clair que T s’étant élevé de la même quantité que le point Y, la ligne de visée qui passera par Q et T sera bien la même que {fig. 1 52). Si l’on continue les divisions x’, a'', etc., et si l’on élève successivement le châssis de manière à amener Y en z', z’', la ligne correspondra à des inclinaisons de 0"‘,04, O", 06, etc. , par mètre. Si l’on veut lire directement les centiniètres sur le montant gradué AA', on inscrit 2,4,6, etc., en s, z', z ', etc. Si ces divisions sont encore subdivisées de manière que chacune des nouvelles n’ait que 0'”,00t, c’est-à-dire , le sixième des premières, il est évidentquela ligne «,f s’élève de O”, 00333 ou de 3 millimètres J, Pour obtenir plus de précision encore, on ajoute un vcrnicr.

TorOUUAPtlli-.

La vérification de l’instrument consiste à voir si la ligne de visée TQ est bien horizontale lorsque la ligne de foi correspond à zéro. Pour cela , le niveau étant bien calé , on visera une ligne horizontale éloignée en la faisant couvrir par le fil horizontal de la grande pinnule, tandis que l’œil sera placé à l’ocu'aire Q de la petite; on retournera l'instrument bout pour bout; on recalera le niveau, on portera l’œil en P pour viser de nouveau la môme horizontale. S'il se trouve une différence, on amène la ligne de visée sous la croisée des fils, moitié au moyen du bouton Z qui fait mouvoir tout l’instrumenl, et moitié avec la vis V qui imprime le mouvement au châssis de la petite pinnule. Cela fait, on recommence l’expérience, jusqu’à ce qu’il y ait coïncidence parfaite dans les deux positions de l’instrument.

On pourrait encore le régler en faisant mouvoir le voyant de la mire, dans la seconde opération. Jusqu’à ce qu’il fût partagé par le fil de la pinnule : voir de combien on l’a fuit bouger, lui donner la position moyenne et ramener la ligne de visée dessus, à l’aide de la vis V.

Alidade nirelatrice. M. le capitaine du génie Livet, professeur de topographie et de géodésie à l’Ecole de Metz, a imaginé une alidade qui a beaucoup de rapport avec le clisimèlre de Chézy.

Cette alidade se compose d’une règle avec niveau à bulle d’air, et deux pinnules aux extrémités. Elle n’est pas munie d'une lunette plongeante.

L’une des pinnules est divisée en parties égales entre elles, et qui sont dans le rapport de 1 à 100 avec la portion de la règle comprise entre les deux pinnules. La règle a 0“,2.'>, et les divisions ont, par conséquent, 0"’,0025.

11 est superflu d’ajouter que la première de ces divisions est de niveau avec le petit trou percé dans l’autre pinnule pour faire fonction d’oculaire.

Pour trouver la différence de niveau entre le point de station et celui que l’on avisé, on prend la distance qui les sépare, on la multiplie par le nombre de divisions, et l’on sépaie deux chiffres vers la droite du produit pour diviser par cent. Le résultat augmenté de la hauteur de l’instrument est la différence de niveau cherchée, si le point visé est plus élevé. Il faut, au contraire, retrancher cette hauteur, si le point visé est plus bas que la station.

On peut d’ailleurs éviter la hauteur variable de l’instrument, en opérant , comme nous avons eu occasion de le dire ailleurs.

NIVELLEMENT. 189

c'est>à-dire en s’établissant en un point placé entre ceux qu’on veut niveler.

11 est probable que cet instrument, que nous n’avons pas eu sous les yeux, est muni, comme le niveau de pente de Chézy, des pièces mobiles nécessaires pour régler l’instrument, et pour donner à la ligne de visée l’inclinaison variable qui lui convient.

