CD

'ji

DIAECTIONS

Longueurs.

Valeur de Pazimut de la ligne d'orientation.

N<* de la boussole.

Coups d'avant

lus sur la pointe

bleue.

Coups d'arrière

lus sur la pointe

blanche.

130«lo'

130<»io'

ii9<»30'

lt3«30'

li8»00'

t37Mo'

liOoOO'

l36Mo'

i3GM3'

433Ho'

Ce lever suppose que les différences entre le coup d'avant et le coup d'arrière lus sur la même direction, proviennent exclusivement des influences magnétiques. C'est ce qu'indique la somme algébrique des différences qui, dans ce cas, est égale à zéro. Pour obtenir la colonne des azimuts corrigés, on admet que lorsqu'il y a coïncidence entre le coup d'avant \\i sur la pointe bleue et le coup d'arrière lu sur la pointe blanche, il n'y a pas d'influence magnétique en la station où se donne le coup d'arrière, à condition bien entendu que le coup d'avant soit exact.

En supposant exact le coup d'avant de la station i , nous admettrons en conséquence qu'il n'y a pas d'influence magnétique à la station 2 ; le coup d'avant de cette station 142<» est donc exact. Mais en la station 3 nous avons lu un coup d'arrière de 143"30', donnant une difiërence de— 1^30'. Ce coup d'arrière est fautif et en attribuant la diflorence de 1*^30' à une influence magnétique, nous devrons également corriger de 1*30' le coup d'avant 149*30' qui deviendra 148.

En suivant le môme raisonnement, nous devrons corriger de 1 degré le coup d'arrière, de même que le coup d'avant donne de la station 4; l'azimut relevé de cette station sera donc 136n5' au lieu de 137«I5'.

Cet azimut coïncide avec le coup d'arrière donné de la station 5. On admet que, lorsque partant d'une coïncidence comme celle des stations 1 et 2, on arrive après corrections à une nouvelle coïncidence comme celles des stations 4 et 5, les difl'érences que l'on a pu observer entre la station 2 et la station 5 sont le fait des influences magnétiques.

C'est ce qu'indique la somme algébrique des difl^érences, quand elle est égale à zéro.

Dans le cas contraire où partant d'une coïncidence entre un coup d'avant et un coup d'arrière, on n'arriverait pas après correction à une coïncidence semblable, les difl'érences ne seraient plus le fait de l'influence magnétique seule et il s'y mêlerait celle des erreurs de lecture.

Dans ce cas, en suivant rigoureusement la marche indiquée précédemment, on pourrait se trouver obligé de corriger un coup d'avant en coïncidence avec un coup d'arrière. On admet alors que la correction est égale à une erreur de lecture ou à une somme d'erreurs de lecture commises depuis la coïncidence précédente et si elle n'est pas très considérable, on la répartit par parties égales sur tous les azimuts.

On se sert également de la boussole dans le lever des détails pour relever certaines directions, pour faire un lever it'méraire

IB long de chemins tortueux, notamment en forêt. On peut opérer rapidement dans ce cas par coup d'avant et par coup d'arrière en sautant une station sur deux.

On peut résoudre au moyen de la boussole une foule de problèmes.

Mener une perpendiculaire à un alignement revient à tracer une droite dont Tazimut diffère de celui de cet alignement de 1 ou 2 angles droits.

Afener une parallèle à un alignemetit^ c'est tracer une droite de môme azimut.

Mesurer un alignement dont une extrémité est inaccessible ^ revient à faire entrer cet alignement dans un triangle que Ion peut construire au moyen de mesures prises en terrain accèssible, et ainsi de suite.

La boussole présente les inconvénients suivants :

Elle ne peut donner une grande précision à cause. des erreurs dues à la nature de la force magnétique et à cause des erreurs de lecture. Selon la grandeur du limbe et la graduation, on ne peut compter sur une approximation de plu^j de 5 à 15 minutes.

Son principal avantage est la rapidité (lu'ellc permet d'obtenir et la simplicité de l'instrument.

On peut opérer en tout temps et là où Ton ne saurait employer d'autres appareils, par exemple dans les mines, les forêts, etc.

Un autre avantage de la boussole est de ne pas laisser s accroître les erreurs dans la lecture des angles.

Si Ton commet une erreur AB' sur une direction AB appartenant à une polygonale, les autres directions B'C, CD', DE' restent parallèles aux directions BC, CD, DE (fig. 34), tandis qu'avec les appareils mesurant les angles que les directions font entre elles, une erreur faite sur un angle B d'une ligne polygonale affecte toute cette ligne et va môme en s'ampliflant.

Si l'on commet uiio erreur sur l'angle Bj on obtient la polygonale ABC'D'E', qui diffère beaucoup plus de la polygonale ABCDE (fig. 35).

En résunii!, la boussole est un appareil simple, mais peu précis; on peut en obtenir de bons résultais, si l'on s'en sert avec beaucoup de soins.

Mesure numérique des angles propremeat dits.

Les angles que les alignements font entre eux se mesurent au moyen d'appareils compris sous la dénomination générique de goniomètres. Les principaux sont les goniomètres à réflexion, le théodolite, le lachéomàlre, le grapbomètre et le (1 ait fo mètre. Ces trois derniers dérivent du théodolite par substitution ou suppression de certains organes.

Dans CCS appareils, on mesure les angles avec l'approximation donnée par un vernier.