1S3. ClisiinHre de Burnier. Celui-ci donne moins de précision que le précédent et que l’éclimètre adapté à la boussole et dont nous donnerons bientôt la description : il a même plus d’analogie avec ce dernier, puisque, comme lui, c’est l’angle d'inclinaison qu’il fait connaître. Son avantage marqué sur les autres consiste à pouvoir être employé à la main sans établissement fixe. Il se compose d'une boîte rectangulaire creuse MNOP {fig. 155) dans laquelle est adapté un arc de cercle gradué DE. Son centre C sert de point de suspension à une aiguille AB dont les deux parties AC,CB inégales en longueur ont même poids. Cette aiguille, dont la pointe A est recourbée de manière à venir, en avant de l’arc gradué, marquer le chiffre auquel elle correspond, a la propriété de rester horizontale parce qu’elle est suspendue par un point appartenant à la perpendiculaire élevée par le centre de gravité sur la direction de l’aiguille, et abstraction faite des oscillations que cause le mouvement de la main. A la hauteur du centre C, et sur une des faces de la botte, sont pratiquées deux échancrures YY qui servent de visières et donnent une horizontale quand l’aiguille marque zéro. Cela posé, on conçoit aisément que, pour avoir l’inclinaison à l’horizon d'une ligne donnée, il suffit d’incliner la botte de manière que la ligne VY soit dans cette direction, et de lire la graduation que marque l’aiguille. Pour éviter de noter si l’angle est d’ascension ou de dépression, on pourrait, comme nous l’avons déjà indiqué ailleurs, marquer 100> au lieu de zéro, ce qui donnerait les distances zénithales ou complé- "rnents des angles à l’horizon. Si l’amplitude de l’arc DE est de 60*, quantité bien suffisante, le chiffre extrême en ü serait 70, et celui du point inférieur E serait de 130».

L’instrument aurait pu être construit de tcllcsorte que le point C fût le milieu de l’aiguille, qui alors n’eût pas été renflée en B, mais on aurait eu un arc de cercle de plus petit rayon ët, conséquemment des divisions plus petites. Pour pouvoir, quand les circonstances le permettent, établir ce clisimètre sur un pied, il porte une douille RS pivotant autour de la charnière S.

La seule vérification que comporte cet instrument est celle qui consiste à s’assurer que la ligne visée VY est parallèle au rayon o'. Elle s’effectue en opérant successivement à gauche et à droite, et considérant le même point qui doit donner deux lectures égales, mais de signes contraires ou supplémentaires, suivant le système de graduation adopté.

On construit également des niveaux à perpcndicule analogues au clisimètre de Burnier, dans lesquels l’aiguille horizontale est remplacée par une autre aiguille constamment verticale.

Les lectures sont fartes , dans ce cas , au moyen d’un miroir placé obliquement.

18i. ÉcLiMÈTRE. Description, mage, térificatiun et rectification de l’instrument. Registre d'obsercations. Détermination des cotes et tables qui en abrègent le calcul. Correction relative à la hauteur de l' instrument.

L’éclimètre employé dans les nivellements topographiques s’adapte à la boussole ordinaire. Il se compose de deux arcs A et B (/îÿ. 156) , divisés en grades et demi-grades. Ils sont liés entre eux par une règle qui s’appuie contre l’une des faces latérales de la boite de la boussole, et qui a la faculté de pivoter autour d’une vis située à son centre C et engagée dans l’épaisseur do cette boite. Sur la face divisée du limbe se meut une lunette OL maintenue par deux collets EF, DG que porte l’alidade DE. La tige N supporte la boussole et l'éclimètre ; c’est autour d’elle que s’effectue le mouvement horizontal qu'imprime la main de l’observateur au moyen du large disque H.

La vis M arrête le mouvement du genou. Sur les faces opposées aux graduations est appliqué un niveau à bulle d’air. L’éclimè- Ire porte ordinairement trois vis de rappel j la première sert à amener exactement la croisée des fils de la lunette sur l’objet visé, sans déranger le limbe ; elle tourne dans deux pinces K et H; celle-ci est maintenue invariablement au plan de l’alidade qui porte les vorniersj l’autre est fixée au plan du limbe ou le laisse glisser entre ses deux joues , suivant qu’une vis non apparente sur la figure est serrée ou libre. Dans ce dernier cas, on fait tourner autant qu’on le veut la lunette autour de C pour approcher l’axe optique de la direction du point de mire j quand il en est ainsi, et que l’on veut pointer avec précision, on serre la pince et l’on tourne la vis qui passe en H et K à travers les deux pinces. Dans la cavité pratiquée en K est placé un écrou que traverse la

ÉCLIMÈTRE.

Tis. Dans la cavité H roule son renflement sphérique. La seconde vis de rappel sert à faire mouvoir tout l’instrument dans le plan vertical, et, par conséquent, à caler le niveau. La troisième, placée à l’une des extrémités du niveau, est employée dans la rectification de l’instrument.

Supposons que le niveau étant calé, le diamètre o — 200 du limbe soit horizontal j on amènera te plan du limbe dans le plan vertical qui contient l’objet à viser, on le mettra lui-mème vertical è l’œil, et on calera le niveau par le moyen de la seconde vis qui entraîne tout t’éclimètre. l*ar suite de notre hypothèse, le diamètre o — 200 sera horizontal, et si l’on pointe l’axe optique sur l’objet, par le moyen de la pince et de la vis de rappel, l’angle à l’horizon sera eelui marqué par la graduation placée à l’extrémité du diamètre parallèle à l’axe optique {fig. 166 bis). Mais comment saura-t-on que le o du vernier qui sert à faire celte lecture est sur ce diamètre ; si au lieu d’être placé en D, il est en D , il faudra que le o du limbe passe de o en o', de telle sorte oo' = DÜ', c’est-à-dire, que l’hypothèse que nous avons faite deviendra la suivante ; l'angle formé par le diamètre o — 200 du limbe et l’horizontale, lorsque le niveau est calé, doit être de même sens et égal à celui que le diamètre o du vernier forme avec l’axe optique de lunette.

Vérificaliuns. 1° La rotation de la lunette, qui entraîne le vernier, doit se faire autour du centre du limbe gradué, pour que les angles lus soient bien les angles décrits. 11 faut, pour s’assurer que celte condition est remplie , suivre la marche des deux zéros des verniers, et voir s’ils parcourent des angles égaux; la deuxième vérification exige même que les lectures faites soient identiques pour toute inclinaison.

2* Il faut que l’angle des o du limbe et de l’horizontale soit égal à celui des o des verniers et de la ligne de visée, lorsque le niveau est calé. Pour s’en assurer, on retourne l’instrument de 200» dans le sens horizontal, après avoir obtenu un premier angle à l’horizon ; on ramène vers soi l’oculaire par un mouvement de la lunette autour du centre du limbe, et on vise de nouveau après avoir calé le niveau. En suivant la marche des opérations que nous venons de décrire sur la figure 156 ter, on voit que, pour l’égalité des deux angles * (qui sont, en elTct, les mêmes dans la nature , puisqu’on a visé deux fois le même point), il faut que l’arc HL' = l’arc HL , ou que les deux lectures OV,OV'

soient les mêmes , puisque les arcs HO,LV,L'V' sont égaux par hypothèse.

On voit sur la Ogure, que nous avons alterné les deux vemiers sans nous préoccuper du second zéro du limhe, ce qui a exigé seulement que les o des verniers soient sur le même diamètre ; il pourrait donc suffire que cette condition fût remplie pour les verniers; mais si les quatre zéros ne forment pas deux diamètres, la première vérification n’a pas pu faire connaître celui qui existe réellement. Il est donc indispensable, comme nous l’avons annoncé, que les lectures faites avec les deux verniers soient toujours identiques.

Si la vérification que nous avons indiquée plus haut ne conduit pas à un résultat favorable, il faut, pour établir l’égalité des angles que nous avons déjà mentionnés plusieurs fois, mettre le o du vernier sur la moyenne des deux lectures, viser le point par le mouvement général, et caler le niveau par son mouvement particulier. Celte opération, qui s’appelle règlement de l’éclimètre, exige plusieurs tâtonnements.