Le vernier est posilil'ou négatif.

Dans le premier cas, les divisions du vernier sont plus petites que celles du limbe et marchent dans le môme sens; dans le second cas, elles sont plus grandes et marchent en sens inverse.

Soit dans l'un et l'autre cas, le vernier divisé en n parties p.-

Dans le vernier positif, n divisions p correspondront à h — 1 divisions P du limbe.

Dans le vernier négatif, n divisions p correspondent à » + 1 divisions P.

On aura, dans le premier cas,

et dans le second cas,

p np = {n + d) P, d'où /) — P c=

La difTérence entre une division du limbe et une division du

Vappt'oximation du vernier.

Le vornicr négatif ne se rencontre que dans riuclqucs appareils anglais et dans les baromètres.

p Soit P = 3:)' et n = 30, — = l'.

Soit P = -10' et u = 40, 0'5.

Dans lesappareils d'astronomie et Je géodésie,les verniers sont souvent remplacés par des microscopes à vis micrométrique.

Gouiomélres à réflexion.

Ces goniomètres sont les sejclmils, ocUtitlSt cercles de réflexion, elc.

Les sextants sontà un ou à deux miroirs.

Dans le sextant à un miroir on utilise la propriété de l'égalité des angles d'incidence et de rêllexion. Soit (iig. 30) un arc de 60 degrés

sur lequel se meut une alidade portant un miroir au centre o du cercle. Si je dirige celte alidade suivant une direction o D quelconque, l'œil placé en G visera directement A et, par réflexion, le point B par suite de l'égalité des angles d'incidence et de rénexion. Il est facile de voir que l'angle An D^'/,AoB; le sextant étant gradué en demi-degrés, on lira directement en D, sur le limbe, la valeur de l'angle A o B en degrés.

Dans le sextant & deux miroirs on utilise la même propriété que dans l'équerro à miroirs : L'angle du rayon incident et du rayon doublement réfléchi est double de l'angle des miroirs. Soit (flg. 37) un arc de 60° portant une alidade à miroir comme la précédente. Lorsque cette alidade est au zéro, un miroir fixe m n dont la moitié seulement est étamée, est parallèle au miroir p qàe l'alidade, et par la lunette r on visera à la fois, directement et par double réflexion, un point A supposé assez éloigné pour que les rayons, tombant de ce point sur les Kig. 37 deux miroirs, puissent être

considéi-és comme parallèles. En déplaçant l'alidade, je viserai directement le point A et par double réflexion l'image d'un point B. Eu vertu de la propriété précédente, l'angle A G B égale deux fois l'angle a dont s'est déplacée l'alidade. Si le limbe est divisé en demi-degrés, on mesurera directement en D l'angle AG B.

L'appareil prend le nom ù'oclant lorsque le limbe a 80* et le nom de cercle de réflexion, si c'est une circonférence entière. Ces appareils s'emploient principalement dans la marine, parce

qu'ils peuvent se passer de base stable. Sur terre, on ne les emploie que dans les voyages, les reconnaissances, etc., où ils présentent l'avantage de la rapidité. On les a d'ailleurs rendus portatifs; on a construit des sextants contenus dans une boîfe de O^fil de diamètre et de 0'",025 de hauteur.

En Allemagne, on construit des appareils analogues où les iniroii's f o:it remplacés par des prismes /PriamenhreU/.

Théodolite.

Les détails des théodolites diffèrent beaucoup suivant le constructeur et le prix de ces instruments, mais on rencontre généralement dans ces appareils les caractères suivants :

Un théodolite (fig. 38) se compose des parties principales suivantes :

1" Un tr<.'pied k vis calantes T.

'i' Un limbe horizontal L dont le diamètre 0-180 prend le nom de ligne de foi.

3° Une alidade A, formant un cercle complet concentrique au limbe et portant deux ou quatre verniers.

Dans la fig. 38, le limbe est supposé lise ; mais généralement le limbe est susceptible de tourner autour de l'axe vertical de l'appareil, en en- ^'^- ^^- traînant l'alidade avec lui ;

la IJg. 39 montre la disposition au moyen de laquelle on rend le limbe mobiie : A alidade, LL limbe mobile, BB pièce Hxc intermédiaire.

4" Sur l'alidade sont fixés des supporta S (flg. 38) qui portent l'axe de rotation ab d'une lunette dont l'axe optique cd est généralement dans le plan diamétral de l'appareil.

0' Avec l'axe de rotation tourne un limbe vertical L', qui marque les angles verticaux par rapport à un index llxe.

Un théodolite comprend de plus les parties accessoires suivantes ;

l" Deux niveaux dont l'inférieur est fixé sur l'alidade et le supérieur, soit sur la lunette, soit sur l'axe de rotation de la lunette, comme dans la flg. 38 oii l'axe de ce niveau est llguré en ef. Celte différence permet de classer les théodolites en deux types.

2° Des vis de pression et de rappel pour permettre, après avoir amené le point visé dans le champ de la lunette, de donner encore aux parties mobiles de l'instrument un mouvo' ment de faible amplitude pour amener ce point à la croisée des fils du réticule,

S" Des loupes et des réflecteurs pour faciliter la lecture de la graduation.

4" Quelquefois une boussole.

L'appareil est entièrement construit en laiton, quelquefois en partie en acier, quand il n'y a pas de boussole.