Modi/icaliotis. On a fait subir à l'éclimètre deux modifications.

La première consiste à inscrire t00« au lieu de o, et à supposer le o des graduations sur la perpendiculaire à l’ancien diamètre à partir duquel on comptait les angles.

lecture, donne ainsi immédiatement les distances zénithales, ce qui est avantageux pour éviter la confusion résultant d’angles d’ascension et d’angles de dépression.

La seconde modification est moins avantageuse. Pour avoir de plus grandes divisions sur le limbe et, par suite, une plus grande approximation dans la lecture, on a imaginé de mettre le centre des graduations à une des extrémités de l'instrument. C'est là son seul avantage, car la lunette ayant même longueur, donne le même pointé. En opposition à cet avantage obtenu sur la lecture, on a donné naissance à deux inconvénients graves. Le premier provient de la difficulté de vérifier si l’axe de rotation se trouve exactement au centre du limbe ; on peut tenter cette vérification en suivant la marche du vernier unique, qui doit conserver la même position longitudinale par rapport aux divisions du limbe ; on* ne peut reconnaître ainsi que des imperfections graves ; celte vérification peut ressortir encore indirectement du règlement de l'éclimètre qui , réglé pour une certaine distance zénithale, ne le sera pour une seconde, différente de la pre-

I^CLIMÊTRE. 193

mière, qu’autaut que la condition relative à la rotation sera satisfaite.

Le second défaut de cet instrument ainsi modifié provient du procédé employé pour le régler. Ce procédé , que nous allons exposer un peu plus loin, exige un déplacement et l’observation, aux deux extrémités de la ligne parcourue, des distances zénithales d’une mémo droite. Le plus souvent, cette ligne sera courte, et un léger déplacement, presque inévitable, dans la po- - sition des deux points qui servent alternativement de station et de mire, produira plus lard une erreur beaucoup plus considérable, lorsqu’on opérera sur une base toujours beaucoup plus grande que celle employée pour la vérification.

La manière d’opérer le règlement de cet éclimètre sans retournement est la suivante.

Soient a et a' les distances zénithales réciproques observées de deux points A et B (fig. 172) : soient 5 et o' les mêmes quantités corrigées de l’erreur de collimation que nous désignerons par e et de celle de réfraction, qui, représentée par r, est égale à 0,08 C (Voir le S A4 1 du livre V).

Nous aurons

A-iS + e — r; A'-*o'+e — r; d’oÙ 4 + = 8+5' + îe — îr;

or /+/.'=Î00 4-C donc A+ A'=ÎOO-|-C + 2r-2r;

Tirons-en la valeur de e, elle sera

r=.^^'-t00«-| + r-^^-t00*-Ca-0,08)-.

Pour connaître la valeur de l’angle au centre C, il sulTil de se rappeler qu’un grade sur la terre est égal à lOOOOO™, une minute à 1000“ et une seconde à 10“. a et a' sont les lectures fournies par les deux observations réciproques, donc tout est connu dans la formule. Le signe qui affectera le résultat du calcul indiquera dansquel sens doit être faite la correction.

Il est plus avantageux de régler simultanément deux édimè- Ires, par un procédé analogue : les deux instruments étant placés à une distance convenable, on dirige l’axe optique de la lunette de l’un d’eux sur l’objectif de celle de l’autre, et récipro-

quement, de manière que ce sont bien réellement deux distaneos zciiithaics réciproques que l’on observe.

Si e, e' représentent les errenrs de collimation des deux éclimètres, ona — r, A'=/'+«'+r

d’où c + e'=.A + A' + îr — (J+S'). e + e' — A + A'-2C— ÎOO+îr.