Le limbe a de 12 à 18 centimètres de diamètre. Il est gradué en */j ou en Vs de degrés, quelquefois en grades. Il est en argent ou quelquefois en aluminium.

Ce limbe, de même que Talidade, est ordinairement un peu conique, de manière à faciliter la lecture.

L'alidade porte 2 à 4 verniers donnant une approximation de 1 minute, de 30 ou de 20 secondes.

Le limbe est complètement recouvert par un diaphragme qui le protège contre les chocs, Thumidité et la poussière. Au-dessus du vernier et de la partie correspondante du limbe se trouve une fenêtre recouverte d'une glace pour permettre de lire la graduation.

Les supports de la lunette doivent être assez élevés pour lui permettre de basculer complètement. Pour certaines applications, on cherche à réduire la hauteur de l'appareil et alors on dispose la lunette excentriquement pour lui permettre de basculer. Le théodolite est dit alors à lunette excentrique. Quelquefois on a deux lunettes à axes de rotation indépendants. Tune centrale, Tautre excentrique.

Le tirage de la lunette s'effectue au moyen d'une crémaillère. L'oculaire donne un grossissement de 10 à 30 fois.

Le réticule peut être légèrement déplacé au moyen de 4 vis, afin de mettre rigoureusement l'axe optique dans le plan vertical passant par l'axe de la lunette. Ce déplacement n'est souvent possible que dans le sens latéral, parce qu'à moins qu'il ne s'agisse de niveler, il importe peu que le fil horizontal du réticule soit un peu plus haut ou plus bas.

Le limbe vertical a 12 à 15 centimètres de diamètre. Il est divisé en degrés ou demi-degrés.

Le vernier donne la minute ou la demi-minute. Quand la lunette est horizontale, ce limbe marque 90^ ou zéro, suivant qu'il donne l'angle zénithal ou l'angle de pente.

Le niveau fixé sur l'alidade ne sert qu'à vérifier si Tappareil

est resté immobile pendant qu'on opère ; c'esl souvent un niveau h bulle centrale (i).

Le trépied sur lequel se place le théodolile (fig. 40) est à tablette, un écrou « rend le théodolite solidaire do trépied.

Une coulisse c se meut sous la tablette et sert & amener exactement Taie de l'appareil au centre de station. Cela étant fait, un autre écrou e' permet de bander un ressoit qui fixe la coulisse et rend le théodolite immobile, sauf en ce qui concerne le mouvement des vis calantes, servant à mettre l'appareil de niveau.

Lorsqu'on est obligé d'élever l'appareil pour viser au-dessus de haies ou de cultures, on élève le trépied sur un échafaudage composé de trois forts piquets verticaux, reliés entre eux par des entretoises. Les jambes du trépied du théodolite s'installent directement sur la tête de ces piquets ; autour de cet échafaudage, on construit des tréteaux indépendants sur lesquels se tient l'opérateur.

D'après cette description générale un voit qu'on peut distinguer les différentes catégories suivantes de théodolites :

i* Le théodolite à limbe fixe, appareil qui n'est employé que pour des opérations de peu d'importance.

(<) Les niveaux ii bulli' ne <loiveiil pas Cire trop sen;ililes. C'est pourquoi le luW doit Éln un p«u boni)»!. Lu sensibilité d'un niveau s'exprime pur le trajet que Tait la bulle lorsque le niveau il^ie de rhorizonlale d'un certain angle. Un uiveau est très suffisamment senstible, lorsque la bulle s'écarte de 3 millimftlres pour une déviation de 90 ), 30".

i"* Les théodolites à limbe mobile qui se divisent en deux classes :

a) Ceux où le niveau supérieur est fixé sur la lunette, ce sont les plus employés en topographie:

b) Ceux où le niveau supérieur est perpendiculaire à Taxe de la lunette. Ces appareils présentent une précision plus grande que ceux de la catégorie précédente. On s'en servira de préférence dans des cas particuliers, par exemple dans les travaux relatifs au percement des tunnels ou à la construction des ponts. En géodésie, on emploie, au moins pour les triangles de premier ordre, des théodolites du même genre, mais avec microscopes et vis micrométriques au lieu de verniers.

Mise en station et lecture des angles. — Nous supposerons d'abord que Tappareil est irréprochable au point de vue de la construction et de l'entretien.

On met l'appareil en station au moyen d'un fil à plomb suspendu à la tige de l'écrou qui fixe le théodolite sur la tablette du trépied, et de telle sorte que le limbe paraisse de niveau.

On rectifie alors l'horizontalité au moyen du niveau supérieur. Si ce dernier est fixé sur la lunette, on met le cercle vertical à 90 ou au zéro, suivant qu'il donne Tangle zénithal ou l'angle de pente ; on serre la vis de pression de ce limbe, puis on place le niveau parallèlement à la direction de deux vis calantes ; on amène la bulle au milieu en agissant sur celles-ci, puis en faisant tourner Talidade de 90^, on met le niveau dans la direction de la troisième vis calante sur laquelle on agit de même. La bulle étant amenée au milieu du niveau dans cette seconde position, on revient à la première et ainsi de suite on arrive par tâtonnements successifs à ce que la bulle reste au milieu du niveau pour un tour complet de l'alidade. On peut alors desserrer la vis de pression.

Si le niveau est perpendiculaire à l'axe optique de la lunette,

on opère de même sans avoir besoin de mettre le limbe vertical ù90»ouau zéro.

Avant de passer à la mesure des angles, on mettra le réticule à la vue distincte de l'observateur; pour cela on vise dans le ciel et on agit sur le tirage de l'oculaire jusqu'à ce que le réticule apparaisse très nettement. On règle ensuite le tirage du réticule sur une distance moyenne, afin d'avoir à y toucher le moins possible pendant les opérations, de crainte de déplacer les axes.

La lecture des angles se fait difTércmment suivant que le théodolite est à limb6 lixe ou à limbe mobile, à lunette centrale ou à lunette excentrique.

Soit le théodolite à limbe fixe et à lunette centrale. Dans ce cas, on vise successivement les deux jalons qui, avec le centre de station, déterminent l'angle, en commençant par celui de gauche; on obtient la valeur de l'angle par la différence des deux indications lues sur le limbe. On vérifie en revenant à la première position après avoir fait la seconde lecture.

Si la lunette est excentrique, on opère de même successivement avec la lunette à droite et à gauche; en prenant la moyenne des deux mesures, on obtient exactement la valeur de l'angle au centre.

En effet (fig. 41), on a d'une part :

D'autre part :

Fie-*'- «-1-6= Y + S.

En faisant la somme, il vient :

donc a = a ■

Pour faire passer la lunette à gauche, on fait tourner l'alidade de 180'' et Ton fait basculer la lunette. Cette manière d'opérer remédie à tous les défauts de centration, comme nous Tavons vu à propos de la boussole. Or, si Ton se rapporte à la lig. 38, p. 92, on voit que dans un théodolite à lunette centrale, les trois axes vertical, optique et de rotation, se coupent en un môme point et sont perpendiculaires deux à deux. Ces conditions peuvent ne pas être remplies par suite d'un défaut de construction ou d'un dérangement de l'appareil.

11 est, par suite, prudent d'opérer avec un théodolite à lunette centrale, comme sUl était à lunette excentrique, pour éliminer l'influence de tout défaut de centration, c'est-à-dire de toute erreur de collimation. C'est ce qu'on appelle faire la comi^en^aiion ; mais il faut pour cela que la lunette puisse basculer.

Si l'on a plusieurs angles à mesurer en une même station, on mesure d'abord toute la série avec la lunette à droite, puis on mesure la môme série après avoir tourné l'alidade de 180" et avoir fait basculer la lunette.

On prend ensuite les moyennes.

On lit également aux deux verniers ou aux quatre verniers; on mesure ainsi le môme angle dans différentes parties du limbe et Ton peut prendre une moyenne.

La lecture à plusieurs verniers remédie dans une certaine mesure aux défauts de centration. Dans une certaine mesure, disons-nous ; on mesure en effet dans ce cas l'angle de deux sécantes par la demi-somme des axes interceptés; mais l'angle p n'est égal à l'angle au centre a, que pour autant que

les points visés A et B (fig. 42) se trouvent sur une même circonférence décrite du poinlO comme centre; ce qui n'est pas généralement le cas. Or c'est l'angle au centre « qu'on se propose de mesurer.

Comme remarques gé- Fig. 43. nérales, nous rappelle-

rons qu'il faut toujours avoir soin de planter verticalement les jalons et de viser vers leur pied, et qu'il faut manœuvrer l'alidade des deux mains pour éviter d'exercer sur les axes des efforts obliques.

Lorsque le théodolite est à limbe mobile, on peut faire la lecture par répétition.

Pour cela, on fait coïncider le zéro de l'alidade avec le zéro du vernier ; on cale l'alidade sur le limbe au moyen de la vis de pression et l'on dirige la lunette vers le jalon de gauche en faisant tourner le limbe ; on cale alors le limbe et l'on vise le jalon de droite en faisant tourner l'alidade seulement ; on cale de nouveau l'alidade sur le limbe sans faire la lecture ; on décale le limbe et I'oq ramène la lunette vers le premier jalon, en faisant tourner le limbe; on cale de nouveau le limbe et l'on décale l'alidade pour viser le second jalon. Si l'on fait alors la lecture, il est évident qu'on lira un angle double de l'angle mesuré.

En divisant par deux on diminuera de moitié l'erreur de lecture. On peut faire ainsi un nombre quelconque de répétitions et réduire d'autant Terreur de lecture.

f^i Ton fait décrire à l'alidade une circonférence entière, il faudra ajouter 300" à la lecture. On peut faire la compensation en même temps que la répétition pour remédier aux erreurs decollimation.

Il suffit pour cela, après la première mesure d'angle, de tourner le limbe de 18<^ et de faire basculer la lunette pour faire la répétition. Si Ton en fait un grand nombre ?i, on les fait en nombre pair de manière à en faire successivement

— dans la première position et -^ dans la seconde position de

la lunette.

Généralement on se contente d'une simple répétition avec compensation et lecture aux deux verniers.

Prenons un exemple numérique :

Soit, après compensation et répétition, les lectures suivantes faites aux deux verniers :

!«' vernier 2"« vernier

En divisant par deux après avoir soustrait 180* de Tindication du second vernier, on trouve :

1" vernier 2"* vernier

dont la moyenne donne :

Tachéomètre.

Les autres goniomètres se dérivent du théodolite par substitution ou suppression d'organes.

Le tachéomètre s^en dérive par substitution de la lunette anallatique dePorroà la lunette astronomique. Cette lunette est toujours centrale et donne un grossissement de 25 fois pour pouvoir lire la mire parlante à de grandes distances. Les supports sont assez élevés pour lui permettre de basculer.