Connaissant la somme des deux erreures, on trouvera chacune d’elles, si l’on connaît aussi leur différence. Rien n’est plus facile que de la trouver, puisqu’il suffit de prendre la même distance zénithale avec les deux éclimètres. Soient d etrf' les nombres qu’ils indiquent, il est évident que e — e'=»rf — rf'.

et qu’ainsi

A+A'-200-C+tr d — d' * 2-9

M. le lieutenant-colonel Hussard, qui s’occupe souvent de questions scienUüqucs et toujours avec fruit, a indiqué, il y a quelques années, dans une notice sur le nivellcinenl, une méthode qui permelde léylcr un éclimètre du dernier modèle, au moyen d’une seule distance zénithale et sans changer de station.

Voici comment il s’exprime en parlant de ce procédé :

« Après avoir pris la distance zénithale d’un point, l’observa- « leur fait exécuter à l’instrument une demi-révolution zéni- « thaïe, de manière à ce que l’oculaire soit du côté de l’objet: O Quis, plaçant l’œil à environ un mètre ou un demi-mètre en « arrière de l’objectif, afin d’apercevoir l’image des fils dans le « cercle de cet objectif, il lui est facile , tout en maintenant la O bulle du niveau dans ses repères , d’amener l’objet , vu à l’œil O nu, presqu’eu contact avec le cercle extérieur de la lunette « et sur le prolongement de la génératrice latérale, do telle sorte « que le point de mire soit aussi bien que possible sur l’horizona taie passant par le point d’iutersection de-s fils ; puis, dans cet a état, il fait une seconde lecture. Si l’instrument n’était affecté B d’aucune erreur, la somme des deux distances zénithales don- « nerait 20t)‘, et l’erreur de collimation serait dans tous les cas,

a Pour se convaincre de la vérité théorique de cette méthode, il

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' ËCLIHÉTRB. 195

« suffît de se rappeler que le réticule étant placé au foyer prin- « cipal de l’objectif, les rayons lumineux émis par leur point « d'intersection sortiront de cet objectif parallèlement à l’axe « optique de la lunette, et que par conséquent l’image de la fl croisée des fils sera toujours vue par l’œil dans une direction » parallèle à celle suivant laquelle on la verrait par l’oculaire.

« L'exactitude, dans la pratique, dépend du degré d’apprécia- « tion que peut apporter l’observateur opérant à œil nu. Si le « point de mire est bien tranché, il est probable que l’erreur com- « ipise sur la valeur de la collimation ne dépassera pas deux « minutes centésimales : ce qui suppose un observateur capable « d'apprécier quatre minutes.

« Si l’objet se projette en terre ou près de l’horizon, il faut B coller un petit papier sur l’œilleton de la lunette, afin que « l’image du réticule se dessine sur un fond blanc.

a Pour ces observations, il est bon que la monture de l’objeco tif n’ait pas un diamètre plus grand que celui de la lunette, « ou du moins que la saillie .soit limée à fleur de ce tube du « côté où doit venir s’appliquer l’image directe de l’objet. » Quelle que soit la forme de récliinètre, l’observation étant faite, pour lire l’angle mesuré, on compte le nombre de grades et de demi-grades compris entre les zéros du limbe et du vernicr. Dans la figure 173, nous trouvons 2‘,5ü', plus une petite quantité a qu’il faut apprécier. Pour cela, on suit de l’œi I les divisions du Vernier jusqu’à celle qui coïncide avec une du limbe ; ici, c’est la sixième. Il est évident qu’alors az= 12' si le vernier est divisé en 25, car, la sixième coïncidant, la cinquième dillère de 2', la quatrième de i, la troisième de 6, la seconde de 8, la première de 10, et enfin, comme nous l'annoncions, celle cotée zéro est en avance de 12'. Quand on a recueilli tous les angles cl que l’on connaît les distances horizontales, on trouve les dilTéreuces de niveau au moyen de la formule K cotang.o, que l’on calcule par logarithmes, ou plus simplement avec des tables à double entrée dont les arguments sont iv et 3. La hauteur do l’instrument entraîne une correction qui varie de signe suivant que l’observation se fait au point dont la cote est connue, ou à celui que l’on veut déterminer, et cela indépendamment de l’amplitude de S. La hauteur de l’instrument s’ajoute au résultat du calcul dans le premier cas, et s’en retranche dans le second.