Le limbe, mobile comme Talidade, est divisé en 400 grades et en demi-grades pour faciliter les calculs au moyen de la règle.

Il est accompagné d'un ovieniaieur magnitiquej petite

lunette dans laquelle se meut une aiguille aimantée et dont l'objectif porte quelques divisions verticales. Cet orientateur est disposé, par rapport au diamètre du limbe à partir duquel se compte la mesure d'angles, de telle sorte qiie, lorsque Taiguille se projette sur la division du milieu, le diamètre du limbe soit dans le méridien astronomique. Les angles lus sur le limbe, en visant différents alignements, seront donc des azimuts. Or, on sait que la mesure des azimuts substituée à celle des angles, a l'avantage de ne pas laisser s'accroître la déviation produite par une erreur dans une polygonale. (Voir page 89.)

Pour régler lorientateur magnétique, il faut donc tracer une méridienne; mais dans les études de chemins de fer, on se contente d'orienter de même le diamètre de tous les tachéomètres qui sont employés sur la ligne. De cette manière, les directions mesurées par ces appareils, quoique n'étant pas des azimuts, sont néanmoins comparables entre elles.

Le limbe vertical est toujours disposé de manière à mesurer des angles zénitaux.

Le tachéomètre est un appareil de construction robuste, afin de pouvoir supporter de grandes fatigues, tout en maintenant le croisement et la perpendicularité des axes.

Les organes de réglage, dont on fait d'ailleurs peu d'usage, sont cachés, afin de ne pas être touchés par une main inhabile. Les vis de correction notamment sont dépourvues de tête et ne peuvent être manœuvrées qu'à l'aide d'une clef.

On construit en Allemagne, sous le nom d'instruments universels, des appareils analogues qui portent cette dénomination, parce qu'ils permettent de mesurer les distances, les angles et les difTérences de niveau.

Graphomètres.

Ces appareils se divisent en deux catégories :

Â. Graphomètre à lunette plongeante. — Cet appareil se dérive du théodolite par suppression du limbe vertical. Le niveau de lalidade y est souvent remplacé par une lunettetémoin qui sert à s*assurer que Tapparcil n'a pas bougé pendant Topération. Lorsque le limbe est mobile, on donne en France à cet appareil le nom de cercle répétiteur et môme quelquefois abusivement le nom de théodolite. Tel était le cas pour un appareil exposé, en 1878, à Paris, par la Compagnie de Terrenoire, sous le nom de théodolite Malartre^ qui n'est autre qu'un graphomètre à lunette plongeante pourvu d'un orientateur magnétique avec aiguille de 0'"40 de longueur.

B. Graphomètre à pinules. — Le graphomètre à pinules se compose d^un limbe muni de deux pinules fixes suivant le diamètre 0-180 et d'une alidade, simple règle à pinules. Le limbe et l'alidade sont mobiles sur un même axe vertical.

Le limbe est divisé en degrés ou en demi-degrés, le vernier donne tout au plus la minute.

Cet appareil est monté simplement sur une douille par l'intermédiaire d'un genou à coquilles.

On ne peut l'employer sur un terrain fortement déclive parce que l'obliquité maximum de la ligne de visée est déterminée par la hauteur des pinules. La hauteur de cellesci n'excède pas 0"07 à O^OS; le diamètre du limbe ne dépassant pas O'^SS, on ne peut viser suivant une pente de plus de 15*».

Le limbe se compose d'un cercle entier ou seulement d'un demi-cercle ; dans ce cas, l'alidade mobile porte à faux et peut se détériorer. Quand le limbe est entier, on peut lire aux deux verniers et prendre une moyenne, ce qui remédie jusqu'à un certain point au défaut d'excentricité de l'alidade et d'autant mieux que cet appareil ne comporte pas grande précision.

Le graphomètre à pinules est quelquefois muni d'un ou de deux niveaux et d'une boussole, mais la plupart du temps

il ne possède pas ces organes et la mise de niveau se fait à l'œil. On arrive ainsi à approcher de l^horizontalité parfaite à i/2 degré près, ce qui est graphiquement inappréciable dans la réduction des angles à l'horizon.

Lorsque l'appareil n'a qu'un demi-limbe^ on mesure, comme vérification, le supplément de l'angle en retournant Tapparcil.

Pantomèlre.

Dans le pantomètre, la forme de Tappareil est seule diiîérente, mais les mêmes organes se retrouvent. L'appareil a la forme cylindrique et se compose de deux cylindres de même axe tournant l'un sur l'autre. Le cylindre inférieur porte une graduation à sa surface extérieure, c'est le limbe. Il est muni de pinules suivant le diamètre 0-180. Ces pinules jouent le môme rôle que la lunette -témoin du graphomètre à lunette plongeante. Le cylindre supérieur est muni de deux systèmes de pinules à angle droit et porte deux verniers; il joue le rôle d'alidade.

Les pinules sont quelquefois remplacées par une petite lunette. La rotation du cylindre supérieur est produite au moyen d'une vis. L'appareil est monté sur une douille et se place sur un bâton comme une équerre. Il est quelquefois muni d'un niveau et d'une boussole.