Pour recueillir les observations avec méthode, on peut modifier le registre indiqué au S 168, et le composer de sept colonnes :

dans la première, on désigne la station ; l’angle observé dans la deuxième ; la troisième contient les noms des points visés, et la quatrième la distance horizontale; on inscrit les angles à l'horizon ou au zénith, dans la colonne suivante ; si l’on emploie les ascensions et dépressions, il faut consacrer les cinquième et sixième colonnes à leur inscription ; enfin, la dernière est destinée à recueillir les remarques que l’on peut avoir à faire.

185. Problèmes de nitellemenl. L’objet du nivellement réduit à son terme le plus simple, comme nous l’avons dit, est de trouver la différence de niveau entre deux points. Lorsque l’on peut arriver à ce résultat au moyen d’une seule station, le nivellemciu est simple ; il est dit composé dans le cas contraire.

Le meilleur moyen d’arriver à ce résultat repose sur l’emploi des instruments donnant la ligne du niveau apparent ; parmi ceu.x-ci, il faut accorder la préférence à ceux qui sont munis d’un niveau à bulle d’air, les autres étant d’un pointé très-défectueux.

Les clisimètres peuvent donner cette même ligne du niveau apparent, lorsqu’on leur fait marquer la lecture 0.

Supposons qu’on veuille trouver la différence de niveau entre deux points A et B {fig. 157). On établit l’instrument en s dans une position intermédiaire, dans le plan vertical AB ou en dehors, peu importe ; ou fait porter la mire successivement en A et B; on lit les chiffres correspondant aux deux positions, et l’on a, en les désignant par a et dN = « — p.

On aurait pu se placer au point le plus élevé A {fig. 158), et se contenter d’une seule lecture; mais alors, il aurait fallu tenir compte de la hauteur de l’instrument , hauteur variable avec l’écartement donné aux pieds du support. Le premier mode d’opérer évite cet inconvénient.

Nous avons expliqué, au S 170, qu’à la différence ainsi obtenue, il fallait encore ajouter la différence du niveau vrai au niveau apparent, et lui retrancher une petite quantité provenant de l’influence de la réfraction ; la correction provenant de ces

deux causes est représentée par le terme K étant la

distance des deux points, et R le rayon terrestre. En cherchant directement la valeur de ce terme, ou en la prenant dans des tables calculées à l’avance, on trouve qu’elle est de 0“, 0007 pour une distance de 100™, et par suite 0™, 0028 pour une distance de 200"*.

NIVELLEMENT

Les distances séparant deux positions de la mire sont généralement très-petites, pour peu que le terrain ne soit pas horizontal, car il faut que la ligne de visée ne passe pas au-dessus d’une des mires, ni au-dessous de l’autre. On prend, volontairement même, ces distances très-courtes, afin de laisser peu d'importance aux erreurs inévitables de pointé.

Il n'y a donc presque jamais lieu de tenir compte de la correction que nous avons mentionnée plus haut. Si cependant, pour une cause quelconque, mais nécessairement en pays trèsplat, la distance devenait assez grande pour qu’on dût avoir égard à cette correction, on pourrait : !• annihiler son influence en stationnant en un point situé, approximativement, à distances égales des deux points nivelés ; 2' ou corriger les deux lectures a et P au moyen de la formule citée pour laquelle

il faudrait connaître les valeurs des bases K, tout au moins d’une manière approximative. On a pu remarquer que l’opération directe, habituellement suffisante, ne supposait pas connue la longueur des côtés.