C'est un appareil portatif et rapidement installé, mais peu précis à cause de l'exiguité du limbe. L'alidade portant deux systèmes de pinules en croix, on s'en sert souvent avec avantage au lieu de l'équerre dans le lever des détails, car le pantomètre présente plus de ressources.

Vérification des goniomètres.

Les vérifications de tous ces appareils sont analogues.

Elles dépendent naturellement du degré de complication de Tappareil et de sa construction propre. Ces appareils présentent des moyens plus ou moins complets de corriger les erreurs ; nous prendrons comme exemples le graphomètre à pinules et le théodolite.

A. Vérification éCun graphomètre à pinules. — l*» Vérifier la graduation. Se fait comme pour la boussole, ou plus simplement, en examinant si n divisions du vernier correspondent, dans toutes les parties du limbe, à n — 1 divisions de ce dernier.

^'^ Vérifier si le plan de collimation de chaque système de piiiules est perpendiculaire au limbe. Lorsque le limbe est de niveau, il faut qu*en visant sur un fil à plomb par les pinules, le fil de celles-ci recouvre exactement le fil à plomb.

3*» Vérifier si Validade est bien centrée. Avec un cercle entier, il est facile de voir si la ligne de foi correspond à un diamètre. Si l'on n'a qu'un demi-limbe, on mesurera un angle directement, puis par somme ou par différence.

S'il n'y a pas égalité, le défaut proviendra de l'excentricité de Talidade, parce que celle-ci donne lieu à des erreurs variables avec l'angle que l'on mesure et l'éloignenient des jalons sur lesquels on vise.

Une excentricité un peu sensible oblige à renvoyer l'appareil au constructeur. Avec un cercle complet, on peut jusqu'à certain point corriger l'erreur en lisant aux deux verniers.

4» Vérifier si les zéros du limbe et du vernier coïncide7\t^ lorsque les pinules du limbe et de Validade sont dans le même alignement. S'ils ne coïncident pas, il y a une erreur constante, dite erreur de collimation, dont on corrigera tous les angles. Sa valeur se détermine aisément à l'aide du vernier.

B. Vérification dPun théodolite. — Gomme ces vérifications sont assez nombreuses, il importe beaucoup d'adopter un certain ordre, parce que Tune d'elles suppose en général que toutes les précédentes ont été faites. EUIes difTèrcnt d'ailleurs selon le mode de construction de l'appareil.

l*" Vérifier la graduation du limbe. Cette vérification se fait au vernier, mais elle n'est en général utile que pour des appareils de grande précision, la graduation étant rarement défectueuse.

2« Vérifier le niveau inférieur. On sait que pour vérifier un niveau à bulle, c'est-à-dire pour voir si l'axe du tube est bien parallèle au patin, on retourne le niveau, bout pour bout, après avoir amené la bulle au milieu de ses repères. Si elle n'y revient pas après retournement, on agit sur la vis de rectification qui permet de déplacer le tube dans ses supports,jusqu'à ce que le parallélisme existe. On agit de même avec le niveau inférieur du théodolite : on amène la bulle au milieu de ses repères, en agissant sur deux vis calantes parallèlement auxquelles on place le niveau, puis on tourne l'alidade exactement de i80*. Si la bulle ne revient pas à sa place, on corrige la moitié de la différence au moyen de la vis de rectification du niveau et l'autre moitié au moyen de la vis calante opposée. En effet, puisque le niveau était inexact et que dans sa première position la bulle était au milieu, il s'ensuit que cette première position n'était pas horizontale.

Dans les théodolites construits par la maison Breithaupt, à Cassely le niveau inférieur est à bulle centrale et possède deux vis de rectification.

La vérification se fait de même en plaçant ces deux vis à l'opposé d'une des vis calantes.

3* Vérifier le niveau supérieur. Cette vérification se fait différemment, suivant que ce niveau est perpendiculaire ou parallèle à Taxe de la lunette.

a. — Niveau parallèle a l'axe de la lunette. — Ce niveau est fixé au moyen de vis 3ur la lunette et l'on ne peut l'enlever pour le vérifier directement. On vérifie donc indirectement si l'axe du niveau est rigoureusement parallèle & l'axe optique.

On trace un alignement sur un terrain en pente, en se proposant de déterminer la difiërence de niveau des extrémités A et B, ûg. 43.

Fig. 43.

Pour cela on installe d'abord le théodolite en A et une mire en 6.

On amène la bulle du niveau au milieu de ses repères et l'on vise vers la mire. Si l'axe optique est horizontal, on visera le point H ; mais en supposant qu'il ne soit pas horizontal, on vise un point L.

On fait ensuite la même opération, en installant le théodolite au point B et la mire au point A. On visera un point L' qui se trouvera à la même distance en dessous du point H' que le point L par rapport au point H.

La dilTérence de niveau des points A et B est exprimée par BH — AO = BO' — AH'

Soit y la hauteur HL = H' L'.

En substituant à BH la valeur BL -|- v et à AH' la valeur

AL'-}- y, on aura :

BL -}- y — AO = BO' — AL' — y

AO+BO' BL + AL' d'où y ■= pr .

Tous les termes du second membre sont connus. Si ce second membre est égal à zéro, y est nul et Taxe optique est horizontal, par conséquent le niveau est en bon état.

Si le second membre n^est pas égal à zéro, cela indique que le niveau n*est pas réglé ; il suffit alors de calculer y pour savoir sur quel point de la mire la lunette doit viser, lorsque le niveau est à Thorizontale. On agit en conséquence sur la vis de rectification du niveau.

h. — Niveau perpendiculaire a l'axe optique. — Dans ce cas, le niveau peut se détacher de Taxe des tourillons sur lequel il repose et par conséquent se retourner bout pour bout. Pour régler le niveau, c'est-à-dire pour placer son axe dans un plan parallèle à celui de l'axe de rotation, on mettra d'abord le niveau verticalement au-dessus de Tune des vis calantes, et l'on agira sur cette vis pour amener la bulle au milieu de ses repères. On retournera ensuite le niveau ; si la bulle ne revient pas au milieu, on corrigera la moitié de la différence au moyen de la vis calante et l'autre moitié au moyen de la vis de rectification du niveau. Certains niveaux portent de plus une vis latérale pour amener l'axe du tube bien parallèlement à Taxe de rotation. Pour vérifier si cette condition existe, on fait osciller lentement le niveau autour de l'axe des tourillons; si le parallélisme existe, la bulle doit rester immobile.

4* Vérifier la forme cylindrique des tourillons de Vaxe de rotatio7i. Cette vérification ne peut se faire que dans les appareils où le niveau est perpendiculaire à l'axe optique. Pour vérifier la forme cylindrique des tourillons, il suffit de faire tourner l'axe de rotation sous le niveau, dont l'horizontalité ne doit pas être affectée.

5» Vérifier la perpendicularité de Vaxe de Validade vi de Vaxe de rotation de la lunette^ ainsi que la 'perpendicularité de Vaxe optique et de Vaxe de rotation de la lunette. Ces

vérifications se font simultanément, lorsque le niveau est parallèle à la lunette ; elles se font séparément, lorsque le niveau est perpendiculaire à cet axe.

a. — Niveau parallèle a l'axe de la lunette.— Si Taxe optique n'est pas perpendiculaire à Taxe de rotation, il décrit un cône au lieu de décrire un plan. Si, d'autre part, il est perpendiculaire à l'axe de rotation, mais que celui-ci ne soit pas perpendiculaire à l'axe de Talidade, le plan de coUi* mation décrit par Taxe optique ne sera pas vertical.

Pour faire les deux vérifications simultanément, on vise une longue verticale, soit un fil à plomb. Si le point de croisement des fils du réticule ne quitte pas la verticale, c'est la preuve qu'il n'y a pas de défaut. S'il quitte la verticale, on pourrait distinguer l'un de l'autre les deux défauts de perpendicularité, en ce que, dans le 1*' cas, le point de croisement décrirait une courbe et dans le second cas, une ligne droite oblique ; mais c'est très délicat et il est pour ainsi dire impossible de distinguer à priori si les deux défauts existent simultanément.

b. — Niveau perpendiculaire a l'axe optique. — Pour corriger le défaut de perpendicularité de l'axe optique et de l'axe de rotation, il faut agir sur le réticule pour déplacer l'axe optique. Mais il faut remarquer qu'en déplaçant cet axe, on change le réglage du niveau de la lunette. Il faudra donc régler celui-ci après cette vérification faite. Si l'on ne parvient pas de cette manière à maintenir le point de croisement des fils sur la verticale, c'est que les deux défauts sont simultanés. On corrige le défaut de perpendicularité de Taxe de rotation de la lunette et de l'axe de Talidade, en agissant sur une vis de rectification, qui permet de relever l'un des paliers de l'axe de rotation.

On vérifie d'abord directement la perpendicularité de l'axe de rotation de la lunette sur l'axe de l'alidade ; s'il n'y a pas

perpendicularité entre ces axes. Taxe horizontal décrit un double cône,lorsqu'on fait tourner Taxe vertical; la bulle amenée au milieu de ses repères dans une première position, n'y restera donc pas en faisant tourner l'alidade.

Pour faire la correction, on amène la bulle entre ses repères dans une première position, puis on met le niveau dans une position perpendiculaire à celle-ci. La bulle ne revenant pas entre ses repères bien que le niveau soit réglé, il faut corriger au moyen de la vis de rectification des paliers.

On vérifie ensuite isolément la perpendicularité de Taxe optique sur l'axe de rotation de la lunette, en visant comme ci-dessus le long d'une verticale.

Les deux défauts que nous venons d'examiner s'éliminent d'ailleurs en faisant la compensation.

Il est à remarquer que le tirage du réticule tend à déplacer l'axe optique ; c'est pourquoi nous avons conseillé de régler ce tirage sur une distance moyenne.

6^ Vérifier si le centre de Validade coïncide avec le centre du limbe. Si les deux centres ne coïncident pas, la ligne de foi de l'alidade ne coïncide pas avec les extrémités d'un môme diamètre, en supposant toutefois que la ligne de foi soit bien rectiligne.

On sait que ce défaut s*élimine partiellement par la lecture à deux ou à quatre verniers.

7^ Vérifier si la lunette est bien centrée. Gela se fait en visant un point; après avoir fait tourner l'alidade exactement de 180^ et après avoir fait basculer la lunette, on vise de nouveau. S'il n'y a pas d'excentricité, on doit retrouver le même point.

Si le plan de collimation ne contient pas l'axe vertical de rotation, on opérera comme si le théodolite était à lunette excentrique; nous avons vu que la compensation permet d'annuler cet inconvénient.

— no —

8" Vérifiei' la perpendicularité du limbe sur son axe de joiafion. Une faible inclinaison ne présente pas d'inconvénient sensible.