186. Leter le profil d'un terrain, c’est chercher les différences de niveau des divers points de l’intersection de ce terrain avec une surface cylindrique à base quelconque. Si les points à niveler ne sont pas désignés d’avance, et si le terrain n’est que légèrement ondulé, on prendra les distances ac, cd, de, etc., égales entre elles, et l’on fera placer la mire en A, G, D, etc. (ïg. 160). On fera un croquis, comme l'indique la figure, et l’on inscrira les longueurs trouvées de \a,Cc, etc. Si l’on n’a pas pu prendre égales les quantités ar,cd, etc., on les porte telles qu’on les a trouvées. Il est nécessaire de relever aussi la projection du profil lorsqu’il n’est pas situé dans un même plan vertical. Souvent, lorsque les différences de niveau sont trop peu sensibles, on emploie, en les rapportant sur le papier, pour les hauteurs, une échelle double, triple, quelquefois décuple de celle adoptée pour les distances horizontales.

187. Nirellement composé. Si l’opération n’a pas pu se foire d’une seule station et si rien ne précise à l’avance les points du profil dont il faut trouver les cotes, on fait placer la mire aux endroits qui sont propres à faire mieux sentir les inflexions, et l’on stationne en des positions intermédiaires.

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198 TOPOCRAt'ttiE.

Soient A,B,C,D, etc. (ftf)- 161), ces points, et S, S', S", etc., les différentes stations : à chacune d’elles on donne un coup de niveau d’arrière et un d’avant, de manière que, sur chacune des verticales do B,C, etc., il y aura deux coups de niveau qui lieront les opérations faites aux différentes stations.

On tracera le profil sur le papier {pg. 162), en portant sur l’horizontale af, les projections ab,bc,cil, etc., réduites à l'échelle, des portions AB,BC, etc., du profil* oh abaissera les verticales Ao, B<», Ce, etc., et l’on inscrira à droite de chacune d’elles la cote d’arrière correspondante, et it gauche la cote d’avant : on fera séparément les deux sommes dont la différence^ sera précisément celle du niveau des points extrêmes. En effet, considérant les quatre premiers points A,B,C,D, la différence entre A et I) sera AO = Am -h no — »»in. Mais Am=:a — no=a" — P'* ; mti — P' — a', en désignant par les coups

de niveau d'arrière, et par p,p', P' ceux d’avant ; il viendradonc, comme nous l’avons annoncé, en substituant

AO ou (fN=(a -p)-f(a"— P") — (3' — 1') = (<*+“'+«")— (P+P'+P'O

Si le nivellement est un peu long, on ne pourra bien compter sur son exactitude qu’après avoir répété l’opération, la première fois de A en E, la seconde de E en A.

Dans ce qui précède, nous avons supposé que les points soumis au nivellement étaient situés au-dessous du plan horizontal fourni par le liquide de rinslrumcut. Il peut arriver pour quelques-uns d’entre eux , dans des circonstances très-rares à la Vérité, qu’il n’en soit pas ainsi. Supposons que dans le profil à suivre se rencontre un mur de terrasse BC {fig. 163). La différence do niveau entre les points A et B sera, comme précédemment, la différence des deux coups de niveau donnés en S; mais, pour comparer B et 1), on voit que ce sera la Somme deS deux lectures qu’il faudra prendre. On peut déduire de là celte règle que, dans le cas général etc., p, 3’, etc., qui servent à déterminer rfN, doivent être considérés comme de môme signe, et qu’il faut affecter des signes contraires les coups de niveau d’avant et d’arrière d’une station, quand les deux points visés ne sont pas placés du même côté par rapport à la surface du niveau de l’instrument.

188. Nitellemenl continu. On voit à l’inspection de la flg. l6l que tous les points du nivellement sont rapportés deux à deux à

NIVELLEMENT

des plans différents. Il est souvent plus commode de les rapporter tous an même, afin de connaître immédiatement la différence de niveau de deux quelconques d’entre eux. Pour cela, on imagine un plan général de comparaison situé au-dessus ou au-dessous du profil d’une quantité asser grande pour qu’il ne le coupe pas. Sa position est déterminée par la distance arbitraire h laquelle on le suppose situé par rapport à un point quelconque du profil, au point de départ A, par exemple (^7. 16 n. An, R6’, Ce', etc., Bb,Cc, etc., sont les cotes obtenues par les coups de niveau d’arrière et d’avant ; c’est ce que précédemment nous avions désigné par n,^', p, P', etc. On retranche An de la cote de départ, si le plan est au-dessus, et la différence est la cote du plan ab du liquide pour la sfalion S : en y ajoutant B6, on a celle de H; puis de celle-ci, retranchant B6’, on obtient celte du second plan particulier b'c appartenant à la seconde position S' de l’instrument. Celle de C s’en conclut en y ajoutant Ce, et ainsi de suite. Nous rendrons cela plus clair en donnant la forme du registre dans lequel on fhit les calculs, et en y insérant un exemple, après toutefois avoir fait remarquer qu’il ne suITU pas toujours do connaître uniquement le nivellement de la sinuosité du terrain qui suit le proQl : souvent il est très-important, comme dans les tracés de routes, canaux, aqueducs, etc., de savoir comment se comporte le terrain i\ droite et à gauche de l’axe de nivellement. Pour y parvenir, on fait des nivellements en travers : ainsi, par exemple, si A,B, C, D (fig. 164), sont des stations de l’instrument appartenant au nivellement en long, il pourra être nécessaire d’y rattacher les nivellements en travers FEBGH,MLCK1. Ceux-ci s’exécutent, comme nous l’avons déjà dit, et se rattachent à l’opération principale par les cotes B et C.

189. Le registre de nivellement peut se mettre sous la forme indiquée par la fig. 165 : il se compose de six colonnes. Bans la première s’inscrivent les stations de l’instrument ; on les désigne quelquefois par la suite des nombres naturels écrits en chiffres romains : nous les avons exprimés par S, S', etc.; au surplus, la notation est chose fort indifférente, le point essentiel, c’est l’ordre et la clarté. Dans la seconde colonne, on inscrit la désignation des points sur lesquels on donne des coups de niveau : on ajoute parfois quelque indice à la notation du point de repère commun à deux stations pour le faire plus aisé-

TUPOGRAPHIE.

ment reconnaître. Ici, la même lettre reproduite aux deux stations ne nous parait laisser aucun doute. En inscrivant plus de deux points pour chaque station, nous avons supposé qu’à chacune d’elles on avait déterminé les cotes de quelques points en dehors delà ligne que l’on parcourt. La troisième colonne contient les lectures faites sur la mire. La plupart des chiffres que nous y avons insérés indiquent des longueurs plus grandes que les mires usitées, mais il ne s’agit ici que de donner un type do calcul. Dans la quatrième, on écrit les cotes qui marquent à quelle distance du plan général de comparaison est située la surface du liquide de l’instrument dans chacune de scs positions particulières. La cinquième est consacrée à l’inscription des cotes définitives des points nivelés. On voit que dans l’exemple de la fig. 165, nous avons supposé que le plan de comparaison était à 100“* au-dessous du sol en Â. Ce sera, si l’on veut, la surface des eaux moyennes de la mer, adoptée pour plan général de comparaison dans les travaux de la nouvelle Carte de France. Enfin, la sixième et dernière colonne est destinée aux remarques que croit devoir y placer l’opérateur, pour l’intelligence de ses travaux.

On conçoit aisément que la marche que nous venons d’indiquer n’est pas absolue ; nous'plaçons ci-dessous un exemple des dispositions adoptées par le Corps des ponts et chaussées et par l’École d’application de Metz. Dans l’un et l’autre, le plan général de comparaison est pris au-dessus du terrain.

Ponts et chaussées.

Cutedupoialt 200“, OOO

Coup d’arrière — 0 ,655

Cote du plan de nircllement de riaslruinent 499 ,345

Coup d'avant 2 ,445

Cote du point 2 Î04 ,460

Coup d’arrière — 0, 6î4

Cote du deuxième plan de niveau 200 ,936

Coup d’avant .H- 2 ’fiSl

Cote du point 3 203 ,023

NIVELLEMENT

Écok de Metz.