9" Vérifier le limbe vertical. Ce limbe doit être soumis à différentes vérifications analogues à celles du limbe horizontal.

On voit en résumé que plusieurs de ces vérifications sont très délicates ; les organes de correction portés par l'instrument ne doivent dans aucun cas être touchés qu*à bon escient et il est souvent préférable d'employer les méthodes qui permettent d'éliminer les erreurs que de chercher à corriger l'instrument pour employer des méthodes plus simples.

Entretien. — Il faut que les mouvements soient doux et non saccadés^ sans gripage, que les vis de pression et de rappel fonctionnent aisément, que les vis de pression donnent une résistance suffisante et qu'il n'y ait pas de jeu entre les pièces^ notamment entre le limbe etTalidade.

Pour nettoyer la graduation, il faut employer un linge de toile et de Thuile d'olive, en ayant soin de frotter perpendiculairement aux divisions, afin de ne pas rayer le limbe dans le sens des divisions.

On peut se trouver dans le cas de faire de petites réparations^ par exemple, de remettre un réticule; on emploie pour cela des fils d'araignée fixés à la loupe sur le diaphragme au moyen de cire ou de résine. Mais la plupart des appareils modernes sont à réticule gravé sur une plaque de verre.

On peut aussi se trouver dans le cas de remplir un niveau. On remplit le tube d'éther sulfurique et on chauffe à la lampe avant de fermer le tube. L'éther en se dilatant remplit le tube, et quand le liquide se contracte, il sen sépare une bulle de vapeur.

Usage des goniomètres.

Les appareils les plus simples, graphotnètre, pafttbmèlre, servent à faire des levers de peu d'étendue et sans grande

précision ; pour tout lever de quelque importance, il faut leur préférer le théodolite qui doit être employé à l'exclusion de tout autre appareil dans les triangulations.

Les triangles se résolvent trigonométriquement par les formules connues.

La formule c' = o* + b* — 2 ab eos C qui donne la valeur d'un côté, lorsqu'on connaît les deux autres et l'angle compris, est gênante au point de vue du calcul logarithmique ; on peut la mettre sons la forme suivante :

c' = a' -|- M + 2 ail (1 — cos C) - 2 ub t* = ((j — t)' -{- iab »i)i* 7i '^■ 4 ah sin* '/t ^

= (a — b)* (1 -H '?* x) = {a — by aée* x

Les problèmes, quels qu'ils soient, reçoivent ici des solutions numériques. Voici quelques-uns de ceux qui se présentent le plus fréquemment dans les triangulations.

1' Mesurer la distance comprise entre deux points inaccessibles A et B, fig. M (problème des deux pointa/. Soient par exemple les points A et B situés sur deux collines. On connaît GD= t» et les angles c,c-, d,d\

hsin d

On a : BC = AC

sin {d + c') b sin d'

«(d'-i-c) Connaissant BC, ÂC et l'angle compris le — c'), on peut appliquer la formule précédente.

2* Rattacher un point H àvn triangle ABC, fig. 45 {problème des trois points ou de Pothenot).

La résolution de ce problème dispense souvent de faire une triangiilation secondaire pour rattacher le point D à la triangulation principale.

Il suffît pour avoir les éléments nécessaires k la solution d'installer un théodolite en D et P ^3 de mesurer les angles « et p.

Il faut calculer les droites AD m, BD = n et CD = p. Tous les éléments du triangle ABC sont connus. Soit l'angle C'=y,\e3 côtés CB = o et AC = b.

Soit l'angle CAD = 3 et l'angle CBD = ê, on a : bsinja + Z)

11 suffit donc de déterminer les angles 2 et t. On a comme première équation :

De l'égalité (I) nous tirerons la valeur de ô - s.

sin E b si» p' Soit cette dernière fraction = ig a, on aura :

lin S -f ain e aine sin 3 — sin E

•tgf-\-i

sin S -j- sin e Ce qui revieot à :

, ,'gT

tgf + f

- .) = (5 t(360'-(« + p+r)) I9(ï - 45-) d'où l'on tire S — e.

3 et E étant connus, on peut les substituer dans les valeurs de m, n et p.

La solution est iudépendante de la position du point D. Cependant la solution serait impossible si ce point se trouvait sur la circonférence passant par les points ABC, En effet,

dans ce cas, S -f ^ ^ 1""" "' ' ~ '

3* n peut se faire que dans un réseau de triangles on doive intercaler un quadrilatère ABCD (Qg. 46) contournant une coU line par exemple, on se trouve alors obligé de calculer une droite AC, le long de laquelle on ne peut viser, pour déterminer ensuite les FU- «■ angles « et p.

On peut calculer lalohgueur de AC, connaissant AB, BU e l'angle B.

AC étant déterminé, on peut calculer les angles a et ^ et par différence les angles A - a et C — p.

4" Tracer un alignement entre deux points A B qui ne sont pas viùbles Vun de i'awice.

Soit, fig. 47, une montagne entre les points A et B. Oq installe le tliéodélite en un point C" du sommet de la montagne, d'où les points A et B soient visibles. On vise Kig. il. le point A et l'on tourne

l'alidade de 180". On fait alors planter un jalon au point B" plus ou moins voisin du point B.

Si l'on connaît les lonj^ueurs AG et AB, on pourra mesurer

BB" et déterminer CC" par la proportion ;